1、相遇和追及問題一行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系。基本公式： 路程速度×時間 速度路程÷時間 時間路程÷速度關鍵問題：確定行程過程中的位置二相遇甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實質上是甲和乙一起走了A,B之間這段路程，如果兩人同時出發，那么相遇路程甲走的路程+乙走的路程甲的速度×相遇時間+乙的速度×相遇時間（甲的速度+乙的速度）×相遇時間速度和×相遇時間.相向運動相遇問題的 速度和×相遇時間總路程，即 數量關系 總路程÷速度和相遇時間 總路程

2、47;相遇時間速度和三追及有兩個人同時行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產生了“追及問題”.實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢的人多走的路程，也就是要計算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同的時間（追及時間）內：追及路程甲走的路程-乙走的路程甲的速度×追及時間-乙的速度×追及時間（甲的速度-乙的速度）×追及時間速度差×追及時間. 一般地追擊問題的 追及路程速度差×追及時間，即 數量關系 速度差追及路程÷追及時間 追及時間追及路程÷速度差 【

3、分段提速 】 環路周長(路程差）÷速度差相遇時間環路上【同向運動】追擊問題 環路周長÷相遇時間速度差 數量關系 速度差×相遇時間環路周長速度和×相遇時間環路周長 路程差÷速度差相同走過的時間往返平均速度往返總路程÷往返總時間 平均速度總路程÷總時間1、“環形跑道”，也是稱為封閉回路，它可以是圓形的、長方形的、三角形的，也可以是由長方形和兩個半圓組成的運動場形狀。解題時，我們可以運動“轉化法”把線路“拉直”或“截斷”，從布把物體在“環形路道”上的運動轉化為我們熟悉的物體在直線上的運動。2、在行程問題中，與環形有關的行程問題的解

4、決方法與一般行程問題的方法類似，但有兩點值得注意：一是兩人同地背向運動，從第一次相遇到下一次相遇共行一個全程；而是同地、同向運動時，甲追上乙時甲比乙多行一個行程。環形跑道問題，從同一地點出發，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次這個等量關系往往成為我們解決問題的關鍵。環線型同一出發點直徑兩端同向：路程差nSnS+0.5S相對(反向)：路程和nSnS-0.5S比例知識精講：比例的知識是小學數學最后一個重要內容，從某種意義上講仿佛扮演著一個小學“壓軸知識點”的角色。從一個工具性的知識點而言，比例在解很多應用題時有著“得天獨厚”的優勢，往往體現在方法的靈活性和思

5、維的巧妙性上，使得一道看似很難的題目變得簡單明了。比例的技巧不僅可用于解行程問題，對于工程問題、分數百分數應用題也有廣泛的應用。我們常常會應用比例的工具分析2個物體在某一段相同路線上的運動情況，我們將甲、乙的速度、時間、路程分別用來表示，大體可分為以下兩種情況：1. 當2個物體運行速度在所討論的路線上保持不變時，經過同一段時間后，他們走過的路程之比就等于他們的速度之比。相同時間內，速度倍數路程倍數。，這里因為時間相同，即,所以由得到，甲乙在同一段時間t內的路程之比等于速度比2. 當2個物體運行速度在所討論的路線上保持不變時，走過相同的路程時，2個物體所用的時間之比等于他們速度的反比。路程一定時

6、，時間和速度成反比，這里因為路程相同，即，由得，甲乙在同一段路程s上的時間之比等于速度比的反比。多次相遇問題：一、由簡單行程問題拓展出的多次相遇問題所有行程問題都是圍繞“路程速度×時間”這一條基本關系式展開的，多人相遇與追及問題雖然較復雜，但只要抓住這個公式，逐步表征題目中所涉及的數量，問題即可迎刃而解二、多次相遇與全程的關系1. 兩地相向出發： 第1次相遇，共走1個全程； 第2次相遇，共走3個全程； 第3次相遇，共走5個全程； ， ； 第N次相遇，共走2N-1個全程；注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。2. 同地同向出發： 第

7、1次相遇，共走2個全程； 第2次相遇，共走4個全程； 第3次相遇，共走6個全程； ， ； 第N次相遇，共走2N個全程；3、多人多次相遇追及的解題關鍵多次相遇追及的解題關鍵 幾個全程多人相遇追及的解題關鍵 路程差三、解多次相遇問題的工具柳卡柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數交點個數即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現運動過程中“相遇的次數”，“相遇的地點”，以及“由相遇的地點求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完一個全程時所用的時間是多少。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。本講中的行程問題是特殊場

8、地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關鍵是看我們是否能夠準確的對題目中所描述的每一個行程狀態作出正確合理的線段圖進行分析。 一、在做出線段圖后，反復的在每一段路程上利用：路程和=相遇時間×速度和路程差=追及時間×速度差行程問題常用的解題方法及分類：公式法即根據常用的行程問題的公式進行求解，這種方法看似簡單，其實也有很多技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時條件不是直接給出的，這就需要對公式非常熟悉，可以推知需要的條件；圖示法在一些復雜的行程問題中，為了明確過程，常用示意圖作為輔助工具示意圖包括線段圖

9、和折線圖圖示法即畫出行程的大概過程，重點在折返、相遇、追及的地點另外在多次相遇、追及問題中，畫圖分析往往也是最有效的解題方法；比例法行程問題中有很多比例關系，在只知道和差、比例時，用比例法可求得具體數值更重要的是，在一些較復雜的題目中，有些條件(如路程、速度、時間等)往往是不確定的，在沒有具體數值的情況下，只能用比例解題；分段法在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接適用這時通常把不勻速的運動分為勻速的幾段，在每一段中用勻速問題的方法去分析，然后再把結果結合起來；方程法在關系復雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時，設條件關系最多的未知量為未知數，抓住重要的等量關系列方程常常可

10、以順利求解行程問題是小升初考試和小學四大杯賽四大題型之一(計算、數論、幾何、行程)。具體題型變化多樣，形成10多種題型，都有各自相對獨特的解題方法。現根據四大杯賽的真題研究和主流教材將小題型總結如下，希望各位看過之后給予更加明確的分類。一、一般相遇追及問題。包括一人或者二人時(同時、異時)、地(同地、異地)、向(同向、相向)的時間和距離等條件混合出現的行程問題。在杯賽中大量出現，約占80%左右。建議熟練應用標準解法，即s=v×t結合標準畫圖(基本功)解答。二、復雜相遇追及問題。(1)多人相遇追及問題。比一般相遇追及問題多了一個運動對象，即一般我們能碰到的是三人相遇追及問題。解題思路完

11、全一樣，只是相對復雜點，關鍵是標準畫圖的能力能否清楚表明三者的運動狀態。(2)多次相遇追及問題。即兩個人在一段路程中同時同地或者同時異地反復相遇和追及，俗稱反復折騰型問題。分為標準型(如已知兩地距離和兩者速度，求n次相遇或者追及點距特定地點的距離或者在規定時間內的相遇或追及次數)和純周期問題(少見，如已知兩者速度，求一個周期后，即兩者都回到初始點時相遇、追及的次數)。標準型解法固定，不能從路程入手，將會很繁，最好一開始就用求單位相遇、追及時間的方法，再求距離和次數就容易得多。如果用折線示意圖只能大概有個感性認識，無法具體得出答案，除非是非考試時間仔細畫標準尺寸圖。一般用到的時間公式是(只列舉甲

12、、乙從兩端同時出發的情況，從同一端出發的情況少見，所以不贅述)：單程相遇時間：t單程相遇=s/(v甲+v乙)單程追及時間：t單程追及=s/(v甲-v乙)第n次相遇時間：Tn= t單程相遇×(2n-1)第m次追及時間：Tm= t單程追及×(2m-1)限定時間內的相遇次數：N相遇次數= (Tn+ t單程相遇)/2 t單程相遇限定時間內的追及次數：M追及次數= (Tm+ t單程追及)/2 t單程追及注：是取整符號之后再選取甲或者乙來研究有關路程的關系，其中涉及到周期問題需要注意，不要把運動方向搞錯了。三、火車問題。特點無非是涉及到車長，火車過橋時間是指從車頭上橋起到車尾離橋所用的

13、時間，因此火車的路程是橋長與車身長度之和。火車與人錯身時，忽略人本身的長度，兩者路程和為火車本身長度；火車與火車錯身時，兩者路程和則為兩車身長度之和。題型分為：(1)火車vs點(靜止的，如電線桿和運動的，如人)s火車=(v火車 ±v人)×t經過(2)火車vs線段(靜止的，如橋和運動的，如火車)s火車+s橋=v火車×t經過和s火車1+s火車2=(v火車1±v火車2)×t經過合并(1)和(2)來理解即s和=v相對×t經過把電線桿、人的水平長度想象為0即可。火車問題足見基本公式的應用廣度，只要略記公式，火車問題一般不是問題。(3)坐在火車里

14、。本身所在火車的車長就形同虛設了，注意的是相對速度的計算。電線桿、橋、隧道的速度為0。火車與火車上的人錯身時，只要認為人具備所在火車的速度，而忽略本身的長度，那么他所看到的錯車的相應路程仍只是對面火車的長度.對于火車過橋、火車和人相遇、火車追及人、以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種類型的題目，在分析題目的時候一定得結合著圖來進行四、流水行船問題。理解了相對速度，流水行船問題也就不難了。理解記住1個公式(順水船速=靜水船速+水流速度)就可以順勢理解和推導出其他公式(逆水船速=靜水船速-水流速度，靜水船速=(順水船速+逆水船速)÷2，水流速度=(順水船速-逆水船速)÷2)

15、，對于流水問題也就夠了。技巧性結論如下：(1)相遇追及。水流速度對于相遇追及的時間沒有影響，即對無論是同向還是相向的兩船的速度差不構成“威脅”，大膽使用為善。當甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向開出：甲船順水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 同樣道理，如果兩只船，同向運動，一只船追上另一只船所用的時間，與水速無關.甲船順水速度-乙船順水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.說明：兩船在水中的相遇與追及問題同靜水中的及兩車在陸地上的相遇與追及問

16、題一樣，與水速沒有關系.(2) 流水落物。漂流物速度=水流速度，t1= t2(t1：從落物到發現的時間段，t2：從發現到拾到的時間段)與船速、水速、順行逆行無關。此結論所帶來的時間等式常常非常容易的解決流水落物問題，其本身也非常容易記憶。五、間隔發車問題。空間理解稍顯困難，證明過程對快速解題沒有幫助。一旦掌握了3個基本公式，一般問題都可以迎刃而解。(1)在班車里。即柳卡問題。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數交點個數即可完成。(2)在班車外。一般間隔發車問題，聯立3個基本公式：汽車間距=(汽車速度+行人速度)×相遇事件時間間隔-1汽車間

17、距=(汽車速度-行人速度)×追及事件時間間隔-2汽車間距=汽車速度×汽車發車時間間隔-31、2合并理解，即汽車間距=相對速度×時間間隔分為2個小題型：1. 一般間隔發車問題。用3個公式迅速作答;2.求到達目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數。標準方法是：畫圖-盡可能多的列3個好使公式-結合s全程=v×t-結合植樹問題數數。六、平均速度問題。相對容易的題型。大公式要牢牢記住：總路程=平均速度×總時間。用s=v×t寫出相應的比要比直接寫比例式好理解并且規范，形成行程問題的統一解決方案。七、環形問題。是一類有挑戰性和難度的題型，分為“同一路徑

18、”、“不同路徑”、“真實相遇”、“能否看到”等小題型。其中涉及到周期問題、幾何位置問題(審題不仔細容易漏掉多種位置可能)、不等式問題(針對“能否看到”問題，即問甲能否在線段的拐角處看到乙)。仍舊屬于就題論題范疇。八、時鐘問題。時鐘問題可以看做是一個特殊的圓形軌道上2人追及問題，不過這里的兩個“人”分別是時鐘的分針和時針。時鐘問題有別于其他行程問題是因為它的速度和總路程的度量方式不再是常規的米每秒或者千米每小時，而是2個指針“每分鐘走多少角度”或者“每分鐘走多少小格”。時鐘問題是環形問題的特定引申。基本關系式：v分針= 12v時針(1)總結記憶：時針每分鐘走1/12格，0.5°分針每分

19、鐘走1格，6°。時針和分針“半”天共重合11次，成直線共11次，成直角共22次(都在什么位置需要自己拿表畫圖總結)。(2)基本解題思路：路程差思路。即格或角(分針)=格或角(時針)+格或角(差)格：x=x/12+(開始時落后時針的格+終止時超過時針的格)角：6x=x/2+(開始時落后時針的角度+終止時超過時針的角度)可以解決大部分時針問題的題型，包括重合、成直角、成直線、成任意角度、在哪兩個格中間，和哪一個時刻形成多少角度。(3)壞鐘問題。所用到的解決方法已經不是行程問題了，變成比例問題了，有相應的比例公式。九、自動扶梯問題。仍然用基本關系式s扶梯級數=(v人速度±v扶梯速

20、度)×t上或下解決最漂亮。這里的路程單位全部是“級”，唯一要注意的是t上或下要表示成實際走的級數/人的速度。可以PK掉絕大部分自動扶梯問題。十、十字路口問題。即在不同方向上的行程問題。沒有特殊的解題技巧，只要老老實實把圖畫對，再通過幾何分析就可以解決。十一、校車問題。就是這樣一類題：隊伍多，校車少，校車來回接送，隊伍不斷步行和坐車，最終同時到達目的地(即到達目的地的最短時間，不要求證明)分4種小題型：根據校車速度(來回不同)、班級速度(不同班不同速)、班數是否變化分類。(1)車速不變-班速不變-班數2個(最常見)(2)車速不變-班速不變-班數多個(3)車速不變-班速變-班數2個(4)

21、車速變-班速不變-班數2個標準解法：畫圖-列3個式子：1、 總時間=一個隊伍坐車的時間+這個隊伍步行的時間;2、班車走的總路程;3、一個隊伍步行的時間=班車同時出發后回來接它的時間。最后會得到幾個路程段的比值，再根據所求代數即可。十二、保證往返類。簡單例題：A、B兩人要到沙漠中探險，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可以攜帶一個人24天的食物和水。如果不準將部分食物存放于途中，其中一個人最遠可深入沙漠多少千米(要求兩人返回出發點)?這類問題其實屬于智能應用題類。建議推導后記憶結論，以便考試快速作答。每人可以帶夠t天的食物，最遠可以走的時間T(1)返回類。(保證一個人走的最遠，所有人都要

22、活著回來)1、兩人：如果中途不放食物：T=2/3t;如果中途放食物：T=3/4t。2、多人：沒搞明白，建議高手補充。(2)穿沙漠類(保證一個人穿過沙漠不回來了，其他人都要活著回來)共有n人(包括穿沙漠者)即多人助1人穿沙漠類。1、中途不放食物：T2n/(n+1)×t。T是穿沙漠需要的天數。2、中途放食物：T=(1+1/3+1/5+1/7+1/(2n-1)×t還有幾類不甚常見的雜題，沒有典型性和代表性，在此不贅述。在研究追及和相遇問題時，一般都隱含以下兩種條件：(1)在整個被研究的運動過程中，2個物體所運行的時間相同(2)在整個運行過程中，2個物體所走的是同一路徑。牛吃草問題概念及公式牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場，是17世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設草的生長速度固定不變，不同頭數的牛吃光同一片草地所需的天數各不