1、第一章 空間幾何體第一章 課文目錄1空間幾何體的結構 1空間幾何體的三視圖和直觀圖 1 3 空間幾何體的表面積與體積一、空間幾何體的結構、三視圖和直觀圖 1柱、錐、臺、球的結構特征圓柱： 以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸， 其余邊旋轉形成的曲面所圍成的幾何體叫做 圓柱； 旋轉軸叫做圓柱的軸； 垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面； 無論旋轉到什 么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側面的母線。棱柱與圓柱統稱為柱體；（2）錐棱錐： 一般的有一個面是多邊形， 其余各面都是有一個公共頂點的三角形， 由這些面所 圍成的幾何體叫做棱錐； 這個多邊形面叫做棱錐的底面或底； 有公共頂點的各個三角形面叫 做棱錐

2、的側面；各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱。底面是三角錐、四邊錐、五邊錐的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐圓錐： 以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉軸， 其余兩邊旋轉形成的曲面所圍 成的幾何體叫做圓錐； 旋轉軸為圓錐的軸； 垂直于軸的邊旋轉形成的面叫做圓錐的底面； 斜 邊旋轉形成的曲面叫做圓錐的側面。棱錐與圓錐統稱為錐體。（3）臺棱臺： 用一個平行于底面的平面去截棱錐， 底面和截面之間的部分叫做棱臺； 原棱錐的 底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側面、側棱、頂點。圓臺： 用一個平行于底面的平面去截圓錐， 底面和截面之間的部分叫做圓臺； 原圓錐的

3、 底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側面、母線、軸。圓臺和棱臺統稱為臺體。（4）球以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸， 半圓面旋轉一周形成的幾何體叫做球體， 簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。（5）組合體 由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復雜的幾何體叫組合體。幾種常凸多面體間的關系些特殊棱柱、棱錐、棱臺的概念和主要性質：名稱棱柱直棱柱正棱柱圖形定義有兩個面互相平 行，而其余每相 鄰兩個面的交線 都互相平行的多 面體側棱垂直于底面的棱柱底面是正多邊形的直棱柱側棱平行且相等平行且相等平行且相等側面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形對角面的形狀平行

4、四邊形矩形矩形平行于底面的截面 的形狀與底面全等的多 邊形與底面全等的多 邊形與底面全等的正多邊形名稱棱錐正棱錐棱臺正棱臺圖形定義有一個面是多底面是正多邊用一個平行于由正棱錐截得邊形，其余各面形，且頂點在底棱錐底面的平的棱臺是有一個公共 頂點的三角形 的多面體面的射影是底 面的射影是底 面和截面之間 的部分面去截棱錐， 底 面和截面之間 的部分側棱相交于一點但不一定相等相交于一點且相等延長線交于一點相等且延長線交于一點側面的形狀三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形對角面的形狀三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形狀與底面相似的多邊形與底面相似的 正多邊形與底面相似的多邊形與底面相似的

5、 正多邊形其他性 質高過底面中心； 側棱與底面、 側 面與底面、 相鄰 兩側面所成角 都相等兩底中心連線 即高； 側棱與底 面、側面與底 面、相鄰兩側面 所成角都相等幾種特殊四棱柱的特殊性質：名稱特殊性質平行六面體底面和側面都是平行四邊行； 四條對角線交于一點， 且被該點平分直平行六面體側棱垂直于底面，各側面都是矩形；四條對角線交于一點，且被該點平分長方體底面和側面都是矩形； 四條對角線相等， 交于一點， 且被該點平分正方體棱長都相等，各面都是正方形四條對角線相等，交于一點，且被該點平分2空間幾何體的三視圖 三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。 他具體包括：（1）

6、正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖； 它能反映物體的高度和長度；（2）側視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖； 它能反映物體的高度和寬度；（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖； 它能反映物體的長度和寬度；三視圖畫法規則： 高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊 長對正：主視圖與俯視圖的長應對正 寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應相等3空間幾何體的直觀圖（ 1）斜二測畫法 建立直角坐標系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐標系； 畫出斜坐標系， 在畫直觀圖的紙上 （平面上） 畫出對應的 O'X',O'Y',使 X'OY

7、9; ' =450 （或 1350），它們確定的平面表示水平平面； 畫對應圖形，在已知圖形平行于 X 軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X軸，且長度保持不變；在已知圖形平行于 Y 軸的線段，在直觀圖中畫成平行于 Y軸，且長度變為原來 的一半； 擦去輔助線，圖畫好后，要擦去X軸、 Y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線） 。（2）平行投影與中心投影 平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點。注意： 畫水平放置的多邊形的直觀圖的關鍵是確定多邊形頂點的位置，因為多邊形頂點的位置一旦確定， 依次連結這些頂點就可畫出多邊形來， 因此平面多邊形水平放置時， 直觀 圖的畫法可以歸結為確定點的位置

8、的畫法。強調斜二測畫法的步驟。例題講解：例 1將正三棱柱截去三個角（如圖1所示 A，B，C分別是GHI 三邊的中點）得到幾何體如圖 2，則該幾何體按圖2 所示方向的側視圖或稱左視圖） 為（D例3正方體 ABCD_ A1B 1C1D1的棱長為 2，點 M 是 BC的中點，點P是平面 ABCD 內的一個動點，且滿足 PM=2 ，P 到直線 A1D 1的距離為 5，則點 P的軌跡 是（）A.圓B.雙曲線C.兩個點D.直線解析： 點 P 到 A1D1的距離為 5，則點 P 到 AD 的距離為 1，滿足此條件的 P 的軌跡 是到直線 AD 的距離為 1 的兩條平行直線，又 PM 2， 滿足此條件的 P的

9、軌跡是以 M 為圓心，半徑為 2 的圓，這兩種軌跡 只有兩個交點 .故點 P 的軌跡是兩個點。選項為 C。點評： 該題考察空間內平面軌跡的形成過程，考察了空間想象能力。例 4兩相同的正四棱錐組成如圖 1所示的幾何體，可放棱長為 1的正方體內，使正四棱 錐的底面 ABCD 與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何 體體積的可能值有（ ）A1個B 2 個C3個D無窮多個解析： 由于兩個正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形 ABCD 中心，有對稱性知正四棱錐的高為正方體棱長的一半， 影響幾何體體積的只能是正四棱錐底 面正方形 ABCD 的面積，問題轉化為邊長

10、為 1 的正方形的內接正方形有多少種，所以選D。點評：本題主要考查空間想象能力， 以及正四棱錐的體積。 正方體是大家熟悉的幾何體， 它的一些內接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學會將空間問題向平面問題轉化。例 9畫正五棱柱的直觀圖，使底面邊長為 3cm側棱長為 5cm。 解析： 先作底面正五邊形的直觀圖，再沿平行于 Z 軸方向平移即可得。 作法：（ 1）畫軸：畫 X， Y， Z軸，使 XOY=45°（或 135°），XOZ =90°。（ 2）畫底面：按 X 軸， Y軸畫正五邊形的直觀圖 ABCDE 。（3）畫側棱：過 A、 B、C、D、E 各點分別作 Z軸的平

11、行線，并在這些平行線上分 別截取 AA ， BB ， CC， DD ， EE。（4）成圖：順次連結 A，B，C，D， F，加以整理，去掉輔助線，改被遮 擋的部分為虛線。點評： 用此方法可以依次畫出棱錐、棱柱、棱臺等多面體的直觀圖。 例 10 A B C 是正 ABC 的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若 A B C 的面積 為 3 ，那么 ABC 的面積為 。解析：2 6 。點評： 該題屬于斜二測畫法的應用， 解題的關鍵在于建立實物圖元素與直觀圖元素之間 的對應關系。特別底和高的對應關系。邏輯思維能力。例 12多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面 內，其

12、余頂點在 的同側，正方體上與頂點 A 相鄰的三個頂點到 的距離分別為 1，2和 4，P是正方體的其余四個頂點中的一個， 則 P 到平面 的距離可能是： 3； 4；5； 6；7以上結論正確的為 （寫出所有正確結論的編號）解析： 如圖， B、D、A1 到平面 的距離分別為 1、2、4，則 D、A1 的中點到平面 的距離為 3，所以 D1 到平面 的距離為 6；B、A1 的中點到平面的距離為5，所以 B1到平面 的距離為 5；則 D、B 的中點到23平面 的距離為 ，所以 C到平面 的距離為 3；C、2A1 的中點到平面的距離為 7 ，所以 C1 到平面 的距2離為 7；而 P 為 C、C1、B1、

13、D1中的一點，所以選。 點評： 該題將計算蘊涵于射影知識中，屬于難得的綜合題目。 例 13 （ 1）畫出下列幾何體的三視圖解析： 這二個幾何體的三視圖如下2）如圖，設所給的方向為物體的正前方，試畫出它的三視圖（單位：cm)點評： 畫三視圖之前，應把幾何體的結構弄清楚， 選擇一個合適的主視方向。一般先畫 主視圖，其次畫俯視圖， 最后畫左視圖。 畫的時候把輪廓線要畫出來， 被遮住的輪廓線要畫 成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應符合三條投射規律。解析： 圖是從 三個視 點征，主寬。而要相例 14某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀該幾何體為一個正四棱錐分析： 三視三個不同的方向看同一物體得到

14、的 圖。評： 主視圖反映物體的主要形狀特 要體現物體的長和高， 不反映物體的 俯視圖和主視圖共同反映物體的長 等。左視圖和 俯視圖共同反映物體的寬要相等。據此就不難得出該幾何體的形狀。、空間幾何體的表面積和體積1多面體的面積和體積公式：名稱側 S 積 面 側) 全S 積 面 全) 積 體棱棱柱× 長 周 面 截 直h面截直 S = h底 S柱柱棱直chh 底S棱錐錐 棱h底S13錐棱正ch1底S +側 S棱棱底下S底上Sh11正棱臺 2 (c+c )h + S下底 S下底 )表中 S 表示面積， c、 c 分別表示上、下底面周長， h 表斜高， h 表示斜高， l 表示 側棱長。2旋

15、轉體的面積和體積公式：名稱圓柱圓錐圓臺球S側2rlrl (r 1+r 2)lS全2r(l+r)r(l+r)22 (r 1+r 2)l+ (r 1+r 2)4RV r 2h( 即 r 2l)12 r h31 2 2 h(r 1+r 1r 2+r 2)343 R3表中 l 、 h 分別表示母線、高， r 表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑， r 1、 r 2 分別表示圓臺 上、下底面半徑， R表示半徑。3探究柱、錐、臺的體積公式：1、棱柱（圓柱）可由多邊形（圓）沿某一方向平移得到，因此，兩個底面積相等、高 也相等的棱柱（圓柱）應該具有相等的體積柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積S和高 h 的積，即

16、V柱體 Sh2、類似于柱體，底面積相等、高也相等的兩個錐體，它們的體積也相等棱錐的體積 公式可把一個棱柱分成三個全等的棱錐得到，由于底面積為 S ，高為 h 的棱柱的體積 1V棱錐 Sh，所以 V錐體 3Sh3、臺體（棱臺、圓臺）的體積可以轉化為錐體的體積來計算如果臺體的上、下底面1面積分別為 S，S，高為 h ，可以推得它的體積是 V臺體h（S SS S） 4、柱體、錐體、臺體的體積公式之間關系如下：V柱體 Sh （S S）V臺體 1h（S SS S）（S 0） V錐體 1Sh33 4探究球的體積與面積公式：1球的體積：（1）比較半球的體積與其等底等高的旋轉體的體積結論：V圓錐 V半球V圓

17、柱（2）利用“倒沙實驗” ，探索底面半徑和高都為球半徑的圓柱、 圓錐與半球三者體積之 間的關系（課件演示）結論：12V球V圓柱V圓錐R2R31R2R23R3（3）得到半徑是的球的體積公式：結論：V球2球的表面積：34 R3由于球的表面是曲面, 不是平面 , 所以球的表面積無法利用展開圖來求. 該如何求球圖1Si（1）若將球表面平均分割成 n個小塊 ,則每小塊表面可近似看作一個平面 ,這 n 小 塊平面面積之和可近似看作球的表面積 . 當 n趨近于無窮大時 , 這 n小塊平面面積之和接 近于甚至等于球的表面積 .（2）若每小塊表面看作一個平面 , 將每小塊平面作為底面 , 球心作為頂點便得到 n

18、 個棱錐 , 這些棱錐體積之和近似為球的體積 . 當 n越大 , 越接近于球的體積 , 當 n 趨近于無 窮大時就精確到等于球的體積 .（ 3）半徑為 R的球的表面積公式：結論：4 R2例題講解：例 1一個長方體全面積是 20cm2，所有棱長的和是 24cm，求長方體的對角線長 解析： 設長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、 ycm、 zcm、 lcm依題意得：2(xy yz zx) 204(x y z) 24(1)(2)由（ 2）2 得： x2+y 2+z2+2xy+2yz+2xz=36 （3）由（ 3）（ 1）得 x2+y2+z2=16即 l2=16所以 l=4（cm） 。點評： 涉

19、及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、 長方體的表面積多被考察。我們平常的學習中要多建立一些重要的幾何要素（對角線、內切）與面積、 體積之間的關系。例 2如圖 1 所示，在平行六面體 ABCDA1B1C1D1中，已知 AB=5 ， AD=4 ，AA1=3，AB AD，A1AB=A1AD=3。1）求證：頂點 A1在底面 ABCD 上的射影 O 在BAD 的平分線上；2）求這個平行六面體的體積。圖 1 圖 2 解析：（ 1）如圖 2，連結 A1O，則A1O底面 ABCD 。作OMAB 交AB 于M，作ON AD 交 AD 于 N，連結 A 1M ，A 1N 。由三垂線定得得 A

20、1MAB ，A 1N AD 。 A1AM= A 1AN ， RtA 1NA Rt A 1MA, A1M=A1N， 從而 OM=ON 。點 O 在 BAD 的平分線上。13 （ 2） AM=AA 1cos =3 × =3 2 2 AM 3 AO= = 2 。2cos42 2 2 9 9又在 Rt AOA 1中， A 1O 2=AA 12 AO 2=9 = ，22 A1O= 3 2 ，平行六面體的體積為 V 5 4 3 2 30 2 。 22例 3一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是2, 3, 6 ，這個長方體對角線的長是（）A2 3B3 2C 6D 6解析： 設長方體共一頂點的三邊長

21、分別為a=1， b 2，c 3，則對角線 l 的長為l= a2 b2 c26 ；答案 D 。點評： 解題思路是將三個面的面積轉化為解棱柱面積、體積的幾何要素棱長。例 4如圖，三棱柱 ABCA1B1C1中，若 E、F 分別為 AB、AC 的中點，平面 EB1C1將三棱柱分 成體積為 V1、V2的兩部分，那么 V1V2= 。解析： 設三棱柱的高為 h，上下底的面積為 S，體積為 V，則 V=V1+V2 Sh。 E、F 分別為 AB、AC的中點，S AEF= 1 S,V1=13 h（S+ 41 S+ S 41 ）= 172 ShV2=Sh-V1= Sh，12V1V 2=75。點評： 解題的關鍵是棱柱

22、、 棱臺間的轉化關系， 建立起求解體積的幾何元素之間的對應 關系。最后用統一的量建立比值得到結論即可。題型 3：錐體的體積和表面積C例 5（2006上海， 19）在四棱錐 PABCD 中，底 面是邊長為 2 的菱形， DAB 60 ，對角線 AC 與 BD 相交于點 O，PO平面 ABCD ，PB 與平面 ABCD 所成的角為 60 ，求四棱錐 P ABCD 的體積？ 解析：（1）在四棱錐 P-ABCD 中，由 PO平面ABCD, 得 PBO 是 PB 與平面 ABCD 所成的角， PBO=6°0 。在 RtAOB 中 BO=ABsin30° =1, 由 POBO ，于是

23、PO=BOtan6°0 = 3 ，而底面菱形的面積為 2 3 。四棱錐 PABCD 的體積 V= 1 ×2 3 × 3 =2。3點評： 本小題重點考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力 方面主要考查空間想象能力。題型 4：錐體體積、表面積綜合問題例 7ABCD 是邊長為 4 的正方形， E、F 分別是 AB 、AD 的中點， GB 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，且 GC2，求點 B 到平面 EFC 的距離？解析： 如圖，取 EF 的中點 O，連接 GB、GO、CD 、FB 構造三棱錐 BEFG。構造以點 B設點 B 到平面 EFG的距離

24、為 h，BD4 2，EF 2 2，CO 3×4 2 3 2。 4GOCO2 GC2 (3 2)2 22 18 4 22 。而 GC平面 ABCD ，且 GC 2。11由 VB EFG VG EFB ，得 EF· GO· hSEFB ·63點評：該問題主要的求解思路是將點面的距離問題轉化為體積問題來求解。為頂點， EFG 為底面的三棱錐是解此題的關鍵， 利用同一個三棱錐的體積的唯一性列方程是解這 類題的方法，從而簡化了運算。例 8（ 2006 江西理， 12）如圖，在四面體 ABCD中，截面 AEF 經過四面體的內切球（與四 個面都相切的球）球心 O，且與

25、 BC， DC分別截于 E、 F，如果截面將四面體分成體積相等的 兩部分，設四棱錐 ABEFD與三棱錐 A EFC的表面積分別是 S1，S2，則必有（）A S1 S2B S1 S2C S1=S2DS1， S2的大小關系不能確定解析： 連 OA 、OB、OC、OD， 則 V A BEFD V OABD VOABE VOBEFDVAEFCV OADC V O AEC V OEFC又 V A BEFD VAEFC， 而每個三棱錐的高都是原四面體的內切球的半徑，故SABD SABESBEFDSADCSAECSEFC 又面 AEF 公共，故選 C點評： 該題通過復合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難

26、度，求解棱錐的體積、 表面積首先要轉化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應關系。例 10（1）（ 1998 全國， 9）如果棱臺的兩底面積分別是 S、S，中截面的面積是 S0，那么 （）A 2 S0S S B S0SS C2S0S S DS022SS2和 4，高為 2，則其體（ 2）（1994 全國， 7）已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為 積為（ ）A 32 3B 28 3C24 3D20 3解析（ 1）解析：設該棱臺為正棱臺來解即可，答案為A ；2）正六棱臺上下底面面積分別為：S 上6· 3 ·226 3 ，4S 下 6· 344224 3 ，1V 臺 h（

27、S上S上 S下 S下 ） 28 3 ，答案 B。3點評： 本題考查棱臺的中截面問題。根據選擇題的特點本題選用“特例法”來解，此種 解法在解選擇題時很普遍，如選用特殊值、特殊點、特殊曲線、特殊圖形等等。題型 6：圓柱的體積、表面積及其綜合問題例 11（2000 全國理， 9）一個圓柱的側面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側 面積的比是（ ）1 2 1 4 1 2 1 4A BCD2 4 2解析： 設圓柱的底面半徑為 r ，高為 h，則由題設知 h=2 r. S全=2r2+（2r）2=2r2（1+2）.S 側=h2=42r2， S全 1 2 。答案為 A 。S側2點評： 本題考查圓柱的側面

28、展開圖、側面積和全面積等知識。例 12（2003 京春理 13，文 14）如圖 99，一個底面半徑為 R 的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為 r 的實心鐵球，水面高度恰好升高Rr ，則 =r解析： 水面高度升高r ，則圓柱體積增加R2· r 。恰好是半徑為 r 的實心鐵球的體積，因此有 4 r 3=R2r。故 R 2 3 。答案為 2 3 。3 r 3 3點評： 本題主要考查旋轉體的基礎知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。例13（1）（2002京皖春， 7）在 ABC中， AB=2，BC=1.5， ABC=120°（如圖所示） ， 若將 ABC 繞直線 BC

29、旋轉一周，則所形成的旋轉體的體積是（）2）（2001 全國文，3）若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為3 ，則這個圓錐的全面積是（B3 3 C 6解析：（ 1）如圖所示，該旋轉體的體積為圓錐 ADE 體積之差，又求得 AB=1。13 VVC ADE VB ADE5132312)S 21 absin，12a sin602° 3 ，D9C ADE 與圓錐BD。圖3 1 2 ，答案 a2 4，a2，a=2r，r1，S 全2rr223，答案 A 。點評： 通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對空間圖形的處理能力是 空間想象力深化的標志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向

30、。例 14（2000 全國文， 12）如圖所示， OA 是圓錐底面中心 O 到母線的垂線， OA 繞軸旋轉 一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為（ ）1B2C 2D142解析： 如圖所示，由題意知，121 r h36R2h，Rr R2 又 ABO CAO，圖r OAOA R2R2ROA r·R 2,OA 4 2，OA cos R1 ，答案為 D 。42點評： 本題重點考查柱體、錐體的體積公式及靈活的運算能力。 例 15 已 知 過 球 面 上 A,B,C 三 點 的 截 面 和 球 心 的 距 離 為 球 半 徑 的 一 半 ， 且AB BC CA 2 ，求

31、球的表面積。 解析： 設截面圓心為O ，連結 O A ，設球半徑為 R ，則O A 2 3 232在 Rt O OA 中，OA2 O A2OO2， R2 (233)214R2，R 43 ，64。9點評： 正確應用球的表面積公式， 例 16 如圖所示，球面上有四個點 PA=PB=PC= a，求這個球的表面積。2 S 4 R2建立平面圓與球的半徑之間的關系。P、 A 、 B 、 C，如果 PA，PB， PC 兩兩互相垂直，且解析： 如圖，設過 A 、B、C 三點的球的截面圓半徑為 r，圓心為 O，球心到該圓面 的距離為 d。在三棱錐 PABC 中， PA，PB，PC 兩兩互相垂直，且 PA=PB=

32、PC= a, AB=BC=CA= 2 a,且 P 在ABC 內的射影即是 ABC 的中心 O。 由正弦定理，得 2a =2r, r= 6 a。sin60 3又根據球的截面的性質，有 OO平面 ABC，而 PO平面 ABC ， P、O 、O共線，球的半徑 R= r2 d2 。又PO= PA2 r2 = a2 2a2 = 3 a，33OO=R 3 a=d= R2 r 2 ,（R 3 a）2=R2 （ 6 a）2，解得 R= 3 a,3 3 3 2 S 球=4 R2=3 a2。點評： 本題也可用補形法求解。將 P ABC 補成一個正方體，由對稱性可知，正方體 內接于球，則球的直徑就是正方體的對角線，

33、易得球半徑 R= 3 a,下略。2例 17（ 2006四川文， 10）如圖，正四棱錐 P ABCD 底面的四個頂點 A,B,C,D在球 O的 同一個大圓上，點 P 在球面上，如果 VP ABCD 16 ，則球 O的表面積是（ ）3A 4B 8C 12D16（2）半球內有一個內接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內，若正方體棱長為6 ，求球的表面積和體積。解析：（ 1）如圖，正四棱錐 P ABCD 底面的四個頂點 A,B,C,D在球 O的同一個大圓上，點 P在球面上， PO底面ABCD ， PO=R ， SABCD 2R2 ， VP ABCD ， 所 以ABCD 31 2 1 62R R， R

34、=2 ，球 O 的表面積是 16 ，選 D 。33（2）作軸截面如圖所示，CC 6 ， AC 2 6 2 3 ， 設球半徑為 R ，則 R2 OC2 CC 2( 6)2 ( 3)2 9 R 3 ， 2 4 3 S球 4 R 36 ， V球R 36 。球 球 3點評：本題重點考查球截面的性質以及球面積公式，解題的關鍵是將多面體的幾何要素轉化成球的幾何要素。例 19（1）我國首都靠近北緯 40 緯線，求北緯 40 緯線的長度等于多少 km ？（地球半徑 大約為 6370 km ）（ 2）在半徑為 13cm的球面上有 A,B,C 三點， AB BC AC 12cm ，求球心到經過 這三點的截面的距離

35、。解析：（ 1）如圖， A是北緯 40 上一點， AK 是它的半 OK AK ，設C 是北緯 40 的緯線長， AOB OAK 40 ， C 2 AK 2 OA cos OAK 2 OA cos 402 3.14 6370 0.7660 3.066 104 （km） 答：北緯 40 緯線長約等于 3.066 104 km 2）解：設經過 A,B,C 三點的截面為 O ， 設球心為 O，連結 OO ，則OO 平面 ABC， AO 3 12 2 4 3 ，23徑， OOOA2 OA 2 11 ，所以，球心到截面距離為 11cm 點的劣弧長為R（ R 為地球半徑） ，求 A,B 兩點間的球面距離。解

36、析：設北緯 45 圈的半徑為2r ，則 rR ，設 O 為4例 20在北緯 45 圈上有 A,B 兩點，設該緯度圈上 A,B 兩北緯 45 圈的圓心， AO' B ，2RAB 2r R， ABC 中， AOB ，3所以， A, B兩點的球面距離等于R 3點評： 要求兩點的球面距離， 必須先求出兩點的直線距離， 再求出這兩點的球心角， 進 而求出這兩點的球面距離。第一章 檢測題1長方體 ABCD-A1B1C1D1的 AB=3，AD=2，CC1=1，一條繩子從 A 沿著表面拉到點 C1，繩子的最 短長度是（ ）A 13+1 B 26 C 18 D 142若球的半徑為 R，則這個球的內接正方

37、體的全面積等于（）2 2 2 2A8R2B 9R 2C10R2D12R23邊長為 5cm的正方形 EFGH是圓柱的軸截面 , 則從 E 點沿圓柱的側面到相對頂點 G的最短 距離是（ ）A 10cm 5 2 cm5 2 1cm D 4 24 倍，則球的表面積擴大成原球面積的（C 8 倍 D16倍4球的大圓面積擴大為原大圓面積的 4 倍1：2：3，那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的A 2倍B5三個球的半徑之比為A 1 倍2倍cm6正方體的全面積是2a2a,A 37兩個球的表面積之差為 （）A4它的頂點都在球面上，2a14 倍D 1 3 倍54這個球的表面積是（ ）248 ,它們的大圓周長

38、之和為12 , 這兩個球的半徑之差為8已知正方體的棱長為 a，過有公共頂點的三條棱的中點的截面分別截去8 個角，則剩余部分的體積是（ ）11. 兩個球的表面積之比是1：16，這兩個球的體積之比為（A 1 a23 B 23 aC53 a6D11 3 a129. 正方形ABCD的邊長為 1，E、F 分別為 BC、CD的中點，沿AE，EF，AF折成一個三棱錐，使 B，C，D三點重合，那么這個三棱錐的體積為（）A 1B12D5 C824244810. 棱錐 V-ABC的中截面是 A1B1C1，則三棱錐 V-A1B1C1 與三棱錐 A-A1BC的體積之比是 （）A 1：2B 1 ：4C1：6D1：8A 1： 32B1：24C1：64D 1 ： 25612兩個球的體積之比為 8：27，那么，這兩個球的表面積之比為()A 2： 3B4：9C 2 : 3D 8 : 2713(棱長為 a 的正方體內有一 )個球，與這個正方體的12 條棱都相切，則這個球的體積應為A3 4 aB3 a 4C2 3Ca323Da414半徑為 R 的球的外切圓柱的表面積是 15 E是邊長為 2的正方形 ABCD邊 AD