1、例解排列組合中涂色問題干涂色問題有關的試題新穎有趣,其中包含著豐富的數學思想。解決涂色問題方法技巧 性 強且靈活多變，故這類問題的利干培養學生的創新思維能力、分析問題與觀寮問題的能力， 有 利于開發學生的智力。本文擬總結涂色問題的常見類型及求解方法。一、區域涂色問題1、根據分步計數原理，對各個區域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法。色,例1、用5種不同的顏色給圖中標、的各部分涂色，每部分只涂一種顏 相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？分析：先給號區域涂色有 5種方法，再給號涂色有 4種方法，接看給號涂色方法有種，由于號與、不相鄰，因此號有 4種涂法，根據分步計數原理，不同的涂色方5

2、x4x3x4 = 240法有2、根據共用了多少種顏色討論，分別計算出各種出各種惜形的種數，再用加法原理求 不同的涂色方法種數。例2、(2003XX卷)四種不同的顏色涂在如圖所示的 6個區域，且相鄰兩個區域不能 色。分析：依題意只能選用 4種顏色，要分四類(1)與同色、與同色，則有血；與同色、與同色，則有 A：；與同色、與同色,則有與同色、與同色,則有(5)與同色？與同色，則有A：；所以根據加法原理得涂色方法總數為5A ： =120例3、(2003年全國高考題)如圖所示，一個地區分為 5個行政區域，現給地圖著色，要 求相鄰 區域不得便用同一顏色，現有 4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？

3、分析：依題意至少要用3種顏色1) 當先用三種顏色時，區域 2與4必須同色,2) 區域3與5必須同色，故有種；3)當用四種顏色時，若區域 2與4同色，則區域3與5不同色，有種；若區域3與5M-4不同色有種，故用四種顏色時共有 2A：種。由加法原理可知滿足題意的看色方法共有 A; +2 A: =24+2 x 24=723、根據某兩個不相鄰區域是否同色分類討論，從某兩個不相鄰區域同色與不同色入手 別計算出兩種情形的種數，再用加法原理求出不同涂色方法總數。例4用紅、黃、藍、白？黑五種顏色涂在如圖所示的四個區域內，每個區域涂一種 顏色，相鄰兩個區域涂不同的顏色，如果顏色可以反童使用，共有多少種不同的涂方

4、法？分析:可把問題分為三類：四格涂不同的顏色，方法種數為£(2)有且僅兩個區域相同的顏色，即只 有一組對角 小方格涂相同的顏色，涂法種數為20;；5)兩組對角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數為因此，所求的涂法種數為崔 +2C; A; +&=2604、根據相間區使用顏色的種類分類例5如圖，6個扇形區域B、C、E、F,現給這6個區域著色, 區域涂同一種顏色，相鄰的兩個區域不得使用同一種顏色，現有兒解(1)當相間區域A、C、E看同一種顏色時,有4種著色方法，此時，B、D、F各有3種著色方法， 此 時，B、D、F各有3種著色方法故有 4x3x3x3 = 108 種方 法。B、要求同一

5、4種不同的顏色可(2)當相間區域A、C、E著色兩不同的顏色時，有種著色方法，此時D、F有3x2x2種著色方法，故共有 0Ax3x2x2 = 432種著色方法。當相間區域A、C、E著三種不同的顏色時有種著色方法，此時氏D、F各有2種著色方法。此時共有 A>2x2x2 = 192種方法。故總計有108+432+192=732 種方法。說明：關于扇形區域區域涂色問題還可以用數列中的遞推公來解決如:如圖，把一個圓分成nn > 2)個扇形，每個扇形用紅、白,藍，黑四色之一染色,要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法解:設分成n個扇形時染色方法為心種(1)當n=2時人、A?有A; =12種，即=

6、12(2)當分成n個扇形，如圖，兒與生不同色，生與人不同色與兒不同色，共有4x3n-'種染色方法，但由干 A”與兒鄰，所以應排除兒與人同色的情形；4與人同色時，可把每、人看成一個扇形，與前 H-2個扇形加在一起為“ -1個扇形，此時有心- 種染色法，故有如下遞推關系: =4x3”“ -an = a,- + 4 x 3 ,_| = + 4 x 3 /,_ ) + 4x 3"-=an_2-4x 3”一 2 +4x 3" “ -=an_3 +4x 3"_-4x 3 ,_2 +4x 3 H_,= - =4x 3"T 3，_2 + + (_ 1) ” x

7、3= (_l) “ x3 + 3 ”二、點的涂色問題方法有：( 1)可根據共用了多少種顏色分類討論，(2)根據相對頂點是否同色分類討論，( 3)將空間問題平面化，轉化成區域涂色問題。例6、將一個四棱錐S-ABCD勺每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有 5 種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數是多少？解法一：滿足題設條件的染色至少要用三種顏色。(1) 若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S, 再從余下的四種顏色中任選兩種涂 A、B、C、D四點，此時只能 A與C、B與D分別同色，故有C； 盤 =60 種方法。(2) 若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏

8、色染頂點S, 再 從余下的四種顏色中任選兩種染A 與 B, 由于A、 B 顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C,而D與C,而 D 與 C 中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有= 240 種方法。(3) 若恰用五種顏色染色，有& = 120 種染色法綜上所知，滿足題意的染色方法數為60+240+120=420 種。解法二：設想染色按S-A-B-C-D 的順序進行，對S、 A、 B 染色，有5x4x3 = 60 種 染色方法。由于 C 點的顏色可能與A 同色或不同色，這影晌到D 點顏色的選取方法數，故分類討論:C與A同色時(此時C對顏色的選取方法唯一)，D應與

9、A(C)、S不同色，有3種選擇；C 與 A 不同色時，C 有 2 種選擇的顏色，D 也有 2 種顏色可供選擇，從而對C、 D 染色有 Ix3 +2x2 = 7 種染色方法。由乘法原理，總的染色方法是60x7=420解法三：可把這個問題轉化成相鄰區域不同色問題：如圖，五個區域用5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法 ？解答略。三、線段涂色問題對線段涂色問題，要注意對各條線段依次涂色，主要方法 有：1)根據共用了多少顏色分類討論2)根據相對線段是否同色分類討論。例7、用紅、黃、藍、白四種顏色涂矩形 ABCD的四條邊，每條邊只涂一種顏色, 且便相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同

10、的涂色方 法？解法一：(1)使用四顏色共有種(2)便用三種顏色涂色，則必須將一組對邊染成同色，故有 CJC'AJ種，(3)使用二種顏色時，則兩組對邊必須分別同色，有種因此，所求的染色方法數為十種解法二：涂色按 AB-BC CD DA的順序進行，對 AB、BC涂色有4x3 = 12種涂 色方法。由于CD的顏色可能與AB同色或不同色，這影響到 DA顏色的選取方法數，故 分類 討論：當CD與AB同色時，這時CD對顏色的選取方法唯一，則 DA有3種顏 色可供選擇CD與AB不同色時，CD有兩種可供選擇的顏色，DA也有兩種可 供選 擇的顏色，從而對 CD、DA涂色有Ix3 + 2x2 = 7種涂色

11、方法。由乘法原理，總的涂色方法數為12x7 = 84種例8、用六種顏色給正四面體 A-BCD勺每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色且共頂點的棱涂不同的顏色，問有多少種不同的涂色方法？解：(1)若恰用三種顏色涂色，則每組對棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同，故有ZE種方法。(2)若恰用四種顏色涂色，則三組對棱中有二組對棱的組內對棱涂同色，但組與 組之間不同色，故有種方法。(3)若恰用五種顏色涂色，則三組對棱中有一組對棱涂同一種顏色，故有種方法。(4)若恰用六種顏色涂色，則有種不同的方法。綜上，滿足題意的總的染色方法數為A； + CA6 + W +八6= 4080 種四、面涂色問題個具例9、從給

12、定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的6 個面涂色，每兩有公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？分析：顯然，至少需要3 三種顏色，由干有多種不同惜況，仍應考慮利用加法原理分類、乘法原理分步進行討論解：根據共用多少種不同的顏色分類討論(1)用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5種選擇，在上？下底巳涂好后，再確定其余 4種顏色中的某一種所涂面為左側面，則其余 3個面有3!種涂色方案，根據乘法原理=5x3!= 30(2)共用五種顏色，選定五種顏色有種方法，必有兩面同色(必為相對面)，確定為上、下底面，其顏色可有 5種選擇，再確定一種顏色為左側面，此時的方法數取決于右側面的顏色，有3種選擇(前后面可通過翻轉交換)n2 =8x5x3 = 90(3)共用四種顏色，仿上分析可得"3 =0: c: = 90共用三種顏色中例10、四棱錐P-ABCD,用4種不同的顏