1、第十七章 氣體動理論第八章本章內容Contentschapter 17理想氣體壓強與溫度理想氣體壓強與溫度ideal gas pressure and temperature理想氣體的內能理想氣體的內能internal energy of ideal gas麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律Maxwell speed distribution氣體分子的平均自由程氣體分子的平均自由程mean free path of gas molecular概率概率 等概率假設等概率假設probability, postulates of equiprobability氣體動理論的基本思想氣體動理論的基本思

2、想basic concept of kinetic theory of gases第一節1 7 - 1物質與分子物態與分子力斥斥引引合合力力有效半徑有效半徑 10 10 m 10 8 m熱運動特征個個cm3(1000(1000萬倍于我國人口數量級）萬倍于我國人口數量級）500 m/s碰碰 1010 次次 / s 個個第二節probability1 7 - 2postulates of equiprobability概率概率某事件某事件X出現的概率出現的概率事件事件X X出現的次數出現的次數試驗總次數試驗總次數在很多次的試驗中在很多次的試驗中概率定義式概率定義式若可能事件有若可能事件有 種種則則

3、 種可能事件發生的總次數種可能事件發生的總次數試驗總次數試驗總次數各種可能事件的概率之和等于各種可能事件的概率之和等于1 1。歸一化條件歸一化條件 概率概率 在所有可能發生的事件中，某種事件發生在所有可能發生的事件中，某種事件發生可能性（或相對機會）的大小。可能性（或相對機會）的大小。概率密度函數( ( 單位間隔內出現的概率單位間隔內出現的概率 ) )概率密度函數概率密度函數事件出現在事件出現在 內的概率內的概率與與 的位置和的位置和 的大小有關的大小有關若表示事若表示事 X 的量的量 x 可連續變化（例如在某些隨機因素影響可連續變化（例如在某些隨機因素影響下，多次測量某電機的轉速可能在某一范

4、圍內變化）。下，多次測量某電機的轉速可能在某一范圍內變化）。若函數若函數的形式已知的形式已知則則等概率假設 當系統處于平衡態時，其各個可能的微觀當系統處于平衡態時，其各個可能的微觀態出現的概率相等。態出現的概率相等。 對于氣體而言，當氣體處于平衡態時，其對于氣體而言，當氣體處于平衡態時，其分子向各個方向運動的概率相等。（如在直分子向各個方向運動的概率相等。（如在直角坐標中，分子速度的三個分量的各種統計角坐標中，分子速度的三個分量的各種統計平均值相等）。平均值相等）。統計平均的的統計平均值統計平均值若若 值可連續變化值可連續變化 則連續變量的平均值等于該量與概率密度函數乘積的積分。連續變量的平均

5、值等于該量與概率密度函數乘積的積分。對某量對某量 進行進行 次測量，次測量，測量值測量值出現次數出現次數測量值乘測量值乘以出現次數以出現次數 第三節pressure and temperature of ideal gas1 7 - 3微觀模型氣體分子的大小與分子間的平均距離相氣體分子的大小與分子間的平均距離相比可以忽略比可以忽略,分子可視為質點分子可視為質點,同種分子同種分子具有相同質量。具有相同質量。分子除碰撞瞬間外，無其它相互作用。分子除碰撞瞬間外，無其它相互作用。碰撞視為完全彈性碰撞。碰撞視為完全彈性碰撞。 這是由氣體的共性抽象出來的一個理想這是由氣體的共性抽象出來的一個理想模型。在壓

6、力不太大、溫度不太低時，與模型。在壓力不太大、溫度不太低時，與實際情況附合得很好。實際情況附合得很好。壓強概念主要理論依據：主要理論依據：動量定理動量定理、統計平均統計平均宏觀宏觀：器壁單位面積所受的壓力：器壁單位面積所受的壓力微觀微觀：大量大量氣體分子頻繁氣體分子頻繁碰撞器壁碰撞器壁對器壁單位面積的對器壁單位面積的平均沖力平均沖力要考慮分子速度要考慮分子速度（大小及方向）（大小及方向）不同的因素不同的因素對各種不同速對各種不同速度間隔的分子度間隔的分子碰壁沖量求和碰壁沖量求和運用統計平均運用統計平均值及平衡態概值及平衡態概念得到壓強與念得到壓強與微觀量的關系微觀量的關系標準狀態下標準狀態下氣

7、體的分子數密度氣體的分子數密度其數量之多已其數量之多已能很好滿足微能很好滿足微觀統計的要求觀統計的要求個個cm3動畫示意同種分子碰撞一個分子碰壁一束分子碰壁其若氣體中速度基本為若氣體中速度基本為 的的分子數密度為分子數密度為則則該束分子與該束分子與 碰撞而發生的動量碰撞而發生的動量變化變化為為在在 時間內，入射分子束在斜時間內，入射分子束在斜園柱體的體積園柱體的體積 中速度基本為中速度基本為 的分子，都能碰撞器壁一次。的分子，都能碰撞器壁一次。 容器中氣體總容器中氣體總體的分子數密度體的分子數密度的的統計平均值統計平均值上述上述 能能與與 碰撞的所有分子的總動量變化碰撞的所有分子的總動量變化得

8、得vx2 的統計平均值多束分子碰壁將上式對平衡態氣體中從將上式對平衡態氣體中從一切一切不不同方向同方向、以、以不同速度不同速度射向射向 的的各束分子各束分子求和求和，其總動量變化為，其總動量變化為因平衡態中兩者各占一半，故因平衡態中兩者各占一半，故的分子才能與的分子才能與 相碰。相碰。（負射向分量）（負射向分量）此式包含此式包含和和的分子。只有的分子。只有能能與與 碰撞的所有分子的總動量變化碰撞的所有分子的總動量變化為為平均沖力由上述結果由上述結果壁對氣壁對氣則氣體分子受器壁作用的平均沖力則氣體分子受器壁作用的平均沖力器壁器壁 受氣體分子作用的平均沖力受氣體分子作用的平均沖力壁對氣壁對氣氣對壁

9、氣對壁vx2 的平均換成 v 2 的平均上述上述 器壁器壁 受氣體分子作用的平均沖力受氣體分子作用的平均沖力壁對氣壁對氣氣對壁氣對壁又因又因則則 由于分子向由于分子向 x、y、z 方向運動概率相等方向運動概率相等 可推知可推知定義定義氣體分子的平均平動動能氣體分子的平均平動動能為大量為大量氣對壁氣對壁 理想氣體的壓強公式理想氣體的壓強公式得得氣對壁氣對壁由此推得：由此推得：理想氣體壓強公式溫度公式壓強公式壓強公式理想氣體理想氣體氣體分子的平均平動動能氣體分子的平均平動動能理想氣體的理想氣體的溫度公式溫度公式1玻耳茲曼常數玻耳茲曼常數阿伏伽德羅常數阿伏伽德羅常數注：注：6.021.3810231

10、023molJ K1物態方程物態方程理想氣體理想氣體其中其中一個分子質量一個分子質量總分子數總分子數阿伏伽德羅常量阿伏伽德羅常量分子數密度分子數密度玻耳茲曼常量玻耳茲曼常量即即氣體總質量氣體總質量氣體摩爾質量氣體摩爾質量溫度的統計意義氣體分子的平均平動動能氣體分子的平均平動動能理想氣體的溫度公式溫度公式氣氣 體體 溫溫 度度 的的統統 計計 意意 義義與與 氣體分子的平均平動動能氣體分子的平均平動動能 成正比。成正比。氣體的熱力學溫度氣體的熱力學溫度 氣體的熱力學溫度可看作是對分子熱運動劇氣體的熱力學溫度可看作是對分子熱運動劇烈程度的量度。烈程度的量度。氣體的溫度是大量分子熱運動的集體表現，氣

11、體的溫度是大量分子熱運動的集體表現，具有統計意義具有統計意義。 離開大量分子，溫度失去意義。離開大量分子，溫度失去意義。例 1 1標準大氣壓標準大氣壓（1atm)=1.103 10 Pa1atm)=1.103 10 Pa某氧器瓶內，氧氣的壓強某氧器瓶內，氧氣的壓強1.00 atm溫度溫度27 C視為理想氣體，平衡態視為理想氣體，平衡態氧分子的平均平動動能氧分子的平均平動動能；分子數密度分子數密度由321.38102327+27332J 6.21 1021得得由3232321.103 1056.21 102125252.6610個得得虛設聯想由KC難以實現太陽表面溫度太陽表面溫度5490 C標準

12、狀態下（0 C，1atm）理想氣體的分子平均平動動能分子數密度3.53102ev2.921025m3個一個電子經過一個電子經過1伏特電勢差加速后所獲的伏特電勢差加速后所獲的動能為動能為1電子伏特（電子伏特（1ev) = 1.6021.602 1019J如果如果某理想氣體系統的分子平均平動動能要達到某理想氣體系統的分子平均平動動能要達到1ev, 其溫度將會有多高？其溫度將會有多高？例在一定溫度下，混合氣體的壓強等于相混合的各種氣體在一定溫度下，混合氣體的壓強等于相混合的各種氣體單獨存在時的分壓強之和，即單獨存在時的分壓強之和，即設容器中設容器中 n 種氣體的分子數密度分別為種氣體的分子數密度分別

13、為 n1, n2, , nN則單位體積中的總分子為則單位體積中的總分子為同溫，各種分子的平均平動動能均相同，故總壓強同溫，各種分子的平均平動動能均相同，故總壓強第五節1 7 - 5maxwell speed distribution麥氏速率分布 首先引用一種簡明的實驗方法，說明氣體的分子首先引用一種簡明的實驗方法，說明氣體的分子數按速率分布的客觀規律性：數按速率分布的客觀規律性： 處于平衡態的氣體，其分子沿各向運動的機會均處于平衡態的氣體，其分子沿各向運動的機會均等，這并非意味著每個分子的運動速率完全相同，等，這并非意味著每個分子的運動速率完全相同，而是大量不同運動速度（大小和方向）的分子，在

14、而是大量不同運動速度（大小和方向）的分子，在一定條件下所形成的一種熱動平衡狀態。一定條件下所形成的一種熱動平衡狀態。 麥克斯韋速率分布律，是表示氣體處于熱平衡時，克斯韋速率分布律，是表示氣體處于熱平衡時，氣體的分子數按速度大小（速率）分布的規律。氣體的分子數按速度大小（速率）分布的規律。實驗動畫示意續續續續速率分布含義分布曲線總分子數+速率分布函數快減快增兩者相乘曲線pp若m、T 給定， 玻耳茲曼常數，函數的形式可概括為曲線曲線有單峰，不對稱速率分布曲線速率 恒取正歸一化條件若將速率區間擴展至若將速率區間擴展至 到到 即具有一切可能速率的分即具有一切可能速率的分子數與總分子數之比應為子數與總分

15、子數之比應為速率在速率在 到到 區間內的分子數區間內的分子數 與總分子數與總分子數 之比之比 對分子質量為對分子質量為m 、熱力學溫度為熱力學溫度為T 、處于平衡態的處于平衡態的氣體氣體最概然速率與此函數的極大值對應的速率與此函數的極大值對應的速率 （出現概率最大的速率）（出現概率最大的速率）或令可得不同條件比較（或 ）相同相同用進行比較平均速率 根據某連續變量根據某連續變量 x 的平均值等于該的平均值等于該量與概率密度函數乘積的積分的定義。量與概率密度函數乘積的積分的定義。 在討論氣體分子平均自由程問題時，將要涉及到分子的算在討論氣體分子平均自由程問題時，將要涉及到分子的算術平均速率概念術平

16、均速率概念或也有類似注意到方均根速率以 作為參與統計平均的連續變量則得回憶 聯系注意到或也有類似前面在討論平均平動動能時所涉及的就是方均根速率概念。前面在討論平均平動動能時所涉及的就是方均根速率概念。速率小結特征速率例題氧氣摩爾質量3.20 10mol溫度27 C處于平衡態氣體分子的和27 273 300 （ k ）483 ( m s )394 ( m s )447 ( m s )歸一化例題 假設有大量的某種粒子，總數目為N，其速率分布函數為均為正常數，且 為已知畫出該速率分布函數曲線根據概率分布函數應滿足的基本條件，確定系數求速率在 區間的粒子數+拋物線方程得Max續上概率分布函數應滿足概率

17、分布函數應滿足歸一化條件歸一化條件本題本題要求要求得得速率在速率在區間的粒子數得得 假設有大量的某種粒子，總數目為N，其速率分布函數為均為正常數，且 為已知根據概率分布函數應滿足的基本條件，確定系數畫出該速率分布函數曲線求速率在 區間的粒子數+拋物線方程得Max隨堂小議請在放映狀態下點擊你認為是對的答案請在放映狀態下點擊你認為是對的答案則代表氧的分布函數曲線為則代表氧的分布函數曲線為 （1 1）曲線）曲線 （2 2）曲線）曲線 f (v)vo結束選擇結束選擇小議鏈接1請在放映狀態下點擊你認為是對的答案請在放映狀態下點擊你認為是對的答案則代表氧的分布函數曲線為則代表氧的分布函數曲線為 （1 1）

18、曲線）曲線 （2 2）曲線）曲線 f (v)vo結束選擇結束選擇小議鏈接2請在放映狀態下點擊你認為是對的答案請在放映狀態下點擊你認為是對的答案則代表氧的分布函數曲線為則代表氧的分布函數曲線為 （1 1）曲線）曲線 （2 2）曲線）曲線 f (v)vo結束選擇結束選擇第六節1 7 - 6Boltzmann distribution玻耳茲曼分布玻耳茲曼分布數學表達第七節1 7 - 7internal energy of ideal gas分子平均動能自由度單原子分子單原子分子平動自由度平動自由度雙原子分子雙原子分子平動自由度平動自由度轉動自由度轉動自由度三及多原子分子三及多原子分子平動自由度平動自

19、由度轉動自由度轉動自由度能量均分定理理想氣體，平衡態，分子平均平動動能因故每個平動自由度的平均平動動能均為每個平動自由度的平均平動動能均為 將等概率假設推廣到轉動動能，每個轉動自由度的轉動能量相等，而且亦均等于（能量按自由度均分定理）平均動能 若將分子看作非剛性分子，還要考慮分子的振若將分子看作非剛性分子，還要考慮分子的振動動能，按一定的原則確定振動自由度。（略）動動能，按一定的原則確定振動自由度。（略）分分 子子 處于平衡態溫度為處于平衡態溫度為 的理想氣體，若將氣體分子看作剛的理想氣體，若將氣體分子看作剛性分子，如果分子有性分子，如果分子有 個平動自由度，個平動自由度， 個轉動自由度，則個

20、轉動自由度，則簡例 理想氣體處于平衡態時，證明氣體分子的平均動能 是平均平動動能 的 倍。氣體溫度的統計意義氣體溫度的統計意義氣體分子平均動能的含義氣體分子平均動能的含義本題是為了幫助理解 與 成正比的原因。理想氣體內能 某一定量理想氣體的內能某一定量理想氣體的內能 組成氣體的全部組成氣體的全部分子的平均動能之和。分子的平均動能之和。mol 氣體有（阿伏伽德羅常數） 個分子mol 理想氣體的內能分子的平均動能mol 理想氣體理想氣體mol 理想氣體的內能理想氣體的內能內能算例理想氣體mol 理想氣體的內能第八節1 7 - 8mean free path and mean collisional frequencyof gas molecule平均自由程熱運動分子之間熱運動分子之間分子的運動路徑分子的運動路徑頻繁碰撞頻繁碰撞曲折復雜曲折復雜 碰撞時兩分碰撞時兩分子質心距離的平子質心距離的平均值稱為分子的均值稱為分子的有效直徑有效直徑（見下頁（見下頁）碰撞頻率為分子的平均速率為分子的平均速率可聯系可聯系進行估算進行估算分子在單位時間內與其它分子的平均碰撞次數稱分子在單位時間內與其它分子的平均碰撞次數稱 碰撞頻率碰撞頻率碰撞頻