1、解解 n維單位坐標向量組構成的矩陣維單位坐標向量組構成的矩陣E = ( e1， e2， ， en )是 n 階的單位矩陣。由 |E| = 1 0，知R(E) = n ，即 R(E) 等于向量組中向量的個數，故由定理4知向量組是線性無關的。例例2 知知123102124157,. 試討論向量組 1，2，3 及向量組 1，2 的線性相關性。 解解 對矩陣（對矩陣（ 1，2，3 ）施行初等行變換，使之）施行初等行變換，使之變成行階梯形矩陣，即可同時看出矩陣變成行階梯形矩陣，即可同時看出矩陣 (1，2，3) 及及矩陣矩陣1，2的秩，由定理的秩，由定理 4 即可得出結論。即可得出結論。（1，2，3）=1

2、02022055=102011000, 可見 R( 1，2 ，3) = 2,由定理4知向量組 1,2 ,3 線性相關； R( 1，2)2，向量組 1,2 線性無關。102124157 例例3 已知向量組已知向量組1, 2 , 3線性無關線性無關 ,令令 1 = 1 + 2 , 2 = 2 + 3 , 3 = 3 + 1,試證向量組試證向量組1 , 2 , 3線性無線性無關。關。證證 設有設有x1 , x2 , x3使使x1 1+ x2 2 +x3 3 = 0,即 x1 ( 1 + 2 ) + x2( 2 + 3 ) + x3 ( 3 + 1 ) = 0亦即 ( x1 + x3 ) 1 + (

3、x1 + x2 ) 2 + ( x2 + x3 ) 3 = 0因 1, 2 , 3 線性無關 ，故有131223000 xxxxxx由于此方程組的系數行列式10111020011 故方程組只有零解 x1= x2 = x3 = 0，所以向量組 1 ,2 ,3線性無關。 定理定理5 （1若向量組若向量組 A: 1 ,2, , m 線性相關，線性相關，則向量組則向量組 B :1, 2 , m , m+1也線性相關。反言之，也線性相關。反言之，若向量組若向量組 B 線性無關，則向量組線性無關，則向量組 A 也線性無關。也線性無關。 證證:記記 A = ( 1 ,2, ,m ) , B = ( 1, 2

4、 ,m ,m+1 ) 有有R(B) R(A) + 1 ，若向量組，若向量組A線性相關，則由定理線性相關，則由定理4有有R(A) m ,從而從而 R(B) R(A) + 1 m + 1,再由定理再由定理4知向量組知向量組 B 線線性相關。性相關。 由上面的證明知：一個向量組若有線性相關的部分組，則該向量組必線性相關。特別地，含有零向量的向量組一定線性相關。一個向量組線性無關，則它的任何部分組都線性無關。(2) 設111 jjjjrjrjrjaa,aaa( j = 1,2,m ) 即向量j添上一個分量后得向量j,若向量A:1, 2, m線性無關,則向量組B:1,2 ,m也線性無關,反言之,若向量組

5、 B 線性相關,則向量組 A 也線性相關. 證證 記記Arm = ( 1,2,m ), B(r+1)m = ( 1, 2 , , m ),有有R(A) R(B).若向量組若向量組A線性無關，則線性無關，則R(A) = m,從而從而R(B) m.但但 R(B) m,故故 R(B) m ，因此向量組，因此向量組 B 線性無關。線性無關。 推論 若r維的向量線性無關,在r維的向量組每個向量都添上n-r個分量，得n維的向量組，則n維的向量組線性無關。 （3m個n維向量組成的向量組，當維數n小于向量的個數m時一定線性相關。 證證 m個個n維向量維向量1,2,m構成的矩陣構成的矩陣 Anm = (1,2,

6、m),有有R(A) n.若n m,則R(A) m,故m個向量1,2,m線性相關。 例例4 設有向量組設有向量組iT = (ai, ai2, ,ain ),(i = 1,2,m. m n ),試證向量組試證向量組1T,2T,mT,線性無關，其中線性無關，其中a1, a2, am 為為m個互不相等且不等于零的常數。個互不相等且不等于零的常數。證證 因為因為1T = (a1, a12, a1m,a1n )2T = (a2, a22, a2m,a2n )mT = (am, am2, amm,amn ) 前m個分量作成的行列式122221212mmmmmmaaaaaaaaa121211112111mmm

7、mmmaaaa aaaaa 從而向量組1T = (a1, a12, a1m)2T = (a2, a22, a2m)mT = (am, am2, amm)線性無關，所以增加分量后所得的向量組 1T , 2T, , mT線性無關。 1210mjij i ma aaaa 例例5 設設A是是 nm 矩陣，矩陣，B是是 mn 矩陣，其中矩陣，其中nm，若若AB = E，證明，證明B 的列向量線性無關。的列向量線性無關。 證證 設設B = ( 1, 2, , n )，其中，其中1, 2 , , n 是是 B 的列向量，假設的列向量，假設x1 1 + x2 2 + + xn n = 0即 （ 1, 2 ,

8、, n ）= BX = 0 兩邊左乘 A得 ABX = 0 ，即 EX = 0，從而X = 0，所以1, 2 , , n 線性無關。12nxxx 例例6 設向量設向量 可由向量組可由向量組1，2， ， m線性表線性表示，但不能向量組示，但不能向量組 () 1，2， ,m-1 線性表示，記線性表示，記向量組（向量組（） ，1，2， ,m-1 ，則，則m能由（能由（） 線性表示，但不能由線性表示，但不能由()線性表示。線性表示。證證 由于由于 可由可由1，2， ， m線性表示，即線性表示，即 11+ 22+ + m m又因為不能向量組 1，2， ,m-1線性表示，所以 m0，從而1121211mmmmmmm 故則 m 能由（） 線性表示。假設m能由()線性表示，則有m k11 + k22 + + km-1m-1 1