1、GPS高程擬合的轉換方法（河北理工大學）摘要：本文從 GPS定位系統的組成和介紹開始，分析研究了GPS高程的使用意義和不足，說明大地高、正常高和正高的概念及轉換關系，闡述了GPS高程擬合的原理。討論了繪等值線圖法，解析內插法中的多項式曲線擬合方法、三次樣條曲線擬合方法和Akima曲線擬合方法，曲面擬合中的多項式曲面擬合法、多面函數曲面擬合法、 曲面樣條擬合法和移動曲面擬合方法。研究并分析了GPS水準擬合的精度評定。關鍵詞：大地高，正常高，高程異常，高程擬合1引言GPS系統由GPS衛星星座（空間部分）、地面監控系統（地面控制部分）和GPSB號接收機圖1.1全球定位系統（GPS）構成示意圖GPS（

2、 Global Positio ning System/全球定位系統）系統是一種以空間衛星為基礎的無線電導航與定位系統，是一種被動式衛星導航定位系統，能為世界上任何地方，包括空中、 陸地、海洋甚至于外層空間的用戶，全天候、全時間、連續地提供精確的三維位置、三維速 度及時間信息，具有實時性的導航、定位和授時功能。GPS衛星星座21顆工作衛星和 3顆在軌備用衛星組成，這24顆衛星均勻分布在 6個軌道平面上。衛星軌道平面相對地球赤道平面的傾角約為55 ，各軌道平面升交點的赤經相差60，在相鄰軌道上，衛星的升交距角相差300 ,軌道平均高度約為 20200km，衛星運行周期為11時58分（恒星時12h

3、）。這一分布方式，保證了地面上任何時間、任何地點至 少可同時觀測到4顆衛星。GPS衛星的作用是接收和播發由地面監控系統提供的衛星星歷。地面監控系統由主控站、 注入站和監測站三部分組成，它們主要負責編算 GPS星歷將其發射到GPS衛星上，監測和控制 GPS衛星的“健康”狀況，保持各顆衛星處于同一時間標準，即 處于GPS時間系統.。GPS信號接收機的主要任務是接收GPS衛星發射的信號，以獲取必要的導航定位信息，并經數據處理而完成導航定位工作。當GPS衛星在用戶視界時， 接收機能捕獲到按一定衛星高度截止角所選擇的待測衛星，并能跟蹤這些衛星的運行：對所接收到的GPS信號具有變換、放大和處理的功能，以便

4、測量出GPS信號從衛星到接收機天線的傳播時間，解譯出GPS衛星所發射的導航電文，實時地計算出測站的三維坐標位置，甚至三維速度和時間。GPS水準高程擬合模型的研究是為了實現由GPS大地高求出水準高，用GPS水準代替幾何水準，提高GPS水準測量的精度，發揮 GPS技術提供三維坐標的優越性；結合實際工程， 將各種模型應用到不同的地形條件下，經過模型優選，分析比較和精度評定，得出具體的結論，指導生產和工程實踐。數據的處理，采用五種擬合方法編寫程序實現似大地水準面擬合 的模型程序化，在一定條件下，擬合所得到的結果可以滿足四等水準測量的精度要求，具有一定的使用價值。2 GPS水準高程基本概念圖2.1大地高

5、、正高、正常高關系 （不考慮垂線偏差）大地高程系統是以參考橢球面為基準面的高程系統，它是一個幾何量，不具有物理意義。大地高的概念：由地面點沿通過該點的橢球面法線，到參考橢球面的距離， 通常以H表示。GPS定位測量獲得的是 WGS-84橢球空間直角坐標系中的成果，其中的高程值是地面點相 對于WGS-84橢球的大地高H。P的正高Hg定義為由地面點（水準面）中的一個，由于實際上是一條曲線， 正高正高系統是以大地水準面為基準面的高程系統，地面某點P沿垂線方向至大地水準面的距離。大地水準面是一族重力等位面水準面之間不平行， 所以，過一點并與水準面相垂直的鉛垂直線, 的計算公式為:1Hg5gd H（2.1

6、）9m H g式中， g d H是地面點至大地水準面之間的位能差；gm為由地面點沿垂線方向至大地水準面的平均重力加速度。由于gm無法直接測定，所以嚴格的講，正高是不能精確確定的。由于正高是以大地水準面為基準面，具有非常重要的物理意義，所以它在水利建設、管道和隧道建設等精密工程技術方面有著廣泛的應用。若以hg表示大地水準面和橢球面之間的差距，則正高與大地高的關系按如下公式可得：=：g - hg（2.2）由于gm無法直接測定，導致正高無法嚴格確定。為了方便使用，根據前蘇聯大地測量學學 者莫洛金斯基的理論，建立了正常高系統。其公式為：任意點處的大地水準面與橢球面的差值稱為高程異常，正常高與大地高的轉

7、換關系為：:.-（2.3）其中 為似大地水準面的高程異常。1H rgd H（ 2.4）m3 GPS測量高程原理GPS是一種三維觀測系統，通過相位觀測值可求出網中每兩點間的地心WGS-84坐標系中的坐標差 X= C：Xo,厶丫0,Zo）T，提供了地面點間位置和高程信息。如何求出地面點的 高程（正常高）需要經過一些中間步驟，現介紹其基本過程。GPS測得的基線向量 厶X,以坐標為未知參數進行自由網平差，求出該網點三維地心坐標。取網中至少三個己知地面控制點，其點位的大地坐標經度L、緯度B和大地高H為已知，將這些點上的己知數轉換到相應橢球的三維直角坐標系中，求出坐標值。轉換公式為:2一(N (B) +

8、H ) cos B cos LX =y(N (B) + H ) cos B sin Lz_i i2(1 _e ) N (B) + H ) sin B式中= :- / 1 -e2sin匕,:- f是相應的橢球參數。以已知點上大地直角三維坐標X為控制，采用七參數法，將 WGS-84系直角坐標轉換至與控制點相應的直角坐標系中，公式為:Ay710 0Xs0-zsysyys+010yszs0xszs 一001zs-ysxs0 J占z；y式中 X 冷、工為平移參數，m為尺度比,y、z為旋轉參數。由此求得 GPS的直角坐標，再經下式變換，即得與已知點相同橢球的經度、緯度和大地高:22B = arctge2N

9、 (B)N(B) + H L = arctg( y / x)2 2x y(正常高)，兩個基準面cos B N (B)眾所周知，大地高是地面點至橢球面的高程，我們需要的是海拔高程 之差為該點的高程異常，即橢球面至似大地水準面之間的高差，表達式為:H y = H _ Q式中Hr，H分別為正常高、大地高，為高程異常。另一種過程是求出正常高高差，現簡述其原理如下。由GPS獲得的基線向量(Axs, Ays, Azs),通過網中至少三個已知點，經 (2.8)式變換到三維直角坐標系中，采用四參數法，公式為:0zs-ys一 zs0xsys22(2.10)式，變換到橢球面求得GPS測點從屬于地面控制坐標系的三維

10、坐標差。有類似的 上，求得基線向量的精度差、緯度差和大地高差。再由下式求得正常高高差:占H 丫=-2由于坐標系轉換時采用了七參數或四參數法，GPS網點經轉換后與相應地面測點仍有間隙，亦即轉換后GPS網點坐標與地面網系統并不兼容，這對于城市網和工程控制網而言，不能說不是一個問題。因此，在我國自行制作的軟件中采取了一系列措施，使GPS網點坐標和地面網系統兼容。在地形起伏較大的地區及位于較高建筑物上的未知點，用傳統水準測量方法測定這些點的高程較為困難，通常采用三角高程測量的方法。三角高程測量是以水平面為基準面和視線成直線為前提的。因此，只有當A、B兩點間的距離很短時，才比較準確。當A、B兩點距離較遠

11、時，還應該考慮地球彎曲和大氣折光的影響了，另外三角高程加測天頂距， 計算邊長，則會不可避免的帶來誤差傳播，并增加工程量。對于一般工程單位而言， 無法獲得必要的重力數據和天文數據，因此重力方法在一般的工程單位很難施行。相比于前面的方法，GPS測高只需擺好接收機，開機等待即可，測站距離可以達幾 km，勞動強度小，不受氣候影響， 工作效率高，內業較為簡單。因此在點多量大的水利工程測量中，如果能用GPS測高代替四等水準，其優越性是非常明顯的，特別是在山區更為明顯。4 GPS高程轉換方法GPS水準高程，是目前 GPS作業中最常用的一種方法。目前，國內外用于 GPS水準計算的各種方法主要有：繪等值線圖法；

12、解析內插法；曲 面擬合法等。下面重點介紹解析內插法和曲面擬合法的多項式曲面擬合法和多面函數擬合法。（1） 線形解析內插法1, Akima曲線擬合法Akima法的原理是：Akima插值法規定在兩個實測點之間進行內插，除需要用到這兩個實測值外，還要用這兩個點相近鄰的四個實測點上的觀測值。也就是說，在兩個實測點之間進行內插，共需六個實測點。設已知數據點為（Xj, y（i =1,2,3，n），現在要找一條光滑曲 線y = f（x）,使得滿足i = fg）。所謂“光滑”是指 f（x）具有連續的一階導數。同時還約定， 在任意兩相鄰的數據點之間，用三次多項式來逼近。設給定n個不等距GPS測點為x0:乂勺：x

13、2xnj（或y0：y: y2”：”： yn = ）。相應的 高程異常值為 i（i =0,1,2，n -1）若在子區間上Xk，Xk.J (k =0,1,2,，n 2)上兩個端點處滿足以下4個條件:二k = f (xk)-k-1 = f (Xk +)k(3.1)-k =g k嚴k 卡=g k 十式中gk, gk+i可由從Akima條件唯一確定。則在xk, xk “ (k = 0,1,2，n 一 2)區間上確定 一個三次多項式：(3.2)23s(x)二 S。 Sjx Xk) S2(X Xk) S3(X Xk)由上式可計算該子區間插值點t處的高程異常值-。其中：s0 = (3.3)51 =tk52 =

14、3(：_k 卡 一 rk)/(Xk* Xk) 2tk tk*/(Xk 卡一Xk)嚴嚴253 -tk k1 _2( k 1 - k)/(Xk：1 - xk)/(xk：1 - XQ上式中的tk，tk+1為k號和k+1號點實測要素的斜率，tk用k-2、k- 1、k、k+1、k+2已知點 計算，tk+1用k- 1、k、k+1、k+2、k+3已知點計算，一般計算公式為：ti =(同十-mm-+|m一mi口)/(血十一m+|mm)(3.4)式中 i 二k,k 1 mi =( )/(Xi .1 Xi)當上式分母為零時，ti =1/2(m亠mJ或L =mi2三次樣條曲線擬合法當測線長，已知點多，變化大是，在R

15、二min條件下解各ai誤差會增大，故通常總采取分 段計算。這樣使曲線在分段點上不連續，也影響擬合經度。為此，采用三次樣條法來擬合。三次樣條曲線實際上是由一段一段的三次多項式曲線拼接而成的連續曲線。在連接點處，不僅函數自身是連續的，而且其一階導數和二階導數也是連續的。這樣既保留了多項式在表達上的簡便性，又克服了單個多項式不靈活、不穩定的缺點，且計算較簡單，故在長測線似大地水準面擬合中得到了應用。設過n個已知點，和(或yi或擬合坐標)在區間xi ,xi J (i =0,1,2，n -1)上有三次樣條 函數關系(X)二(Xi) (x Xi) (Xi , Xi 1) (x - Xi )(x - Xi

16、J (x,Xi , Xi 1)(3.5)式中X為待定點坐標，Xi , Xi 1為待求點兩端已知點的坐標。其中(Xi,Xir)為一階差商。-(X i , x i 1 ) = ( - i 1 - i ) /( X i 1 - xi )；-. (X , x i , xi 1) 為二階 差 商 ， (x,Xj, Xi 1)= 1 (Xi ) (x) (Xi .1),而 (xj (i =1,2,，n 一1),滿足系數矩陣 6為對稱三角陣的線性方程組(Xi Xi) (Xi J 2 (Xi 1.Xi丄廠(Xi) (Xi 1xj (Xi 1)=6 (Xi，Xj 1 ) -：.(Xi，Xi)(3.6)(x0)=

17、(xn )=0用追趕法解(3.10)方程組，可求出(xi )和(xi,xi ,)，而(3.7)(x)(Xi ) (X - Xi ) (Xi , Xi .1)事實上，我們可查詢有關數值分析和其論文，一般采用下式來擬合:3r.(X i - X)(X-Xi)i (x)-Mi亠 M i -6hi6hiMi ； yi6 IXj X(i =1,2, n 1)(3.8)hi=XB ；(3.12)=XB ；(3.12)式中i(Xi)， hjMXiXi， y i (xi)。待定參數 Mi同樣可由對稱三角陣的線性方程組解得。(2)曲面擬合法當GPS點布設成一定區域面時,在GPS網中聯測一些水準點， 然后利用這些點

18、上的正高和大地高求出它們的高程異常值,再根據這些點上的高程異常值與坐標的關系,用最小二乘的方法擬合出測區的似大地水準面，利用擬合出的似大地水準面，內插出其他GPS點的咼程異常，從而求出各個未知點的正常咼。1多項式曲面擬合設點的與平面坐標x、y (或大地坐標B、L或二B、二L)，有以下關系：=f(x,y) + ；(3.9)或厶=f ( ：x, y) + ：；(3.10)nJ其中 f(X, y)為中趨勢值，:為誤差、Ax =X-Xo、Ay 二y-yo、x Xi) / n ,t=0n丄y = ( yi) / nt zfi設 f (x, y)二 a0 .a2ya3x2a4xy a5y2a6x3a7x2

19、y a8y2x a9y3 -(3.11)寫成矩陣形式有:=XB ；(3.12)其中:對于每一個已知點，均可以列出上式方程，在-1X。y。X：1X =1a x12X1亠1Xn丄yn27xnZ2Z=min條件下,可求解系數陣T1T “B = (X X ) -(X )(3.13)再由已知高程異常的權陣情況下，上式可改寫為：1 .B =(X PX ) (X P )(3.14)系數求出后，再按(3.12)式求出待求點的Z，從而求出Hr。實踐表明，在地勢較為平坦的地區，當已知高程異常的點，密度適當，分布比較均勻時，該法計算高程異常的精度，可達厘米級。在難以達到代替三、四等水準測量要求的大地水準面的起伏較大

20、的山區，一般可采用根據測區地形情況，適當增加已知高程異常點的密度，并改善其分布；綜合利用測區的重力觀測資料，改善模型對高程異常的分辨率；考慮到高程異常與測區地形的密切相關性，在模型中可引入地形影響的改正項，以提高確定高程異常的精度等方法加以改善。下面列出幾個常用的多項式內插公式：平面模型：f (x, y) = a0 a1x - a2y平面相關模型：2f (X, y)二 a。a1x - a2 y a3xa4xy二次曲面模型：2 2f (x,y) =a。 ax a?y asXaqXy a三次曲面模型：f (x, y)二a。 ax a? y a3x2 a4xy -a5y2a6x3a?x2ya&y2x

21、 agy3在本文論述的其它擬合方法中，其中移動曲面的基本數學模型采用的是多項式形式，由此可見對它的模型的研究和探討有著重要的意義。其次，要說明的是，最小二乘原理和參數估計始終貫穿所有數學模型的計算，同時也是測量平差的基礎。182多面函數曲面擬合多面函數擬合法，1971年由美國哈笛(Hardy)提出。1976年將此法應用于美國大地測量、 擬合重力異常、大地水準面差距、垂線偏差等，1978年將此法用于地殼形變。它的基本思想是任何一個規則或不規則的連續曲面均可以由若干簡單面(或稱單值數學面)來疊加逼近。具體做法是在每個數據點上建立一個曲面，然后在方向上將各個旋轉曲面按一定比例疊加成一張整體的連續曲面

22、使之嚴格地通過各個數據點。多面疊加的數學表達式為：m二 f (x, y)aiQ(x,y,Xi, yj(3.15)i =1式中ai為待定系數；Q(x, y,Xi,yi)為x和y的核函數，其中心在(Xi,y)處，簡稱多面函數。常 用的簡單核函數有以下幾種。即：錐面Q(x,y,Xi, y二 C ； (x - Xi r (y 一 yi佝雙曲面: 2 22Q(x, y,xi, yi) = (x - Xi)(y - y：)、(3.17)倒曲面i1222-Q(x, y,Xi, y=1/ . (x - x(y-y、(3.18)這里為非零參數。上式表示一段雙曲面繞豎軸旋轉而成的曲面，當時，此曲面就退化成圓錐面。

23、三次曲面3 Q (x, y, Xi , yi C (XXi)2 (yyj2、22(3.19)上式是母線為三次曲線的旋轉面。在上式各式中，(x Xi)2 (y -yj2為內插點到參考點之間的水平距離的平方。旋轉面Qa式中a為參數。母線旋轉面Q = C0 exp_a2Dj2上式是以高斯曲線為母線的旋轉面，C。和a為兩個參數，其中：為光滑系數。設已知參考點有 m個，選擇其中n個點作為節點(j =1,2，n_m)，記B =22,an)T，則同樣有(3.佝誤差方程，式中X為核函數矩陣。當已知數m大于節點數n時，利用最小二乘法原理，可以根據(3.17)計算方程系數，在已知核函數權陣的情況下，可以根據(3.

24、18)計算方程系數。系數求出后，同樣按(3.15)式求出待求點的從而求出Hr。如果已知數m等于節點數n時，方程唯一解，可以按線性方程求解，如下式：根據參與擬合計算已知點高程異常值i與計算后得到的高程異常值：，用Vi= 7 - i求擬這時待定點的解為：1 .p = X pB = X pX 一(3.21)這里補充說明，對于已知參考點個數等于誤差方程系數的情況下，方程存在唯一解，只可以線性求解。m個已知點，要求是高程異常顯著點， 即能很好描述該區域內高程異常分布 的特征點，最好位于最高、最低及坡度變化處。這種擬合法，雖然理論上嚴密，但使用上有些困難，特別是、:和核函數的選取，需要不斷試驗改進選取。下

25、面就其中三個問題進行深入分析。1. 核函數的選擇多面函數是屬于純數學逼近方法，其差值精度與選用的核函數有密切的關系，高程變化大的地區內插的精度往往較低，所以我們要選擇一個一成不變的核函數對各種地形進行最小 二乘推估。只要高程變化大的地區保證了精度，對于平坦地區的推估，其核函數影響是不大的。對于待求點的估值實質上就是數據點的加權平均值。因而選擇優良核函數的準則是：由它計算的權系數只要相對集中，并且數值穩定性好。在對地殼垂直運動中速率面的擬合采用 正雙曲線函數；2. 光滑系數:的確定優化的/選取對其高擬合效果有作用，但比較困難。試驗表明越大，內插的曲面越平滑，但當大于某一值時將使結果出現很大的偏差

26、。/對于倒雙曲面函數，:必須大于零，否則無法計算，同時、的取值也有正雙曲面的性質，/越大，內插的曲面越平滑。 但當大于某一值時也 將使結果出現很大的偏差。3. 核函數節點的選取在大范圍有較多的 GPS水準點，即已知高程異常的點較多，可選其中部分作為節點，其余作用擬合高程異常的檢核。此時，擬合結果就與所選節點不同而異，這是需要試驗研究的問題。對于局部 GPS網，GPS水準點不會很多，就可全部用來作為節點，進行擬合。5擬合精度評定為了能客觀地評定 GPS水準計算的精度，采用內符合精度和外符合精度檢核，內符合 精度表明的是結點與所選模型的符合程度，而外符合精度表示的是檢核點與所選模型的符合程度。1內符合精度合殘差V，按下式計算GPS水準擬合的內符合精度 U ： VV /(n 1)(5.1)式中n為參參與計算的已知點個數。2外符合精度根據參與檢核點的高程異常值與計算后得到的高程異常值：，用m= - i求擬合殘差Vi，按下式計算GPS水準的外符合精度 M :M 二:：；;W /(n 1)(5.2)式中n為參與檢核點的個數3 GPS水準精度評定內