1、7-7 1 回顧：求極值的一般步驟 求函數求函數z? ?f(x,y)極值的一般步驟：極值的一般步驟：第一步第一步 解方程組解方程組fx(x,y)? ?0 ,求出實數解，得駐點求出實數解，得駐點.fy(x,y)? ?0第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點(x0,y0)，求出二階偏導數的值求出二階偏導數的值 A、B、C.第三步第三步 定出定出B2?AC的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值 . 7-7 2 回顧：多元函數的最值的求法 與一元函數相類似，我們可以利用函數的與一元函數相類似，我們可以利用函數的極值來求函數的最大值和最小值極值來求函數的最大值和最小值. 設函數在有界閉區域

2、設函數在有界閉區域 D 上連續，在上連續，在D內內可微且只有有限個駐點。可微且只有有限個駐點。 則可按如下方法求最值：則可按如下方法求最值： 將函數在區域將函數在區域 D D 內的所有駐點處的內的所有駐點處的函數值及在函數值及在D D 的邊界上的最大值和最小的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值最小者即為最小值. . 7-7 3 7.7 條件極值與拉格朗日乘數法 條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值 實例：求表面積為實例：求表面積為 S(固定固定) 、體積最大的長方體積最大的長方體的體積體的體積

3、 V(x,y,z)? ?xyz求極值求極值 2xy? ?2yz? ?2zx? ?S限制條件限制條件 7-7 4 求條件極值的方法 1. 轉化為無條件極值問題轉化為無條件極值問題. 2. 利用拉格朗日乘數法利用拉格朗日乘數法. 7-7 5 拉格朗日乘數法 要找函數要找函數z? ?f(x,y)在條件在條件? ?(x,y)? ?0下的下的可能極值點，可能極值點， 1. 先構造函數先構造函數F (x,y)? ?f(x,y)? ?(x,y)， 其中其中? ?為拉格朗日乘數為拉格朗日乘數. 2. 由由 ? ?fx(x,y)? ?x(x,y)? ?0 ,? ? ? ?fy(x,y)? ?y(x,y)? ?0

4、 , ? ? ?(x,y)? ?0 .? ?解出解出x,y,? ?，其中，其中(x, y)就是可能的極值點的坐就是可能的極值點的坐標標. 7-7 6 更一般的情形 拉格朗日乘數法可推廣到自變量多于兩個的情況：拉格朗日乘數法可推廣到自變量多于兩個的情況：要找函數要找函數u? ?f(x,y,z,t)在條件在條件 ? ?(x,y,z,t)? ?0，? ?(x,y,z,t)? ?0 下的極值，下的極值， 先構造函數先構造函數F (x,y,z,t)? ?f(x,y,z,t)? ? ? ?1? ?(x,y,z,t)? ? ?2? ?(x,y,z,t) 其中其中? ?1,? ?2均為拉格朗日乘數，可由均為拉

5、格朗日乘數，可由 偏導數為零及偏導數為零及約束條件解出約束條件解出x,y,z,t，即得可能的極值點的坐標，即得可能的極值點的坐標. 7-7 7 例題1 將正數將正數12分成三個正數分成三個正數x,y,z之和之和 使得使得32u? ?x y z為最大為最大. 解解 令令 F (x,y,z)? ?x y z? ? ?(x? ?y? ?z? ?12 ),32? ?Fx? ? ?3x y z? ? ? ?0? ? ?3? ?Fy? ?2x yz? ? ? ?0則則 ? ?(6,4,2)解得唯一駐點解得唯一駐點，32? ?F? ?z? ?x y? ? ? ?0? ? ?x? ?y? ?z? ?1232故

6、最大值為故最大值為umax? ?6? ?4? ?2? ?6912. 根據具體情況從實際問題的物理、幾何、經濟意義根據具體情況從實際問題的物理、幾何、經濟意義 可以判斷是否為最值可以判斷是否為最值 227-7 8 例題2 22x? ?y 在區域在區域(x,y)|x? ?y? ?50上上,求求z? ?22x? ?y? ? 1的最大值和最小值的最大值和最小值. 2解解 由由 (x? ?y? ?1 )? ?2x(x? ?y)zx? ? ?0 ,222(x? ?y? ?1 )(x? ?y? ?1 )? ?2y(x? ?y)zy? ? ?0 ,222(x? ?y? ?1 )222111111z(,)? ?

7、,z(? ?,? ?)? ? ? ?,2222221111,)和和(? ?,? ?),得駐點得駐點(22227-7 9 例題2續 x? ?yz? ?22x? ?y? ?1在邊界上在邊界上 (x,y)|x? ?y? ?5022利用拉格朗日乘數法得可能的最值點為利用拉格朗日乘數法得可能的最值點為（5，5）以及（）以及（5，5）：）： z(5,5 )=10/51 z(-5,-5)=-10/51 10 10 11? ? ? ?51 50 5211.比較可知比較可知 最大值為最大值為，最小值為，最小值為? ?22 7-7 12 小結 求條件極值的方法求條件極值的方法: 1. 轉化為無條件極值轉化為無條件極值. 2. 利用拉格朗日乘數法利用拉格朗日乘數法. 注意要正確注意要正確 地寫出目標函數和約束條件地寫出目標函數和約束條件. 7-7 13 思考題 思考題思考題 若若f(x0,y)及及f(x,y0)在在(x0,y0)點均取得點均取得極值，極值， 則則f(x,y)在點在點(x0,y0)是否也取得極值？是否也取得極值？7-7 14 思考題解答 思考題解答思考題解答 不是不是.例如例如 f(x,y)? ?x? ?y,222