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文檔簡介
1、(推薦)lesbesgue積分的定義及性質第二節 lesbesgue積分的定義及性質第五章 積分理論iniiemecdxxl1)()()( xiniee1)()(1xcxienii 設 是 ( ei可測且兩兩不交)上非負簡單函數,定義 為 在e上的lebesgue積分01001)()(dxxdle有qxqxxd1 ,011 ,00)(例:對dirichlet函數0 1非負簡單函數的積分1)qerxe定理設為可測集,(為 上的一個非負簡單函數,則1( )( );eeccx dxcx dx()對于任意非負實數 ,(2)()()();abababex dxx dxx dx設和是的 兩 個 不 相 交
2、 的 可 測 子 集 , 則11211(3)2.lim( )( ).nnnnnnnaenaeaaaaaex dxx dx 設是的 一 列 可 測 子 集 , 滿 足1.則11( ),()ikkieiijiic xx ee eeij證設1(2)( )()kiiabicx dxc m abe11()()kkiiiiiic m aec m be( )( )abx dxx dx11(1)( )( )kkiiiieeiicx dxcc mecc mecx dx1(3)lim( )lim()nkiniannix dxc m ae1( ).kiieic mex dx)( )qerxxe定理2設為可測集,(
3、和為 上的一個非負簡單函數,則(2)( )( )( )( )( , ,0);eeeax dx bx dxaxbx dx a br a b(1)( )( )( )( );eeex dxx dxxxdx11( ),( ),ijkliejfijc xxd xx證設11( ( )( )() ()klijijeijxx dxcdm ef1111()()kllkiijjijijjicm efdm ef 11kliijjijc med mf( )( )eex dxx dx010nkkiinnikinimemenkime若對每個 ,則,從而得到矛盾,所以存在 ,使。,所以時,有證明:當1 ,011 ,0111
4、)()()( 1 , 0kdxxdxxmekxxiiienieniinieni( )( )sup( )( ): ( )0( )( )eelf x dxlx dxxexexf x為 上的簡單函數且時,為f(x)在e上的lebesgue積分設f(x)為e上非負可測函數,定義| )(| )(|21xx)(lim)(xxfnn)(xn若f(x)是e上的可測函數,則f(x)總可表示成一列簡單函數 的極限 ,而且還可辦到0( ),( ),( )eef x dxf x dxf xe 顯然若稱在 上勒貝格可積,( )( )( )( )( )aaaeeaf xaf xafaf x dxf x xx dx設則在
5、上的勒貝格積分定義為在 的限制在 的勒貝格積分,則( ),( ). .;ef x dxf xa ee (3)若則0于零集上的任何函數的積分為0( )0,( )0 . .;ef x dxf xaee(2)若則于( )( )( );abababef x dxf x dxf x dx(4)設 和 為 的兩個互不相交的可測子集,則1證明()由定義可得;2, n( )對于任意自然數令1,naefn1,( )0,nnnxaxnxe a10( )( )0nneef x dxx dxman10,0nnnmae fa故而00,( )0 . .m ff xaee故因而于3,ee fn ( )令對于任一自然數令,(
6、 )0,nn xexxe e( )( )0neef x dxx dxnme 1( )0ef x dxmen0,nme由 的任意性,則因而0( ). .f xaee 于4( )0( )( )xabxabxf x( )設是上任一滿足條件時的簡單函數( )( )( )a babx dxx dxx dx則( )( )abf x dxf x dx( )( )( )ababf x dxf x dxf x dx( )( )a ba bf x dxx dx( )( )abx dxx dx()()()ababfx dxfx dxfx dx()()()ababfx dxfx dxfx dxefdxxfnenn于,
7、則若00)(lim0)()()(nfenfenenfmedxxfdxxfdxxfnn有證明:, 00lim0)(limnnnenfmedxxf,所以又用到了積分的可加性efn于從而0 1( )( ) . .( )( );( )( )eefxg x a eefx dxg x dxg xelfxel( ) 若于, 則若在上可 積 , 則也 在上可 積 ;2( )( )qerf xg xe定理設為可測集,和都是 上的非負可測函數,則( )( ) . .( )( );( )0 . .,( )0eeef xg x a eef x dxg x dxf xa eef x dx(2)若于 ,則若于則;12,e
8、e fgee fg證令1212122,0e eeeeeee me 則都是 的可測子集,11( )( ),( )( )eeeef x dxf x dxg x dxg x dx110)( )exexf xx對于上任一滿足條件時(的非負簡單函數(1( )( ),xexg x顯然時,0故11( )( )eex dxg x dx11( )( )( )( )eeeef x dxg x dxf x dxg x dx因而,由此得ennenndxxfdxxf)(lim)(lim則只要證明大于等于,但一般而言fn(x)不會跑到f(x)上方,所以我們有必要先把f(x)下移一點。 f(x)cf(x) fn(x)()(
9、lim,)()()()(321xfxfxfxfxfxfnnn且若fn(x)為e上非負可測函數列,說明:小于等于顯然成立,因為fn(x)總在f(x)的下方,eendxxdxxn)()(lim引理1:設en是遞增集列, 是rn上的非負可測簡單函數,則)(,1xeenndxxfdxxfdxxfnneenen)(lim)()(lim引理2:設f(x)是e上的非負可測函數,a是e中可測子集,則eaadxxxfdxxf)()()(證明:由條件知fn(x)為e上非負可測函數遞增列,, 3 , 2 , 1,)()(1ndxxfdxxfenen有定義,又dxxfne n)(lim所以enndxxf)(lim故有
10、定義,且從函數列的漸升性知道下證大于等于號)()(|xcxfexenn記( )sup( ): ( )0( )( )eef x dxx dxxexf x為 上的簡單函數,)()(xfx )(x證明:令c滿足0c1, 是rn上的非負可測簡單函數,且eeennnn1lim且則en是遞增集列,eendxxcdxxcn)()(lim由引理1知 c(x) f(x) fn(x)(x)eenndxxcdxxf)()(lim得到dxxdxxfceenn)()(lim, 1則有令dxxfdxxfeenn)()(lim所以)()(|xcxfexenndxxfdxxfenen)()(lim再由的積分定義知,)()()
11、()()()(nnnneeeneenendxxcdxxcdxxfdxxxfdxxf于是從(應用引理2) f(x)(x)c(x) fn(x)4( )( ),0,( )( )( )( ) .qeeeerf xg xea br a baf xbg x dx af x dx bg x dx定理設為可測集,和都是 上的非負可測函數,且則,0,.qerfgela b r a bafbge l推論設為可測集, 和 都是 上的非負 可積函數,且則 也在 上 可積( )( )kkxx證設,是非負上升可測簡單函數列lim( )( ),lim( )( ),kkkkxf xxg xxe ( )( )kkaxbx則仍是
12、非負上升簡單函數列,且有lim( )( )( )( ),kkkaxbxaf xbg xxe 由簡單函數積分的線性性質,有( )( )( )( )kkkkeeeaxbx dxax dxbx dxklevi 令,由定理即得。然后利用即可)()()()()(lim11xgxfxgxfxgnnnnnniin,且為非負可測函數遞增列則證明:令11)(iiiimaam 11)()(nnenendxxfdxxf若fn(x)為e上非負可測函數列, 則對比:積分的線性(有限個函數作和)dxxfdxxfnennne)()(limlim1( )inf( ),( ),( )( )( )limlimnnnnnneenn
13、gxfxfxgxfx dxgx dx 證明:令,則為非負可測函數遞增列,且若fn(x)為e上非負可測函數列,則)(infsup)(limxfxfmnmnnnlim( )lim( )nneenngx dxfx dx積分的幾何意義:);()()(femgdxxfle)(0 ,: ),();(xfyexyxfegdxxfle)()(注:當 有限時,稱f(x)在e上 l可積dxxfldxxflee)()(,)()((要求 不同時為 )為f(x)在e上的lebesgue積分(有積分)dxxfldxxfldxxfleee)()()()()()( 設f(x)為e上的可測函數,定義()l ee用表示上可積函數
14、的全體。1)零集上的任何函數的積分為0( )( )0,( ). .f xl eme ff xaee 若,則即于 (2)3( ),( )( )( )eabf xefeaeababeabf x dxf x dxf x dx )設在 上積分確定,則 在 上任一可測子集 上積分也確定,又若這里 和 都是 的子集且,則4)( )( )( ) . .( )( ).eef xef xg x aeegef x dxg x dx設在 上積分確定且于 ,則 也在上積分確定且5)( )( ) . .( )( ).( ). .( ).eeefgef xg x a eef x dxg x dxmebf xba eebm
15、ef x dxbme 設 和 在 上積分確定且于 ,則特別地若且于 ,則6)( )( )( ).eef xelfelf x dxf x dx設在 上 可積,則也在 上 可積,且7)( )( )( ) . .( )( )( ).eeef xegelf xg x aeefelf x dxf x dxg x dx設是 上可測函數, 是 上非負 可積函數,且于 ,則 也在 上 可積,且(2)( ),eefl ef dxf dx 由于,故000( ). .,0( ). .fxaeefxaee 所以于于( ). .fxffa ee 因 而于3fe( )由于 在 上積分確定,所以0( )0( )eefx d
16、xfx dx 或0( )efx dxea 不妨設,對于任一0( )( ),aefx dxfx dxfa 因而 在 上積分確定,eab ea bab 又 若且, 則()()()eeefxd xfxd xfxd x( )( )( )( )ababfx dxfx dxfx dxfx dx( )( ) ( )( )aabbfx dxfx dxfx dxfx dx( )( )abf x dxf x dx(4),eefef dxf dx由于 在 上積分確定,故中至少有一個有限()(). .fxgxa ee由 于于, 故( )( ) . .( )( ) . .fxgx aeefxgx aee于 且于 ,則(
17、 )( ),( )( )eeeefx dxgx dxfx dxgx dx( ) ,( )eegx dxgx dxge所以中至少有一個有限,因而 在 上積分確定()()()eeegx d xgx d xgx d x( )( )eefx dxfx dx()efxd x(5)( )( ) . .f xg x aee由于于 ,故. . .fg aeefg aee于 且于fge又由于 和 在 上積分確定( )( )( )eeef x dxfx dxfx dx( )( )( )eeegx dxgx dxg x dx(6)( )( ),( ),fl efm efffm e因為,故則且0( ),0( )eef
18、x dxfx dx ( )( )( )eeef x dxfx dxfx dx fel由此可知在上非負 可積,且( )( )( )eeef x dxfx dxfx dx( )( )( ) ( )eeefx dxfx dxf xx dx(7)0( )( ),0( )( )fxg xfxg x顯然,gelffel由于 在 上非負 可積,則都在 上非負 可積fel故 都在 上 可積,且( )( )( )eeef x dxf x dxg x dx21,( )( ).2)( ( )( )( )( ).3),( )( )( )( ).qeeeeeeeeerfgelrfelf x dxf x dxfgelf
19、xg x dxf x dxg x dxrfgelf xg x dxf x dxg x dx 定理設為可測集, 和 都是 上的 可積函數,則)對于任意的在 上 可積且在 上的 可積,且對于任意的在 上的 可積,且(1)0若,則結論顯然成立.0,xe若,則對任意的有() ( ),() ( )fxffxffel由于 在 上 可積,0()0()eeeeeefdxf dxf dxfdxf dxf dx fel故在上可 積 , 且()( )() ( )() ( )eeefx dxfx dxfx dx( )( )eefx dxfx dx( )( )( )eeefx dxfx dxf x dx0,(),()f
20、fff 若,則注意到() ( )( ),() ( )( )fxfxfxfx故,所以0() ( )( )( )eeefx dxfx dxfx dx0() ( )( )( )eeefx dxfx dxfx dxfel故在上可 積 , 且()( )() ( )() ( )eeefx dxfx dxfx dx( )( )( )( )( )eeeeefx dxfx dxfx dxfx dxf x dx(2)fgelffggel由于 和 都在 上 可積,故 , ,都在 上 可積,所以fgfgel(),()都在 上 可積0() ( )max( )( ),0)fgxfxg xmax( )( ),0)( )(
21、)fxgxfxgx0() ()m ax()(), 0)fgxfxgxmax( )( ),0)( )( )fxgxfxgx()()fgfgelfgel又由于和都在 上非負 可積,因而在 上 可積( )( )( ), ( )( )( )f xfxfx g xgxgx由于( )( )() ( )() ( ),f xg xfgxfgx故() ( )() ( )( )( )( )( )fgxfgxfxfxgxgx() ( )( )( )() ( )( )( )fgxfxgxfgxfxgx所以() ( )( )( )() ( )( )( )eeeeeefgxdxf xdxg xdxfgxdxf xdxg
22、xdx() ( )() ( )( )( )( )( )eeeeeefgx dxfgx dxfx dxfx dxg x dxg x dx( ( )( )( )( ).eeef xg x dxf x dxg x dx說明:若|f(x)|m,則只要取=/m即可,所以我們要把f(x)轉化為有界函數。, 0, 0,時當meee|( )|( )|eef x dxf x dx 若f(x)在e上可積,則及任何可測子集有即:當積分區域很小時,積分值也很小.meeeemmdxdxfdxfdxfmeee222)|(|時,且,則當令|)(|)(0 xfx 且上簡單函數,為exdxxdxxfee)(:)(sup| )(
23、|證明:由于f(x)可積,故|f(x)|也可積故對任意,存在e上的簡單函數(x) ,22( )|( )|( ),(|( )|( )eeeex dxf x dxx dxf xx dx故有且|,)(|)(0 xfx 使在e上由于(x)為簡單函數,故存在m,使得|(x)|mngnpdxxfdxxf)()(10)(1,010)()(nngpdxxfdxxf113100( )23nnnn證明:顯然f(x)為e上可測函數(可測函數列的極限函數是可測函數))()(limxfxfnn設fn(x)為e上可測函數列, a.e.于e,且存在非負可積函數f(x),使得|fn(x)| f(x) a.e.于e,且由|fn
24、(x)| f(x) a.e.于e,知|f(x)| f(x) a.e.于e,所以fn(x), f(x)都為e上可積函數ennenndxxfdxxf)(lim)(lim則f(x)在e上可積且dxxfxfdxxfxfnennne)()()()(limlim由|fn(x)| f(x) a.e.于e,知f(x)fn(x) 0 a.e.于e,由知又f(x)可積,從而dxxfdxxfnene)()(limdxxfdxxfnene)()(limdxxfdxxfdxxfenneenn)()()(limlim從而ennenndxxfdxxf)(lim)(lim故1220lim( )sin01nnxrnxdxn x證明:nxxnnxxfnsin1)(22證明:令0
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