1、(推薦)lesbesgue積分的定義及性質第二節 lesbesgue積分的定義及性質第五章 積分理論iniiemecdxxl1)()()( xiniee1)()(1xcxienii 設 是 ( ei可測且兩兩不交）上非負簡單函數，定義 為 在e上的lebesgue積分01001)()(dxxdle有qxqxxd1 ,011 ,00)(例：對dirichlet函數0 1非負簡單函數的積分1)qerxe定理設為可測集，（為 上的一個非負簡單函數，則1( )( );eeccx dxcx dx（）對于任意非負實數 ，(2)()()();abababex dxx dxx dx設和是的 兩 個 不 相 交

2、 的 可 測 子 集 ， 則11211(3)2.lim( )( ).nnnnnnnaenaeaaaaaex dxx dx 設是的 一 列 可 測 子 集 ， 滿 足1.則11( ),()ikkieiijiic xx ee eeij證設1(2)( )()kiiabicx dxc m abe11()()kkiiiiiic m aec m be( )( )abx dxx dx11(1)( )( )kkiiiieeiicx dxcc mecc mecx dx1(3)lim( )lim()nkiniannix dxc m ae1( ).kiieic mex dx)( )qerxxe定理2設為可測集，（

3、和為 上的一個非負簡單函數，則(2)( )( )( )( )( , ,0);eeeax dx bx dxaxbx dx a br a b(1)( )( )( )( );eeex dxx dxxxdx11( ),( ),ijkliejfijc xxd xx證設11( ( )( )() ()klijijeijxx dxcdm ef1111()()kllkiijjijijjicm efdm ef 11kliijjijc med mf( )( )eex dxx dx010nkkiinnikinimemenkime若對每個 ，則，從而得到矛盾，所以存在 ，使。，所以時，有證明：當1 ,011 ,0111

4、)()()( 1 , 0kdxxdxxmekxxiiienieniinieni( )( )sup( )( ): ( )0( )( )eelf x dxlx dxxexexf x為 上的簡單函數且時，為f(x)在e上的lebesgue積分設f(x)為e上非負可測函數，定義| )(| )(|21xx)(lim)(xxfnn)(xn若f(x)是e上的可測函數,則f(x)總可表示成一列簡單函數 的極限 ，而且還可辦到0( ),( ),( )eef x dxf x dxf xe 顯然若稱在 上勒貝格可積,( )( )( )( )( )aaaeeaf xaf xafaf x dxf x xx dx設則在

5、上的勒貝格積分定義為在 的限制在 的勒貝格積分,則( ),( ). .;ef x dxf xa ee (3)若則0于零集上的任何函數的積分為0( )0,( )0 . .;ef x dxf xaee(2)若則于( )( )( );abababef x dxf x dxf x dx(4)設 和 為 的兩個互不相交的可測子集，則1證明（）由定義可得；2, n（ ）對于任意自然數令1,naefn1,( )0,nnnxaxnxe a10( )( )0nneef x dxx dxman10,0nnnmae fa故而00,( )0 . .m ff xaee故因而于3,ee fn （ ）令對于任一自然數令,(

6、 )0,nn xexxe e( )( )0neef x dxx dxnme 1( )0ef x dxmen0,nme由 的任意性，則因而0( ). .f xaee 于4( )0( )( )xabxabxf x（ ）設是上任一滿足條件時的簡單函數( )( )( )a babx dxx dxx dx則( )( )abf x dxf x dx( )( )( )ababf x dxf x dxf x dx( )( )a ba bf x dxx dx( )( )abx dxx dx()()()ababfx dxfx dxfx dx()()()ababfx dxfx dxfx dxefdxxfnenn于，

7、則若00)(lim0)()()(nfenfenenfmedxxfdxxfdxxfnn有證明：, 00lim0)(limnnnenfmedxxf，所以又用到了積分的可加性efn于從而0 1( )( ) . .( )( );( )( )eefxg x a eefx dxg x dxg xelfxel（ ） 若于， 則若在上可 積 ， 則也 在上可 積 ；2( )( )qerf xg xe定理設為可測集，和都是 上的非負可測函數，則( )( ) . .( )( );( )0 . .,( )0eeef xg x a eef x dxg x dxf xa eef x dx（2）若于 ，則若于則；12,e

8、e fgee fg證令1212122,0e eeeeeee me 則都是 的可測子集，11( )( ),( )( )eeeef x dxf x dxg x dxg x dx110)( )exexf xx對于上任一滿足條件時（的非負簡單函數（1( )( ),xexg x顯然時，0故11( )( )eex dxg x dx11( )( )( )( )eeeef x dxg x dxf x dxg x dx因而，由此得ennenndxxfdxxf)(lim)(lim則只要證明大于等于，但一般而言fn(x)不會跑到f(x)上方,所以我們有必要先把f(x)下移一點。 f(x)cf(x) fn(x)()(

9、lim,)()()()(321xfxfxfxfxfxfnnn且若fn(x)為e上非負可測函數列，說明：小于等于顯然成立，因為fn(x)總在f(x)的下方,eendxxdxxn)()(lim引理1：設en是遞增集列， 是rn上的非負可測簡單函數，則)(,1xeenndxxfdxxfdxxfnneenen)(lim)()(lim引理2：設f(x)是e上的非負可測函數，a是e中可測子集，則eaadxxxfdxxf)()()(證明：由條件知fn(x)為e上非負可測函數遞增列，, 3 , 2 , 1,)()(1ndxxfdxxfenen有定義，又dxxfne n)(lim所以enndxxf)(lim故有

10、定義，且從函數列的漸升性知道下證大于等于號)()(|xcxfexenn記( )sup( ): ( )0( )( )eef x dxx dxxexf x為 上的簡單函數，)()(xfx )(x證明：令c滿足0c1， 是rn上的非負可測簡單函數，且eeennnn1lim且則en是遞增集列，eendxxcdxxcn)()(lim由引理1知 c(x) f(x) fn(x)(x)eenndxxcdxxf)()(lim得到dxxdxxfceenn)()(lim, 1則有令dxxfdxxfeenn)()(lim所以)()(|xcxfexenndxxfdxxfenen)()(lim再由的積分定義知,)()()

11、()()()(nnnneeeneenendxxcdxxcdxxfdxxxfdxxf于是從（應用引理2） f(x)(x)c(x) fn(x)4( )( ),0,( )( )( )( ) .qeeeerf xg xea br a baf xbg x dx af x dx bg x dx定理設為可測集，和都是 上的非負可測函數，且則,0,.qerfgela b r a bafbge l推論設為可測集， 和 都是 上的非負 可積函數，且則 也在 上 可積( )( )kkxx證設，是非負上升可測簡單函數列lim( )( ),lim( )( ),kkkkxf xxg xxe ( )( )kkaxbx則仍是

12、非負上升簡單函數列，且有lim( )( )( )( ),kkkaxbxaf xbg xxe 由簡單函數積分的線性性質，有( )( )( )( )kkkkeeeaxbx dxax dxbx dxklevi 令，由定理即得。然后利用即可)()()()()(lim11xgxfxgxfxgnnnnnniin，且為非負可測函數遞增列則證明：令11)(iiiimaam 11)()(nnenendxxfdxxf若fn(x)為e上非負可測函數列， 則對比:積分的線性(有限個函數作和)dxxfdxxfnennne)()(limlim1( )inf( ),( ),( )( )( )limlimnnnnnneenn

13、gxfxfxgxfx dxgx dx 證明：令，則為非負可測函數遞增列，且若fn(x)為e上非負可測函數列，則)(infsup)(limxfxfmnmnnnlim( )lim( )nneenngx dxfx dx積分的幾何意義：);()()(femgdxxfle)(0 ,: ),();(xfyexyxfegdxxfle)()(注：當 有限時，稱f(x)在e上 l可積dxxfldxxflee)()(,)()(（要求 不同時為 ）為f(x)在e上的lebesgue積分（有積分）dxxfldxxfldxxfleee)()()()()()( 設f(x)為e上的可測函數，定義()l ee用表示上可積函數

14、的全體。1）零集上的任何函數的積分為0( )( )0,( ). .f xl eme ff xaee 若，則即于 （2）3( ),( )( )( )eabf xefeaeababeabf x dxf x dxf x dx ）設在 上積分確定，則 在 上任一可測子集 上積分也確定，又若這里 和 都是 的子集且，則4)( )( )( ) . .( )( ).eef xef xg x aeegef x dxg x dx設在 上積分確定且于 ，則 也在上積分確定且5)( )( ) . .( )( ).( ). .( ).eeefgef xg x a eef x dxg x dxmebf xba eebm

15、ef x dxbme 設 和 在 上積分確定且于 ，則特別地若且于 ，則6)( )( )( ).eef xelfelf x dxf x dx設在 上 可積，則也在 上 可積,且7)( )( )( ) . .( )( )( ).eeef xegelf xg x aeefelf x dxf x dxg x dx設是 上可測函數， 是 上非負 可積函數,且于 ，則 也在 上 可積,且(2)( ),eefl ef dxf dx 由于，故000( ). .,0( ). .fxaeefxaee 所以于于( ). .fxffa ee 因 而于3fe（ ）由于 在 上積分確定，所以0( )0( )eefx d

16、xfx dx 或0( )efx dxea 不妨設，對于任一0( )( ),aefx dxfx dxfa 因而 在 上積分確定,eab ea bab 又 若且， 則()()()eeefxd xfxd xfxd x( )( )( )( )ababfx dxfx dxfx dxfx dx( )( ) ( )( )aabbfx dxfx dxfx dxfx dx( )( )abf x dxf x dx(4),eefef dxf dx由于 在 上積分確定，故中至少有一個有限()(). .fxgxa ee由 于于， 故( )( ) . .( )( ) . .fxgx aeefxgx aee于 且于 ，則(

17、 )( ),( )( )eeeefx dxgx dxfx dxgx dx( ) ,( )eegx dxgx dxge所以中至少有一個有限，因而 在 上積分確定()()()eeegx d xgx d xgx d x( )( )eefx dxfx dx()efxd x(5)( )( ) . .f xg x aee由于于 ，故. . .fg aeefg aee于 且于fge又由于 和 在 上積分確定( )( )( )eeef x dxfx dxfx dx( )( )( )eeegx dxgx dxg x dx(6)( )( ),( ),fl efm efffm e因為，故則且0( ),0( )eef

18、x dxfx dx ( )( )( )eeef x dxfx dxfx dx fel由此可知在上非負 可積，且( )( )( )eeef x dxfx dxfx dx( )( )( ) ( )eeefx dxfx dxf xx dx(7)0( )( ),0( )( )fxg xfxg x顯然,gelffel由于 在 上非負 可積，則都在 上非負 可積fel故 都在 上 可積,且( )( )( )eeef x dxf x dxg x dx21,( )( ).2)( ( )( )( )( ).3),( )( )( )( ).qeeeeeeeeerfgelrfelf x dxf x dxfgelf

19、xg x dxf x dxg x dxrfgelf xg x dxf x dxg x dx 定理設為可測集， 和 都是 上的 可積函數，則）對于任意的在 上 可積且在 上的 可積,且對于任意的在 上的 可積,且(1)0若，則結論顯然成立.0,xe若，則對任意的有() ( ),() ( )fxffxffel由于 在 上 可積，0()0()eeeeeefdxf dxf dxfdxf dxf dx fel故在上可 積 ， 且()( )() ( )() ( )eeefx dxfx dxfx dx( )( )eefx dxfx dx( )( )( )eeefx dxfx dxf x dx0,(),()f

20、fff 若，則注意到() ( )( ),() ( )( )fxfxfxfx故，所以0() ( )( )( )eeefx dxfx dxfx dx0() ( )( )( )eeefx dxfx dxfx dxfel故在上可 積 ， 且()( )() ( )() ( )eeefx dxfx dxfx dx( )( )( )( )( )eeeeefx dxfx dxfx dxfx dxf x dx(2)fgelffggel由于 和 都在 上 可積，故 ， ，都在 上 可積,所以fgfgel（），（）都在 上 可積0() ( )max( )( ),0)fgxfxg xmax( )( ),0)( )(

21、)fxgxfxgx0() ()m ax()(), 0)fgxfxgxmax( )( ),0)( )( )fxgxfxgx()()fgfgelfgel又由于和都在 上非負 可積，因而在 上 可積( )( )( ), ( )( )( )f xfxfx g xgxgx由于( )( )() ( )() ( ),f xg xfgxfgx故() ( )() ( )( )( )( )( )fgxfgxfxfxgxgx() ( )( )( )() ( )( )( )fgxfxgxfgxfxgx所以() ( )( )( )() ( )( )( )eeeeeefgxdxf xdxg xdxfgxdxf xdxg

22、xdx() ( )() ( )( )( )( )( )eeeeeefgx dxfgx dxfx dxfx dxg x dxg x dx( ( )( )( )( ).eeef xg x dxf x dxg x dx說明：若|f(x)|m,則只要取=/m即可，所以我們要把f(x)轉化為有界函數。, 0, 0,時當meee|( )|( )|eef x dxf x dx 若f(x)在e上可積，則及任何可測子集有即：當積分區域很小時，積分值也很小.meeeemmdxdxfdxfdxfmeee222)|(|時，且，則當令|)(|)(0 xfx 且上簡單函數，為exdxxdxxfee)(:)(sup| )(

23、|證明：由于f(x)可積，故|f(x)|也可積故對任意，存在e上的簡單函數(x) ，22( )|( )|( ),(|( )|( )eeeex dxf x dxx dxf xx dx故有且|,)(|)(0 xfx 使在e上由于(x)為簡單函數，故存在m，使得|(x)|mngnpdxxfdxxf)()(10)(1,010)()(nngpdxxfdxxf113100( )23nnnn證明：顯然f(x)為e上可測函數（可測函數列的極限函數是可測函數）)()(limxfxfnn設fn(x)為e上可測函數列， a.e.于e，且存在非負可積函數f(x)，使得|fn(x)| f(x) a.e.于e，且由|fn

24、(x)| f(x) a.e.于e，知|f(x)| f(x) a.e.于e，所以fn(x)， f(x)都為e上可積函數ennenndxxfdxxf)(lim)(lim則f(x)在e上可積且dxxfxfdxxfxfnennne)()()()(limlim由|fn(x)| f(x) a.e.于e，知f(x)fn(x) 0 a.e.于e，由知又f(x)可積，從而dxxfdxxfnene)()(limdxxfdxxfnene)()(limdxxfdxxfdxxfenneenn)()()(limlim從而ennenndxxfdxxf)(lim)(lim故1220lim( )sin01nnxrnxdxn x證明:nxxnnxxfnsin1)(22證明：令0