1、2019高考全國各地數學卷文科解答題分類匯編-函數與導數1天津文19、本小題總分值14分函數f（x）4x3 3tx2 6tx t 1,x R,其中t R、I當t 1時，求曲線y f（x）在點（0 f（0）處的切線方程;n當t 0時，求f的單調區間;（x）出證明：對任意的t （0）f（x）在區間（01）內均存在零點、【解析】19本小題主要考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、曲線的切線 方程、函數的零點、解不等式等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法，總分值14分。I解：當 /時一 一32一一t 1 ' f(x) 4x 3x 6x, f (0)0, f (x)12x26x

2、6f (0)6.所以曲線yf（x）在點（0, f（0）處的切線方程為6x.n解:因為t0,以下分兩種情況討論:f (x) 12x2 6tx 6t2'令 f (x) 0，解得 xt變化時，f f的變化情況如下表:0,則1 t,當xf（x）, f（x）2t的單調遞減區間是t,2 , t, ; f (x)", t2假設t 0,則x工 ,2t? tt,f (x)+-+f(x)P /z1假設to所以，f （x）的單調遞增區間是t ,當x變化時，f （x） f（x）的變化情況如下表: t2x,tt,2t2,f (x)+-+f(x)/l.的單調遞減區間是所以，f (x)的單調遞增區間是,，

3、, 2,；f(x)出證明：由n可知，當 t0時,f (x)在t內的單調遞減, 0,2調遞增,以下分兩種情況討論:內單1,即t2時，f(x)在0, 1內單調遞減,f(0)0, f(1)6t24t 34 4 2 3 0.所以對任意2,),f(x)在區間0內均存在零點。1,即0時,2f (x)在t 0,2內單調遞減，在t2,1內單調遞增，假(0,1, f4t33 0.f(1)6t24t6t4t2t 3 0.所以f (x)在內存在零點。假設t(1,2), f |7t347,3t 1 0.4f(0)所以f (x)在t內存在零點。 0,2所以，對任意(0,2),f(x)在區間0, 1內均存在零點。綜上，對

4、任意(0,),f (x)在區間0, 1內均存在零點。2.北京文18、本小題共13分函數Xf (x) (x k)ex.I求f(x)的單調區間;n求f(x)在區間0,1上的最小值【解析】18共13分解：If (x) (x k 1)e3.令 f x 0，得 x k 1、k J;單調遞增區間是(k 1)f(x)與f (x)的情況如下:x，k kk 1(k 1,)f (x)0+f(x)k 1 e所以，f的單調遞減區間是 f (x)n當k 1 0,即k 1時，函數f(x)在0, 1上單調遞增，所以f x在區間0 , 1上的最小值為f(0)k;在區間0 ,當0 k 1 1,即1 k 2時由I知“刈在0 k

5、1上單調遞減，在(k 1,1上單調遞增，所以f(x)1上的最小值為f(k 1)ek1；當k 1 t，即k 2時，函數f(x)在0，1上單調遞減，所以f(x)在區間0，1上的最小值為f(1) (1 k)e3.(全國大綱文)21、本小題總分值12分注意：在試題卷上作答無效 函數 .32_f (x) x 3ax (3 6a)x 12a 4 a RI證明：曲線y f(x)在x 0處的切線過點2, 2；II假設 一、/處取得極小值，“ 。、，求a的取值范圍?！?)在* XoXo (1,3)【解析】21、解：If'(x) 3x2 6ax 3 6a.2分由f(0) 12a 4, f '(0)

6、 3 6a得曲線y f(xx 0處的切線方程為2由此知曲線y f(X)在x 0處的切線過點I 2,II | I |c /口 21f '(x)044x2ax12a0.i當72 1a夜1時，f (x)沒有極小值;1時，由f'(x) 0得aa2 2a 1, x2a 一 a2 2a 1,故Xo由題設知彳x2.1 aa22a 1 3.、2 1時,不等式1,a2 2a 1無解。3應時，解不等式a2 2a 1a 、.萬 1.i ii得a的取值范圍是2,2 1).12分4.全國新文21、本小題總分值12分函數f(x)曲線y f (x)在點(1,f(1)處的切線方程為x 2y 3 0、b的值;I

7、I證明：當x>0,且1時,f(x)ln x、x 121解:f'(x)ln x)(x 1)2b2 x由于直線x 2y0的斜率為1 ,且過點(i,i),故2f(1) 1,即f'(1)1,解得12,n由f(x)In xlnx f(x) 一1K(x2 1)x考慮函數h(x)21n x(x 0),那么h(x) 2 x2x2 (x2所以當x 1時，h (x)1)(x 1)22x0Mh(1)0,故(0,1)時，h(x)，I 10,可得 Kh(x) 0;(1,)時，h(x)10,可得 Kh(x) 0;從而當0,且x1, f(x)也' 0,即f(x)x 1ln xx 15.遼寧文2

8、0、本小題總分值12分設函數f (x) =x+ax2+b1n x,曲線y="x)過P1,0，且在P點處的切斜線率為2、I求a, b的值;II證明：f(x)< 2x-2、【解析】20、解：If (x)2ax由條件得*)0”a 0,2a b2.解得a a1,b 3.IIf(x)的定義域為(0,)，由I知 f(x)2x x 3ln x.設g(x)f(x) (2x2)x2 3ln x,那么g (x) 12x 3 x(x1)(2xx3)1 時,g(x)0;當 x 1 時,g(x) 0.所以g(x)在(0,1評調增加，在(1,)單調減少.而 g(1) 0,故當x 0時,g(x) 0,即f(

9、x) 2x 2.12分設f(x)6.江西文20、本小題總分值13分132-x mx nx.31如果g(x) f'(x) 2x 3ftx2處取得最小值巧，求f(x)的解析式；2如果10 N的單調遞減區間的長度是正整數，試求m和n的值;,J、1,注；區間a, b的長度為b-a【解析】20、本本小題總分值13分解：1由題得 g(x) x2 2(m 1)x (n 3) (x m 1)2 (n 3) (m 1)2g(x)在x2處取得最小值5所以m 1 2，即m 3,n 22(n 3) (m 1)25即得所要求的解析式為1f (x)x3 3x2 2x.32因為一/、2、的單調遞減區間的長度為正整數

10、，f '(x) x 2mx n,且f(x)故f '(x) 0 一定有兩個不同的根，從而4m2 4n 0即 m2 n，不妨設為皿為正整數，X,x2，貝1J | x2 x1 | 2Mm n故m 2時才可能有符合條件的 m> n當m=2時，只有n=3符合要求當m=3時，只有n=5符合要求當m 4時，沒有符合要求的 n綜上所述，只有m=2, n=3或m=3, n=5滿足上述要求。7.山東文21、本小題總分值12分某企業擬建造如下圖的容器不計厚度，長度單位：米 ，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為80 立方米，且l2r、假設3該容器的建造費用僅與其

11、表面積有關、圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為、設該容器的建造費用為 y千元、C( Cr> 3)yI寫出y關于的函數表達式，并求該函數的定義域；V,n求該容器的建造費用最小時的、【解析】21、解:I設容器的容積為由題意知r2r3,又 V803432 r80374/203(蘆r)由于2r因此r 2.所以建造費用y2 rl4 20二(-2 3 r2r) 3 4 r c,因此4 (c2)r2160,0 r2.II由8 (c由于3,所以c 2，則所以當3 ry8 (c 2)2r(r2)r1602 r0,也。時,r20c 22 m)(rrm1當0當 r=m 時,y&#

12、39;=0;(0,m)時,y'<0;(m,2)時,y'>0.所以m是函數(0,2)時，y'8AAr3r20 c-2),0r 2.2).y的極小值點，也是最小值點。9時,20函數單調遞減,所以r=2是函數y的最小值點,建造費用最小時r 2;綜上所述，當9時,3 c2當9時，建造費用最小時c -28.陜西文21、本小題總分值14分設 f (x) In x.g (x) f (x)f(X)。I求g(x)的單調區間和最小值;n討論 (x)與 1的大小關系;g( ) gx出求a的取值范圍，使得g(x)<1對任意x >0成立?！窘馕觥?1、解I由題設知f(x)

13、ln x, g(x) ln xx 1 令 g (x) (x) - ,x(x)的單調遞增區間，因此，x=1O /C 0，1時，H 0，故0，1是的單調減區間。 g (x) g(x)e 1, +8時 ,、>0,故1, +8是 g (x)是g(X)的唯一值點，且為極小值點，從而是最小值點,所以最小值為g(1) 1.ln x xII1g(-)x(x 1)2 '2x設1h(x) g(x) g(-) x1，那么2ln x xh (x)x當x 1時,h0即g(x)當 x (0,1) (1,)時八(1) 0'因此，h,Y'在m、內單調遞減,h(x) (0,)當 0 x 1 時，h

14、(x) h(1) 0即1g(x) g(-). xx 1 時,h(x) h(1) 01即 g(x) g(-) xIII 由I I知的最小值為1,所以,g (x)g(a)1 ,對任意xg(x) 一 a0，成立g(a)即Ina1,從而得0 a e°9.上海文21、14分函數f(x)a 2x b3x，其中常數a,b滿足ab 0。1假設abf(x)的單調性;2假設ab1) f(x"4x折取值范圍。210,b 0 時任意Dx1, x2R, x1,那么 x2f(x1)f(x2) a(2國2x2) b(3x13x2)'2x12x2,a 0a(2x12x2)0' 3為 3x2

15、,b 0b(3x1 3x2)f(x1) f(X2)0 ,函數f (x)在R上是增函數。a 0,b0時，同理，函數f(x)在R上是減函數。 f(x 1)f(x)a 2xx2b 30a 0,b0時,3 x(2)2b,/ a10g1.5()2ba 0,b0時，3 x(2)2b,/ a10g1.5()2b10.四川文22、函數 2 f (x) -x3本小題共14分1， h(x) &、 2I設函數 F(x) = 18f (x) -x2 h(x)n設a R ,解關于x的方程 3lg-2求F(x)的單調區間與極值;3f (x 1) - 2lg h(a x) 2lg h(4 x) 4出設n N*，證明

16、：1、f(n)h(n) h(1) h(2) L h(n) 6本小題主要考查函數導數的應用、不等式的證明、解方程等基礎知識，考查數形結合、 函數與方程、分類與整合等數學思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力、解：F(x) 18f(x) x2h(x)2x3 12x 9(x 0)，F (x)3x2 12、2舍去令 F (x) 0，得 x 2x (0,2)時、x (2,)時,x 0,2)時，F(x)為增函數；當x 2,F (x)時,0，F/m為減函數、F(x)Y 2為F /S的極大值點，且x 4 F (x)n方法一：原方程可化為F (2)8 249 25即為log 4( x 1) log 2 a

17、 x當1 a 4時，36 4(a 4)20310g42 f (xlog2 44a 0，此時1)3,. 一4 10g2 h(a4x，即6x6 , 20 4ax) log2h(4 x)a,4,36 4(a4) 20 4a假設假設假設5,那么 時，那么0 ,方程有兩解x0,方程有一解x或a 5，原方程無解、方法二:原方程可化為log4(x 1) log2 h(4x)10g 2h(ax)即1210g2 (x1) log2 4 x log 2 aa(x0,0,0,a,(x23)5.1)(4 x)4時，原方程有一解當4 a 5時，原方程有二解x 35時，原方程有一解x3,當a 1或a 5時，原方程無解、出

18、由得 h(1) h(2) lh(n)1f(n)h(n)4n 3ax.2 L . n此時方程僅有一解6xa 4時，設數列a 的前n項和為S ,且 an On S,1f(n)h(n) T6從而有§ 1，當 2 k 100 時，ak又ak1(4k 3) , k (4k 1) .iT 6(4 k4k 3 - 4k 1 ATk66223) k (4k 1) (k 1)(4 k 3), k (4 k1). k 16 (4 k 3) - k (4 k 1) .111 ,1ank 2時，a1a2h(1) h(2)L h(n),故原不等式成立、11.浙江文21本小題總分值15分設函數-2f (x) a

19、 In xax，I I求f的單調區間;f (x)n求所有實數a,使e 1f(x) e2對x1,e恒成立、注：e為自然對數的底數、【解析】21此題主要考查函數的單調性、導數運算法那么、導數應用等基礎知識，同時考查抽象概括、推理論證能力?？偡种?15分。I解：因為f(x)2 .a ln xx2 ax.其中 x 0所以f(x)2x a(x a)(2x a)由于a0,所以f(x)的增區間為©a)，減區間為(a,)n證明:由題意得,f (1) a 1 c 1,即 a c由If(x)在1,e內單調遞增，要使f(x)e2對x1,e恒成立，只要f(1)f(e)1,ae解得ae.12.重慶文19、本小

20、題總分值12分，I小題5分，n小題7分設f(x) 2x3. ax2 bx 1的導數為f(x)，假設函數y f (x)的圖像關于直線1對稱，且fI求實數a,b的值n求函數f(x)的極值【解析】19、此題12分解：I因 f(x) 2x322_ax bx 1,故f (x) 6x 2axb.f (x)關于直線x又由于f0,即6 2a0,解得b12.1 二一?解彳#a 3.從而a 2 a2f(x)6(x 6) b 3,o對稱，從而由題設條件知 a6"由I知 f (x) 2x3 3x2 12x 1, f (x) 6x2 6x 126(x 1)(x 2).令 f (x) 0,即6(x 1)(x 2

21、) 0.解得 x12,x21.當x (, 2)時，f(x) 0,故£(乂)在(，2)上為增函數;當x ( 2,1)M, f (x)0,故f仁)在(2,1)上為減函數；當x (1,)時，f(x) 0,故f(x)在(1,)上為增函數；6.從而函數f(x)在2處取得極大值f( 2) 21,在x2 1處取得極小值f(1)13.安徽文18本小題總分值13分設y ，其中a為正實數.ef(x) -21 axI當 4時，求f(x)的極值點； a3n假設f (x)為R上的單調函數，求 a的取值范圍.【解析】18本小題總分值13分此題考查導數的運算，極值點的判斷，導數符號與函數單調變化之間的關系，求解二

22、次不等式，考查運算能力，綜合運用知識分析和解決問題的能力.解：對f (x)求導得f (x).2x 1 ax axe 2-.(1 ax2)231f (x) 0,則4x 8x 3 0,斛得 ,X222I當 4，假設 a -3綜合，可知1(,2)121 3 匕力2 2323(2, )f (x)+0一0+f(x)極大值極小值所以，3是極小值點，1是極大值點.xi -x222II假設f(x)為R上的單調函數，那么 f (x)在R上不變號，結合與條件a>0,知 ax2 2ax 1 0在R上恒成立，因此4a2 4a 4a(a 1) 0,由此并結合a 0，知0 a 1.14.福建文22、本小題總分值14

23、分a, b 為常數，且 aw0,函數 fx=-ax+b+axlnx , fe=2e=2、71828是自然對 數的底數。I求實數b的值；II求函數fx的單調區間；III當a=1時，是否同時存在實數 m和Mm<M,使得對每一個t C m, M,直線y=t與曲線y=fxxC 1 , e都有公共點？假設存在，求出最小的實數m和最大e的實數M假設不存在，說明理由?！窘馕觥?2、本小題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、 運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思 想，總分值14分。解：I由 f(e) 2得b 2,II由I可得 f(x)ax

24、 2 ax ln x.從而 f '(x) a ln x.因為a 0，故：1當 a 0時，由 f(x)>0 彳*x>1,由 f(x)<0 得0<x<1;2當 a 8寸，由f'(x) 0得0 x 1,由f'(x) 0得x 1.綜上，當a 0時，函數f&的單調遞增區間為 1'，a 0f (x)(I,)單調遞減區間為0, 1；當a n時，函數f/s的單調遞增區間為0, 1，a 0t (x)單調遞減區間為1)(1,)x 2 x ln x, f '(x) In x.由II引得，當 x在區間 1內艾化時，f '(x) f

25、(x)的艾化情況如卜表：(-,e),ex1 e(1,1) e1(1,e)ef '(x)-0+f(x：2 - e單調遞 減極小值1單調遞 增2又 21的值域為1 , 2。2 2 2,所以函數 f'(x) (x 1,e) ee據經可得，假設 m 1 ,那么對每一個t mM,直線y=t與曲線M 2III當 a=1 時，f(x)1都有公共點。f(x)(x L,e)e并且對每一個t (,m)U(M,)，直線y t與曲線1都沒有公y f (x)(x - , e)e共點。a=1時，存在最小的實數 m=1,最大白實數 M=Z使得對每一個t r M 1 ,L Illi, Ivl I直線y=t與曲

26、線y1都有公共點。f(x)(x 1,e)e15.湖北文19、本小題總分值12分提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v單位：千米/小時是車流密度 x單位：輛/千米的函數，當橋上的車流密度達到 200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為 0;當車流密度不超過 20輛/千米時，車流速度 為60千米/小時，研究說明：當 20 x 200時，車流速度v是車流密度x的一次函數。I當0 x 200時，求函數vX的表達式;II當車流密度x為多大時，車流量單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位:輛/小時f(x) x vx)可以達到最大，并求出最大值。精確到1輛/小

27、時。【解析】19、本小題主要考查函數、最值等基礎知識，同時考查運用數學知識解決實際問題的能力?？偡种?2分解：I由題意：當0 x 20時,v(x)60；當 20 x 208寸，設v(x) ax再由得a200a b 0"曰解得20a b 60,b故函數v(x)的表達式為 v(x)n依題意并由i可得f(x)13200360,0 x 20,1-(200 x),20 x 20060x,0 x 20,11x(200 x),20 x 200x 20時，f(x)為增函數，故當x 20時，其最大值為60X 20=1200;當 20 x 200時，f(x)1x(2003x)1r x (200 x)n2

28、；32100003當且僅當x 200 x，即x 100時，等號成立。所以，當x 100時，f (x)在區間20，200上取得最大值100003O3333綜上，當x 100時，f (x)在區間0，200上取得最大值100003即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時。r , a、b為常數，曲16 .湖北文20、本小題總分值13分設函數 f(Xx3 2ax2 bx a' gx) x2 3x 2，其中 x線y f (x)與y g(x)在點2,0處有相同的切線l。I求a、b的值，并寫出切線II假設方程f()x g(xl的方程；mx有三個互不相同的實根0、*

29、x '其中x1x2且對任意的，xx1,x2fX)g(xm(x1)恒成立，求實數m的取值范圍。【解析】20、此題主要考查函數、導數、不等式等基礎知識，同時考查綜合運用數學知識進總分值13分行推理論證的能力，以及函數與方程和特殊與一般的思想,解：If/02,of (x) 3x 4ax b, g (x) 2x 3.由于曲線yf(x)與y g(x)在點2, 0處有相同的切線,故有f(2)g(2)0, f (2) g 1.由此得8a 2b a128a b 1,0,解彳# a2,5.所以a a2,b 5，切線得3f(x) x24x 5x 2，所以乙、/、 f (x) g(x)32x 3x 2x.依

30、題意,方程x(x2 3x2 m)0有三個互不相同的實數0,x1，x2 '故X X是方程x2 3xx1 , x?x3x0的兩相異的實根。所以94(2 m)0,即m又對任意的x X1,X2, f(x)g(x) m(x1)成立,特別地，取x為時,f (X1)g(X1) mx1由韋達定理,可得x1x230,x1x22m 0,故 0 x1x2.對任意的x為？2,有x-x 20, x 為 0,x 0那么、 f (x)g(x) mx x(xx1)(x x2) 0,又 f(x1) g(x1) m為 0所以函數f(x) g(x) mx在x和供的最大值為°。于是當m 0時，對任意的x x1,x2

31、, f(x) g(x) m(x 1)恒成立，綜上，m的取值范圍是 1(二,0).417 .湖南文22、本小題總分值13分設函數1f (x) x a ln x(a R)xI討論函數 f(x)的單調性.n假設f(x)有兩個極值點小'記過點A(xi, f(xi), B(x2, fd)的直線斜率為k.問：是否存在a ,使得k 2 a ?假設存在，求出a的值；假設不存在，請說明理由.【解析】22、本本小題13分解析：0f(x)的定義域為(0)f '(x) 11a x2 ax 1 一2x x xv g(x) x2 ax 1,其判別式 V a2 4.當|a| 2寸,V 0, f '(

32、x) 0,故f(x)在(0,)上單調遞增、(2)當a2時,V>0,g(x)=0的兩根都小于°，在(0,)上，f'(x) 0，故f(x)在(0,)上單調遞增、當a 2時,V>0,g(x)=0的兩根為a廳7a Jahx1；, x222當 0 x x1 時，f'(x) 0；當 x1 x x2 時，f '(x) 0；當 x x2 時，f '(x) 0故f(x)分別在(0,x1),(x2,)上單調遞增，在(x1,x2)上單調遞減、II 由I知，a 2、因為f (X)f(x2) (X、X x2”x2) a(ln x1X x2,所以ln x2)f(x1)

33、f%) 1 1xix2ln x1 ln x2 agxiX2又由(I)知,XiX2_ In x1 In x22 ag 12XiX2假設存在,使得k2 a那么In xIn x2XiX2、即 In x1In x2x.、亦即X2X22ln再由X2X2知,2lnX2X20( X21)(*)函數h(t)X , 1入212ln121nt 在(0，)上單調遞增，而X2這與(*)式矛盾、故不存在，使得 0.k 2 a.18 .廣東文19、本小題總分值14分設 a>0,討論函數 fX=Inx+a 1-aX2-21-a的單調性?！窘馕觥?9、本本小題總分值14分解：函數f(x)的定義域為(0)2f (x)2a

34、(1 a)x 2(1 a)x 1,X6J七壬口 2。_的判別式1時，方程 2a(1-a)x2(1 a)x 1 01 12(a 1) a3當,有兩個零點,0 a 時，0, f (x)31 (a 1)(3a 1)1 (a 1)(3a 1)x,- 0, x2- 2a 2a(1 a)2a 2a(1 a)且當0 X Xi或X X2時，f(x) 0, f(x)在(0,Xi)與(X2,)內為增函數;當" f f內為減函數；XiX X2時，f(x) 0, f(x)在(Xi,X2)當內為增函數；a 1 時，0, f (x) 0,所以 f(x)在(0,)3當,內為增函數；a 1 時，f(x) 0(x 0), f(x)在(0,)當1 時,0,x1 2a.(a 1)(3a 1) 02a(1 a) ,1X2 一2a.(a 1)(3a 1)2a(1 a)在定義域內有唯一零點0,所以f (x)x x1時，f (x)0,f(x)在(0,X1)內為增函數當xX1時，0 a ;1 a 13a 1(0, X1)(入為)(X2 ,)(0,)(0,x)(X1,)Lx7f (X)的單調區間如下表:f (x) 0, f(x)在(x1，)內為減函數。其中Xi12a.(a 1)(3a 1)2a(1 a),X212a(a 1)(3a 1)2a(1 a)19.江蘇19、a, b是實數,函數f (x