1、問題提出問題提出1.1.平面向量的基本定理是什么？平面向量的基本定理是什么？ 若若e1 1、e2 2是同一平面內的兩個不共線向量，是同一平面內的兩個不共線向量，則對于這一平面內的任意向量則對于這一平面內的任意向量a，有且只有，有且只有一對實數一對實數1 1，2 2，使，使a1e12e2.2.2.用坐標表示向量的基本原理是什么？用坐標表示向量的基本原理是什么？設設i、j是與是與x x軸、軸、y y軸同向的兩個單位向軸同向的兩個單位向量，若量，若axiyj，則，則a( (x x，y y).).3.3.用坐標表示向量，使得向量具有代數用坐標表示向量，使得向量具有代數特征，并且可以將向量的幾何運算轉化

2、特征，并且可以將向量的幾何運算轉化為坐標運算，為向量的運算拓展一條新為坐標運算，為向量的運算拓展一條新的途徑的途徑. .我們需要研究的問題是，我們需要研究的問題是，向量向量的和、差、數乘運算，如何轉化為坐標的和、差、數乘運算，如何轉化為坐標運算，對于共線向量如何通過坐標來反運算，對于共線向量如何通過坐標來反映等映等. .探究（一）：平面向量的坐標運算探究（一）：平面向量的坐標運算 思考思考1 1：設設i、j是與是與x x軸、軸、y y軸同向的兩個軸同向的兩個單位向量，若單位向量，若a=(x=(x1 1，y y1 1),),b=(x=(x2 2，y y2 2),),則則ax x1 1iy y1

3、1j，b bx x2 2iy y2 2j，根據向量的線，根據向量的線性運算性質，向量性運算性質，向量ab，ab，a（R）如何分別用基底）如何分別用基底i、j表示？表示？ab(x1x2)i(y1y2)j， ab(x1x2)i(y1y2)j， ax1iy1j.思考思考2 2：根據向量的坐標表示，向量根據向量的坐標表示，向量 ab，ab，a的坐標分別如何？的坐標分別如何？ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1).ab(x1x2)i(y1y2)j， ab(x1x2)i(y1y2)j， ax1iy1j.思考思考3 3：如何用數學語言描述上述向量如何用數學語言描述上述向

4、量的坐標運算？的坐標運算？ 兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）；個向量相應坐標的和（差）；實數與向量的積的坐標等于用這個實數實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標乘原來向量的相應坐標. .ab(x1x2，y1y2); ab(x1x2，y1y2); a(x1，y1).o ox xy yB BA AAB 思考思考4 4：如圖如圖, ,已知點已知點A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )，那么向量那么向量 的坐標如何？一般地，一個的坐標如何？一般地，一個任意向量的坐標如何計算？任意向量的坐

5、標如何計算？ (x2x1，y2y1). A B任意一個向量的坐標等于表示該向量任意一個向量的坐標等于表示該向量的有向線段的終點坐標減去始點坐標的有向線段的終點坐標減去始點坐標. .思考思考5 5：在上圖中，如何確定坐標為在上圖中，如何確定坐標為(x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1) )的點的點P P的位置？的位置？o ox xy yB BA AP(xP(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1) )思考思考6 6：若向量若向量a=(x=(x，y)y)，則，則| |a| |如何計如何計算？若點算？若點A(xA(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2

6、2) )，則，則 如何計算？如何計算？ AB 222121AB(xx )(yy ) A Aax xy yO O22xya 探究（二）：探究（二）：平面向量共線的坐標表示平面向量共線的坐標表示 思考思考1 1：如果向量如果向量a，b共線（其中共線（其中b0），），那么那么a，b滿足什么關系？滿足什么關系？思考思考2 2：設設a=(x1，y1), ,b=(x2，y2)，若向若向量量a，b共線（其中共線（其中b0），則這兩個向量），則這兩個向量的坐標應滿足什么關系？反之成立嗎？的坐標應滿足什么關系？反之成立嗎？ ab.向量向量a，b（b0）共線共線 1221x yx yax xy yO ObA AB

7、 BC CD DA BC Dkk=思考思考3 3：如何用解析幾何觀點得出上述結如何用解析幾何觀點得出上述結論？論？向量向量a，b（b0）共線共線 1221x yx y思考思考4 4：已知點已知點P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )，P P2 2(x(x2 2，y y2 2) )，若點若點P P分別是線段分別是線段P P1 1P P2 2的中點、三等分點，的中點、三等分點，如何用向量方法求點如何用向量方法求點P P的坐標？的坐標？x xy yO OP P2 2P P1 1P PP PP P思考思考5 5：一般地，若點一般地，若點P P1 1(x(x1 1，y y1 1) )，P P2

8、2(x(x2 2，y y2 2) )，點，點P P是直線是直線P P1 1P P2 2上一點，上一點，且且 ，那么點，那么點P P的坐標有何計算的坐標有何計算公式？公式？12PPPP 1212xxyyP(,)11x xy yO OP P2 2P P1 1P P理論遷移理論遷移 例例1 1 已知已知a=(2,1),=(2,1), b=(=(3,4),3,4),求求 ab，ab，3a4b的坐標的坐標. . ab(1，5)，ab(5，3)，3a4b(6，19). 例例2 2 如圖，已知如圖，已知 ABCDABCD的三個頂點的的三個頂點的坐標分別是坐標分別是A A（-2-2，1 1）、）、B B（-1

9、,3-1,3）、）、C(3,4)C(3,4)，試求頂點，試求頂點D D的坐標的坐標. .o ox xy yA AB BC CD D D D（2 2，2 2） 例例3 3 已知向量已知向量a=(4=(4，2)2)，b=(6=(6，y),y),且且ab，求，求y y的值的值. .y3 例例4 4 已知點已知點A(-1A(-1，-1)-1)，B(1B(1，3)3)，C(2C(2，5)5)，試判斷，試判斷A A、B B、C C三點是否共線？三點是否共線？，A A、B B、C C三點共線三點共線. . 2ABAC3 小結作業小結作業1. 1. 向量的坐標運算是根據向量的坐標表示和向量向量的坐標運算是根據向量的坐標表示和向量的線性運算律得出的結論，它符合實數的運算規律，的線性運算律得出的結論，它符合實數的運算規律，并使得向量的運算完全代數化并使得向量的運算完全代數化. . 2.2.對于兩個非零向量共線的坐標表示，可借助斜率對于兩個非零向量共線的坐標表示，可借助斜率相等來理解和記憶相等來理解和記憶. . 3.3.利用向量的坐標運