1、百度文庫- 讓每個人平等地提升自我北師大版數學九年級下冊知識點總結及例題第一章 直角三角形的邊角關系1正切：在 Rt ABC 中，銳角A 的對邊與鄰邊的比叫做A 的正切 ，記作 tanA，tan AA的對邊A的鄰邊12 tanA是一個完整的符號，它表示A的正切，常省去角的符號“ ”； tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中A 的對邊與鄰邊的比； tanA不表示 “ tan乘以 ”“ A”； tanA的值越大，梯子越陡，A越大； A 越大，梯子越陡，tanA的值越大。例 在 Rt ABC中， 如果各邊長度都擴大為原來的2倍， 那么銳角A的正弦值 （）A. 擴大 2 倍 B. 縮小 2

2、倍 C. 擴大 4 倍 D. 沒有變化2. 正弦 ：在 Rt ABC 中，銳角A 的對邊與斜邊的比叫做A 的正弦，記作sinA，即sin AA的對邊斜邊1例 在ABC中，若C 90 ， sinA ， AB 2，則2ABC的周長為3. 余弦：在 Rt ABC 中，銳角A 的鄰邊與斜邊的比叫做A 的余弦，記作cosA，即cosAA的鄰邊斜邊例 等腰三角形的底角為30°，底邊長為2 3 ，則腰長為（A 4 B 2 3C 2D 2 2百度文庫- 讓每個人平等地提升自我4. 一個銳角的正弦、余弦分別等于它的余角的余弦、正弦。30 o45 o60 osin 122232cos322212tan

3、3313 ABC中， A， B均為銳角，且有 |tan B 3 | ( 2sin A3) 2 0， 則 ABC)A直角(不等腰)三角形B 等腰直角三角形C等腰(不等邊)三角形D 等邊三角形5. 當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為俯角6. 在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。7. 在 ABC 中， C 為直角，A、B、C所對的邊分別為a、 b、 c，則有(1)三邊之間的關系：a2+b2=c2；(2)兩銳角的關系：AB=90

4、°；(3)邊與角之間的關系：aba sin A , cosA , tanA , ccbsin B b , cosB a , tanB b ,23百度文庫- 讓每個人平等地提升自我3411（4）面積公式:S ab chc（hc 為 C 邊上的高）;例 在ABC中，C 90°，下列式子一定能成立的是（）A a csin BB a bcosBC c a tanBD a btanA8. 解直角三角形的幾種基本類型列表如下：例ABC中， C=90° ， AC= 2 5 ， 則 tan A的值為A、 8 15 B 、3 C 、5例 已知，四邊形ABCD中，ABC =求四邊形A

5、BCD的面積S 四邊形ABCD.A 的角平分線交BC 于 D， 且 AD= 4 15 ，33 D、 133 ADB =900， AB = 5， AD = 3， BC = 2 3，百度文庫- 讓每個人平等地提升自我9. 如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角（或叫做坡比 ）。用字母i 表示，即i h tanA l例 一人乘雪橇沿坡度為1: 3 的斜坡滑下，滑下距離S（米）與時間t（秒）之間的關系為S 10t 2t2,若滑動時間為4秒，則他下降的垂直高度為A、72米B、 36米C、 36 3米D、 18 3米10. 從某點的正北方向按順時針轉到目標方向的水平角，叫做方位角 。如圖3，OA、 OB、 O

6、C 的方位角分別為45°、 135°、 225°。11. 正北或正南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角 。如圖 4， OA、 OB、 OC、 OD 的方向角分別是；北偏東30°，南偏東45° （東南方向）、南偏西為60°，北偏西60°。圖244百度文庫- 讓每個人平等地提升自我第二章二次函數1. 二次函數的概念：形如 y ax2bx c（a,b,c是常數，a 0） 的函數，叫做x 的二次函數 。（ 1）自變量的取值范圍是全體實數。（ 2） y ax2（a 0）是二次函數的特例，此時常數b=c=0

7、.（ 3）在寫二次函數的關系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關系，列出相應的函數關系式，并確定自變量的取值范圍。2. 二次函數y ax2的圖象是一條頂點在原點且關于y軸對稱的拋物線。描述拋物線常從開口方向、對稱性、y 隨 x 的變化情況、拋物線的最高（或最低）點、拋物線與x 軸的交點等方面來描述。函數的定義域是全體實數；拋物線的頂點在（0， 0），對稱軸是y 軸 （或稱直線x 0）。當 a> 0 時，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當 a< 0 時，拋物線開口向下，并且向下方無限伸展。函數的增減性：A、當a> 0 時B、當a< 0 時0時 ,y隨 x增大而減小;0

8、時 , y隨 x增大而增大.0時 ,y隨 x增大而增大;0時 ,y隨 x增大而減小.當a越大，拋物線開口越小；當a越小，拋物線的開口越大。最大值或最小值：當a>0，且x0 時函數有最小值，最小值是0；當a<0，且x0 時函數有最大值，最大值是03. 二次函數y ax2 c 的圖象是一條頂點在y 軸上且關于y 軸對稱的拋物線二次函數y ax2 c 的圖象中，a的符號決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線的開口程度大小，c 決定拋物線的頂點位置，即拋物線位置的高低。56百度文庫- 讓每個人平等地提升自我4. 二次函數2y ax bxc 的圖象是以x b 為對稱軸，頂點在（b ，2a2a

9、4ac b24aa 來決定）5. 二次函數2y ax bxc 的圖象與y ax2 的圖象的關系：y ax2 bx c 的圖象可以由y ax2 的圖象平移得到，其步驟如下：將 y ax2bx c 配方成 y a（x h）2 k 的形式；（其中h= b ，2a24ac b k=4a把拋物線yax2向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個單位，得到y=a（x-h）2再把拋物線y a（x h）2向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|個單位，便得66到 y a（x h）2 k 的圖象。百度文庫- 讓每個人平等地提升自我77例 將二次函數配方成百度文庫- 讓每個人平等地提升自

10、我例 把拋物線向右平移3 個單位，再向下 平 移 2個 單 位 ， 所 得 圖 象 的 解 析 式 是88百度文庫- 讓每個人平等地提升自我99B.百度文庫- 讓每個人平等地提升自我1010百度文庫- 讓每個人平等地提升自我1111C.D.百度文庫- 讓每個人平等地提升自我12136.二次函數yax2bxc的性質：二次函數yax2bxc配方成y a(x b )2 4ac b 則：2a 4a 對稱軸： x= b2a頂點坐標：(b ， 4ac b2 )2a 4a增減性：若 a>0，則當x< b 時， y 隨 x 的增大而減小 ；2a當 x> b 時， y 隨 x 的增大而增大。

11、2a百度文庫- 讓每個人平等地提升自我若 a<0，則當x< b 時， y 隨 x 的增大而增大 ；y 隨 x 的增大而減小。 2a4ac b24a4ac b24a當 x> b 時，2a最值：若a>0，則當x= b 時，y最小2a若 a<0，則當x= 時，y最大2a例 拋物線的對稱軸是直線（）1313百度文庫- 讓每個人平等地提升自我1414A.B.C.百度文庫- 讓每個人平等地提升自我1516例 二次函數D.百度文庫- 讓每個人平等地提升自我1616百度文庫- 讓每個人平等地提升自我1919百度文庫- 讓每個人平等地提升自我2121百度文庫- 讓每個人平等地提升自

12、我2222例 二次函數圖象如右圖，則點百度文庫- 讓每個人平等地提升自我2323例 已知反比例函數象如右圖所示，則二次函數大致為（）百度文庫- 讓每個人平等地提升自我例 下面所示各圖是在同一直角坐標系內，二次函數與一次函數有且只有一個是正確2424百度文庫- 讓每個人平等地提升自我7 . 畫二次函數y ax2 bx c 的圖象：（五點法）先找出頂點（b ， 4ac b2 ），畫出對稱軸x= b ；2a 4a2a找出圖象上關于直線x= b 對稱的四個點（如與坐標的交點等）；2a把上述五點連成光滑的曲線。8 .二次函數y ax2 bx c的圖象（拋物線）與 x 軸的兩個交點的橫坐標x1， x2是對

13、應一元二次方程ax2 bx c 0 的兩個實數根拋物線與x 軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：b24ac >0 <=>拋物線與x軸有2個交點；b24ac =0 <=>拋物線與x軸有1 個交點；2b4ac <0 <=>拋物線與x 軸有0個交點（無交點）；2525百度文庫- 讓每個人平等地提升自我2626例 已知二次函數百度文庫- 讓每個人平等地提升自我2727A.B.C.百度文庫- 讓每個人平等地提升自我D.2828百度文庫- 讓每個人平等地提升自我2929例 已知拋物線與 x 軸有兩個交點，那么一元二次方程根的情況是百度文庫-

14、 讓每個人平等地提升自我例 已知拋物線與 x 軸交點的橫坐標為3030百度文庫- 讓每個人平等地提升自我第三章 圓1. 圓的定義：描述性定義：在一個平面內，線段 OA 繞它固定的一個端點O 旋轉一周，另一個端點A 隨之旋轉所形成的圓形叫做圓 ；固定的端點O 叫做圓心 ；線段 OA 叫做半徑 ；以點 O 為圓心的圓，記作O，讀作 “圓 O”3131百度文庫- 讓每個人平等地提升自我集合性定義：圓是平面內到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做圓心 ，定長叫做圓的半徑 ，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個條件唯一

15、確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。2. 點與圓的位置關系及其數量特征：如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則點在圓上<=> d=r;點在圓內<=> d<r;點在圓外<=> d>r.例 若 A的半徑為5，圓心A的坐標是 （3， 4），點 P 的坐標是（5， 8），則點 P的位置為（）A、在A內B、在A上C、在A外D、不能確定例 若 O 所在平面內一點P 到 O 上的點的最大距離為a， 最小距離為b（ a>b） ，則此圓的半徑為（）ababABCab ab或22D a b或 a b3. 圓的對稱性:（ 1）與圓相關的概念：弦和直徑

16、：弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦 。直徑：經過圓心的弦叫做直徑。弧、半圓、優弧、劣弧：弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧 ，簡稱弧 ，用符號 “ ”表示，以CD 為端點的弧記為“ ”，讀作 “圓弧CD” 或 “弧 CD” 。半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓優弧：大于半圓的弧叫做優弧。劣弧： 小于半圓的弧叫做劣弧。 （為了區別優弧和劣弧，優弧用三個字母表示。）弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心

17、角.弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.（ 2）圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸。3） 3） 垂徑定理 ：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。說明：根據垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優弧；平分弦所對的劣弧。上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結論。（ 4）定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推論 : 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、 兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等

18、,那么它們所對應的其余各組量都分別相等.例 兩個同心圓的半徑分別為3 cm和 4 cm， 大圓的弦BC與小圓相切，則 BC=_ cm.例 已知 O的半徑為2cm,弦 AB 長為 2 3 cm,則這條弦的中點到弦所對劣弧的中點的距離為（）A 1B 2C 3D 4例 如圖為直徑是52cm圓柱形油槽, 裝入油后, 油深CD為 16cm,那么油面寬度AB= cm.O4） 圓周角和圓心角的關系3333百度文庫- 讓每個人平等地提升自我（ 1）弧的概念: 把頂點在圓心的周角等分成360 份時 ,每一份的角都是1°的圓心角 ,相應的整個圓也被等分成360份 ,每一份同樣的弧叫1°弧 .（

19、 2）圓心角的度數和它所對的弧的度數相等.這里指的是角度數與弧的度數相等,而不是角與弧相等.即不能寫成 AOB=,這是錯誤的.（ 3）圓周角的定義:頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.4） 4） 圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.推論 1: 同弧或等弧所對的圓周角相等；反之， 在同圓或等圓中， 相等圓周角所對的弧也相等；推論 2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；例 下面四個命題中,正確的一個是（）A 平分一條弦的直徑必垂直于這條弦B 平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦C 圓心角相等,圓心角所對的弧相等D 在一個圓中,

20、平分一條弧和它所對弦的直線必經過這個圓的圓心例 如圖， ABC 內接于O， 若 A=40 °， 則 OBC 的度數為 （）A 20°B 40°C 50°D 70°例 如圖，小明同學設計了一個測量圓直徑的工具，標有刻度的尺子 OA、 OB 在 O 點釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時， 把 O 點靠在圓周上，讀得刻度OE=8 個單位， OF=6 個單位，則圓的直徑為（）A 12個單位B 10個單位C 1 個單位D 15個單位5） 確定圓的條件:（ 1）確定一個圓必須的具備兩個條件:圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑決定圓的大小.經過一點可以作

21、無數個圓,經過兩點也可以作無數個圓,其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上.（ 2）經過三點作圓要分兩種情況:i. 經過同一直線上的三點不能作圓.ii. 經過不在同一直線上的三點,能且僅能作一個圓.定理 : 不在同一直線上的三個點確定一個圓.（3） 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內接三角形的概念:i. 三角形的外接圓和圓的內接三角形: 經過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內接三角形.ii. 三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.iii. 三角形的外心的性質:三角形外心到三頂點的距離相等.例 平行四邊形的四個頂點在同一圓上，則該平行四邊形一定是（

22、）A、正方形B、菱形C 、矩形D 、等腰梯形6. 直線與圓的位置關系（1） 直線和圓相交、相切、相離的定義:相交: 直線與圓有兩個公共點時,叫做直線和圓相交,這時直線叫做圓的割線相切: 直線和圓有惟一公共點時,叫做直線和圓相切,這時直線叫做圓的切線惟一的公共點做切點.相離 : 直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離.（ 2）直線與圓的位置關系的數量特征:設 O 的半徑為r，圓心O 到直線的距離為d； d<r <=>直線L和O 相交. d=r <=>直線L和O 相切. d>r <=>直線L和O 相離.（ 3）切線的判定定理:經過半徑的外端并且垂直于

23、這條半徑的直線是圓的切線.（ 4）切線的性質定理:圓的切線垂直于過切點的半徑.推論 1： 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.3535百度文庫- 讓每個人平等地提升自我推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.分析性質定理及兩個推論的條件和結論間的關系,可得如下結論:如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個.垂直于切線; 過切點 ; 過圓心 .（5）三角形的內切圓、內心、圓的外切三角形的概念.和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓,內切圓的圓心叫做三角形的內心 , 這個三角形叫做圓的外切三角形.（6）三角形內心的性質:i. 三角形的內心到三邊的距離相等.ii. 過三角形

24、頂點和內心的射線平分三角形的內角.由此性質引出一條重要的輔助線: 連接內心和三角形的頂點,該線平分三角形的這個內角.例 下列四個命題中正確的是（）與圓有公共點的直線是該圓的切線垂直于圓的半徑的直線是該圓的切線到圓心的距離等于半徑的直線是該圓的切線過圓直徑的端點，垂直于此直徑的直線是該圓的切線A、B、C、D、例 過 O 外一點 P 作 O 的兩條切線PA、 PB，切點為A 和 B，若AB=8， AB的弦心距為3，則PA 的長為 （）A、 5 B 、 20C、 25D、 833例 如圖， P 為 O 外一點，PA、 PB 分別切O 于 A、 B， CD 切 O 于點E，分別交PA、 PB 于點C、

25、 D，若PA=5，則PCD 的周長為（）A 5B 7 C 8D 107.圓和圓的位置關系.（ 1） 外離、外切、相交、內切、內含（包括同心圓）這五種位置關系的定義.外離 : 兩個圓沒有公共點,并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外離 .外切 : 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,每個圓上的點都在另一個圓的外部時, 叫做這兩個圓外切.這個惟一的公共點叫做切點.相交 : 兩個圓有兩個公共點,此時叫做這個兩個圓相交.內切 : 兩個圓有惟一的公共點,并且除了這個公共點以外,一個圓上的都在另一個圓的內部時,叫做這兩個圓內切.這個惟一的公共點叫做切點.內含 : 兩個圓沒有公共點,

26、 并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時,叫做這兩個圓內含.兩圓同心是兩圓內含的一個特例.（ 2）兩圓位置關系的性質與判定:兩圓外離<=> d>R+r兩圓外切<=>d=R+r兩圓相交<=>R-r<d<R+r （R r）兩圓內切<=>d=R-r（R>r）兩圓內含<=>d<R-r（R>r）（3）相切兩圓的性質:如果兩個圓相切,那么切點一定在連心線上.（4）相交兩圓的性質:相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.例 已知O1 的半徑r 為3cm，O2的半徑R 為4cm， 兩圓的圓心距O1O2為1cm，則這兩圓的位置

27、關系是（）（ A）相交（ B）內含（ C）內切 （ D）外切8. 弧長及扇形的面積1）圓周長公式:圓周長 C=2 R （R 表示圓的半徑）3737百度文庫- 讓每個人平等地提升自我2）弧長公式:弧長 l n R （R 表示圓的半徑, n 表示弧所對的圓心角的度數）1803）扇形定義:一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.4）弓形定義:由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.5）圓的面積公式.圓的面積SR2 （R 表示圓的半徑）6）扇形的面積公式:扇形的面積S扇形n R2 （R 表示圓的半徑, n 表示弧所對的圓心角的度數）3607）弓形的面積公式

28、（1）當弓形所含的弧是劣弧時, S弓形S扇形S三角形（2）當弓形所含的弧是優弧時, S弓形S扇形S三角形12（3）當弓形所含的弧是半圓時, S弓形12 R2 S扇形例 如圖，一塊邊長為8 cm 的正三角形木板ABC，在水平桌面上繞點B 按順時針方向旋轉至A BC的位置時，頂點 C從開始到結束所經過的路徑長為（點 A、B、 C在同一直線上）（）3例 要修一段如上圖所示的圓弧形彎道，它的半徑是48 m，圓弧所對的圓心角是60°，那么這段彎道長 m（保留）.例 兩同心圓中，大圓的弦AB 切小圓于C 點，且AB=20cm,則夾在兩圓間的圓環面積是 cm 29.圓錐的有關概念:（ 1） 圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉一周而形成的圖形,另一條直角邊旋轉而成的面叫做圓錐的底面,斜邊旋轉而成的面叫做圓錐的側面.（ 2） 圓錐的側面展開圖與側面積計算:圓錐的側面展開圖是一個扇形,這個扇形的半徑是圓錐側面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點.如果設圓錐底面半徑為r,側面母線長（扇形半徑）是l, 底面圓周長（扇形弧長 ）為c,那么它的側面積是:11S側cl 2 rl rl側22S表S側S底面rl r2 r（r l）例 一個圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐的側面積是。例 圓錐的底面半徑為3cm,側面展開圖是圓心角為120o的