1、12021年年12月月23日日 常系數線性差分方程；常系數線性差分方程； 差分方程的平衡點及其穩定性；差分方程的平衡點及其穩定性； 連續模型的差分方法；連續模型的差分方法； 案例分析：最優捕魚問題。案例分析：最優捕魚問題。 差分方程基本知識差分方程基本知識v 1、差分方程：、差分方程： 差分方程反映的是關于離散變量的取值與差分方程反映的是關于離散變量的取值與變化規律。通過建立一個或幾個離散變量取值所滿足的平變化規律。通過建立一個或幾個離散變量取值所滿足的平衡關系，從而建立差分方程。衡關系，從而建立差分方程。 v 差分方程就是針對要解決的目標，引入系統或過程中的離差分方程就是針對要解決的目標，引

2、入系統或過程中的離散變量，根據實際背景的規律、性質、平衡關系，建立離散變量，根據實際背景的規律、性質、平衡關系，建立離散變量所滿足的平衡關系等式，從而建立差分方程。通過散變量所滿足的平衡關系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特別性質特別性質（平衡性、穩定性、漸近性、振動性、周期性等），從而（平衡性、穩定性、漸近性、振動性、周期性等），從而把握這個離散變量的變化過程的規律，進一步再結合其他把握這個離散變量的變化過程的規律，進一步再結合其他分析，得到原問題的解。分析，得到原問題的解。引例引例1： Fibonacci 數列數

3、列 13世紀意大利著名數學家世紀意大利著名數學家Fibonacci在他的著作在他的著作算盤書算盤書中記載著這樣一個有趣的問題：中記載著這樣一個有趣的問題： 一對剛出生的幼兔經過一個月可長成成兔，成兔再經過一一對剛出生的幼兔經過一個月可長成成兔，成兔再經過一個月后可以繁殖出一對幼兔個月后可以繁殖出一對幼兔. 若不計兔子的死亡數，問一年之若不計兔子的死亡數，問一年之后共有多少對兔子？后共有多少對兔子？月份月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 總數總數 1 1 2 3 5 8 13 21 將兔群總數記為將兔群總數記

4、為 fn, n=0,1,2,，經過觀察可以發現，數列，經過觀察可以發現，數列fn滿足下列遞推關系：滿足下列遞推關系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2, 這個數列稱為這個數列稱為Fibonacci數列數列. Fibonacci數列是一個十分有趣數列是一個十分有趣的數列，在自然科學和數學領域中都有著廣泛的應用的數列，在自然科學和數學領域中都有著廣泛的應用. Fibonacci數列的一些實例數列的一些實例. 1. 蜜蜂的家譜蜜蜂的家譜 2. 鋼琴音階的排列鋼琴音階的排列 3. 樹的分枝樹的分枝 4. 楊輝三角形楊輝三角形引例引例2：日常的經濟問題中的差分

5、方程模型：日常的經濟問題中的差分方程模型 假如你在銀行開設了一個假如你在銀行開設了一個1000元的存款賬戶，銀行的年利元的存款賬戶，銀行的年利率為率為7%. 用用an表示表示n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數列年后你賬戶上的存款額，那么下面的數列就是你每年的存款額：就是你每年的存款額： a0, a1, a2, a3, , an, 設設r為年利率，由于為年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款問題的數學模型因此存款問題的數學模型是：是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 從從1994年開始，我國逐步實行了大學收費制度年開始，我國逐步實行了大學收費制度. 為

6、了保障子女為了保障子女將來的教育費用，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向將來的教育費用，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向銀行存入銀行存入x元作為家庭教育基金元作為家庭教育基金. 若銀行的年利率為若銀行的年利率為r，試寫出第，試寫出第n年后教育基金總額的表達式年后教育基金總額的表達式. 預計當子女預計當子女18歲入大學時所需的歲入大學時所需的費用為費用為100000元，按年利率元，按年利率3%計算，小張夫婦每年應向銀行存計算，小張夫婦每年應向銀行存入多少元入多少元? 設設n年后教育基金總額為年后教育基金總額為an，每年向銀行存入，每年向銀行存入x元，依據復利元，依據復利率計算公式，得到

7、家庭教育基金的數學模型為：率計算公式，得到家庭教育基金的數學模型為： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 小李夫婦要購買二居室住房一套，共需小李夫婦要購買二居室住房一套，共需30萬元萬元. 他們已經籌他們已經籌集集10萬元，另外萬元，另外20萬元申請抵押貸款萬元申請抵押貸款. 若貸款月利率為若貸款月利率為0.6%，還貸期限為還貸期限為20年，問小李夫婦每月要還多少錢？年，問小李夫婦每月要還多少錢？ 設貸款額為設貸款額為a0，每月還貸額為，每月還貸額為x，月利率為，月利率為r，第，第n個月后的欠個月后的欠款額為款額為an，則，則 a0=200000, a1=(1+r

8、)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,二二. 差分的概念與性質差分的概念與性質一般地，在連續變化的時間的范圍內，變量一般地，在連續變化的時間的范圍內，變量 y關于時間關于時間 t的變化率是用的變化率是用 dydt來刻畫的；來刻畫的； 對離散型的變量對離散型的變量 , y我們常用在我們常用在規定時間區間上的差商規定時間區間上的差商 yt來刻畫變量來刻畫變量 y的變化率的變化率.如果取如果取 1t ，則，則 (1)( )yy ty t 可以近似表示變量可以近似表示變量 y的變化率的變化率.由此我們給出差分的定義由此我們給出差分的定義.定義定義1

9、( )tyy tttyy1tytytytttyyy1)() 1()(tytytyty2.2)()()(1211212tttttttttttyyyyyyyyyyy設函數設函數，稱改變量，稱改變量為函數為函數的差分，也稱為函數的差分，也稱為函數的一階差分，記為的一階差分，記為，即，即 或或 一階差分的差分一階差分的差分稱為二階差分，即稱為二階差分，即類似地可定義三節差分，四階差分，等等類似地可定義三節差分，四階差分，等等.ty1nntnyintniinitntntnyCyyy0111) 1(一般地，函數一般地，函數的的階差分的差分稱為階差分的差分稱為階差分，記為階差分，記為，即，即 二階及二階以上

10、的差分統稱為高階差分二階及二階以上的差分統稱為高階差分.2tyttyty2ty312) 1()(222ttttyt2) 12( 1) 1(2) 12()(222ttttyt022)(23ttyy例例1 設設，求，求，解解 . 1),1()2)(1()0()( tntttttn)(nt) 1()2)(1()( ntttttynt( )( )(1)(1) (1)(11)nntytttt ttn )1()2() 1()1() 1( nntntttntt例例2 設設求求解解 設設，則，則.(1)(2)(1)t ttntn )()(為常數CyCCyttttttzyzy)（ttttttzyyzzy1)（)

11、0()1tttttttttzzzzyyzzy（差分滿足以下性質：差分滿足以下性質：（2）（3）（4）（1）ttty32)3() 1(3)3(222ttttttty)362(332) 1() 12(322ttttttt例例3 求求解解 由差分的運算性質，有由差分的運算性質，有.的差分的差分.1 差分方程的概念差分方程的概念ty, 0),(2 tntttyyyytF,.0),(21 nttttyyyytG定義定義2 含有未知函數含有未知函數的差分的方程稱為差分方程的差分的方程稱為差分方程. 或或 差分方程中所含未知函數差分的最高階數稱為該差分方程的階差分方程中所含未知函數差分的最高階數稱為該差分方

12、程的階差分方程的一般形式：差分方程的一般形式：定義定義3 滿足差分方程的函數稱為該差分方程的解滿足差分方程的函數稱為該差分方程的解.21ttyytyt222) 1(21ttyytttyt2CCtyt 221ttyy例如，對于差分方程例如，對于差分方程，將，將代入方程有代入方程有 故故是該方程的解，易見對任意的常數是該方程的解，易見對任意的常數都是差分方程都是差分方程的解的解.如果差分方程的解中含有相互獨立的任意常數的個數恰好如果差分方程的解中含有相互獨立的任意常數的個數恰好等于方程的階數，則稱這個解是差分方程的通解等于方程的階數，則稱這個解是差分方程的通解.定義定義4 若差分方程中所含未知函數

13、及未知函數的各階差分均若差分方程中所含未知函數及未知函數的各階差分均為一次，則稱該差分方程為線性差分方程為一次，則稱該差分方程為線性差分方程. 其一般形式為其一般形式為)()()()(1111tfytaytaytaytntnntnttntntyyy,1 其特點是其特點是都是一階的都是一階的.182021年年12月月23日日 1. 1.常系數線性齊次差分方程常系數線性齊次差分方程 192021年年12月月23日日 (1) (1) 特征根為單根特征根為單根 1.常系數線性齊次差分方程常系數線性齊次差分方程 202021年年12月月23日日 (2) (2) 特征根為重根特征根為重根 1.常系數線性齊

14、次差分方程常系數線性齊次差分方程 212021年年12月月23日日 (3) (3) 特征根為復根特征根為復根 1.常系數線性齊次差分方程常系數線性齊次差分方程 222021年年12月月23日日 2. 2.常系數線性非齊次差分方程常系數線性非齊次差分方程 232021年年12月月23日日 2. 2.常系數線性非齊次差分方程常系數線性非齊次差分方程 242021年年12月月23日日 1. 1. 一階線性常系數差分方程的平衡點一階線性常系數差分方程的平衡點252021年年12月月23日日 2. 2. 一階線性常系數差分方程組的平衡點一階線性常系數差分方程組的平衡點262021年年12月月23日日 3

15、. 3.二階線性常系數差分方程的平衡點二階線性常系數差分方程的平衡點 4. 4.一階非線性差分方程的平衡點一階非線性差分方程的平衡點272021年年12月月23日日282021年年12月月23日日 1. 1. 微分的差分方法微分的差分方法292021年年12月月23日日 2. 定積分的差分方法定積分的差分方法 302021年年12月月23日日 2. 定積分的差分方法定積分的差分方法 10)21()(nkbahkafhdxxf (1)(1)復化的矩形公式：復化的矩形公式：312021年年12月月23日日 2. 定積分的差分方法定積分的差分方法 類似地：類似地：復化辛甫生（復化辛甫生（Simpso

16、n）公式）公式;復化柯特斯（復化柯特斯（Cotes）公式等。）公式等。 （詳見教材）（詳見教材） （2 2）復化梯形公式：）復化梯形公式：322021年年12月月23日日 1. 問題的提出問題的提出 假設鳀魚可分為假設鳀魚可分為4 4個年齡組：稱個年齡組：稱 1 1、2 2、3 3、4 4 齡魚。齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為各年齡組每條魚的平均重量分別為5.075.07，11.5511.55，17.8617.86，22.99(22.99(克）；各年齡組魚的自然死亡率均為克）；各年齡組魚的自然死亡率均為0.8(1/0.8(1/年）；年）；這種魚為季節性集中產卵繁殖，產卵孵化期為每年的最這

17、種魚為季節性集中產卵繁殖，產卵孵化期為每年的最后后4 4個月，平均每條個月，平均每條4 4齡魚的產卵量為齡魚的產卵量為 ( (個），個），3 3齡魚的產卵量為這個數的一半，齡魚的產卵量為這個數的一半，2 2齡齡和齡魚不產卵。和齡魚不產卵。 卵孵化并成活為卵孵化并成活為1 1齡魚，成活率（齡魚，成活率（1 1齡魚條數與產卵齡魚條數與產卵量量n n之比）為之比）為 51009.11n11111022. 11022. 1332021年年12月月23日日 漁業部門規定，每年只允許在產卵孵化期漁業部門規定，每年只允許在產卵孵化期前的個月內進行捕撈作業。如果每年投入的捕前的個月內進行捕撈作業。如果每年投入

18、的捕撈能力固定不變，即撈能力固定不變，即固定努力量固定努力量捕撈，這時單位捕撈，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數成正比，比例時間捕撈量將與各年齡組魚群條數成正比，比例系數稱為系數稱為捕撈強度系數捕撈強度系數。 通常使用通常使用13mm13mm網眼的拉網，這種網只能捕撈網眼的拉網，這種網只能捕撈3,43,4齡魚，其兩個捕撈系數之比為齡魚，其兩個捕撈系數之比為0.42:10.42:1。 1. 問題的提出問題的提出342021年年12月月23日日（1 1）建立數學模型分析如何實現可持續性捕撈）建立數學模型分析如何實現可持續性捕撈( (即即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數不變），每年開始捕撈

19、時漁場中各年齡組魚群條數不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（總重量）。并且在此前提下得到最高的年收獲量（總重量）。 1. 問題的提出問題的提出352021年年12月月23日日 2. 模型的假設模型的假設（3 3）所有魚都在每年最后四個月內完成產卵孵化）所有魚都在每年最后四個月內完成產卵孵化的過程，成活的幼魚在下一年初成為一齡魚；的過程，成活的幼魚在下一年初成為一齡魚；（4 4）產卵發生于后四個月之初，產卵魚的自然死）產卵發生于后四個月之初，產卵魚的自然死亡發生于產卵之后；亡發生于產卵之后；（1 1）只考慮魚的繁殖和捕撈的變化，不考慮魚群遷）只考慮魚的繁殖和捕撈的變化，不考慮魚群遷入與遷出

20、；入與遷出；（2 2）各齡魚在一年的任何時間都會發生自然死亡；）各齡魚在一年的任何時間都會發生自然死亡； 2. 模型的假設模型的假設（6 6）四齡以上的魚全部死亡；）四齡以上的魚全部死亡；（7 7）采用）采用固定努力量捕撈固定努力量捕撈即捕撈的速率正比于即捕撈的速率正比于捕撈時各齡魚群的條數，比例系數為捕撈時各齡魚群的條數，比例系數為捕撈強度系捕撈強度系數數。（5）相鄰兩個年齡組的魚群在相鄰兩年之間的）相鄰兩個年齡組的魚群在相鄰兩年之間的變化是連續的變化是連續的; 362021年年12月月23日日372021年年12月月23日日 3. 模型的建立與求解模型的建立與求解（1 1）無捕撈時魚群的自

21、然增長模型）無捕撈時魚群的自然增長模型！無捕撈時無捕撈時魚群會無限魚群會無限的增長嗎的增長嗎？No!I dont know!各齡魚都不會無限地增長！各齡魚都不會無限地增長！382021年年12月月23日日 （1）無捕撈時魚群的自然增長模型）無捕撈時魚群的自然增長模型3、模型的建立與求解、模型的建立與求解392021年年12月月23日日 (2) 固定努力量捕撈下魚群的增長和捕撈模型固定努力量捕撈下魚群的增長和捕撈模型3、模型的建立與求解、模型的建立與求解402021年年12月月23日日 (2) 固定努力量捕撈下魚群的增長和捕撈模型固定努力量捕撈下魚群的增長和捕撈模型3、模型的建立與求解、模型的建

22、立與求解412021年年12月月23日日1) 魚群的增長規律求解求解(1)，(2)，并利用連續條件，并利用連續條件(3) tktktxEqtrxdttdxiiii),()()()( （1） 1),()(kttktrxdttdxii （2） 3 ,2, 1),1()1(,)0(1ikxkxxxiiii （3） 422021年年12月月23日日2) 2) 捕撈量捕撈量432021年年12月月23日日3) 可持續性捕撈模型442021年年12月月23日日3) 可持續性捕撈模型452021年年12月月23日日3) 可持續性捕撈模型462021年年12月月23日日3) 可持續性捕撈模型472021年年1

23、2月月23日日3) 可持續性捕撈模型482021年年12月月23日日3) 可持續性捕撈模型492021年年12月月23日日!說明說明：問題（），請自己考慮。問題（），請自己考慮。1 市場經濟中的蛛網模型市場經濟中的蛛網模型2 減肥計劃減肥計劃節食與運動節食與運動差分方程模型實例差分方程模型實例1 市場經濟中的蛛網模型市場經濟中的蛛網模型問問 題題供大于求供大于求現現象象商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩定商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩定當不穩定時政府能采取什么干預手段使之穩定當不穩定時政府能采取什么干預手段使之穩定價格下降價格下降減少產量減少產量增加產量增加產量價格上漲價格上漲供不

24、應求供不應求描述商品數量與價格的變化規律描述商品數量與價格的變化規律數量與價格在振蕩數量與價格在振蕩蛛蛛 網網 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時段商品數量；時段商品數量；yk第第k時段商品價格時段商品價格消費者的需求關系消費者的需求關系)(kkxfy 生產者的供應關系生產者的供應關系減函數減函數增函數增函數供應函數供應函數需求函數需求函數f與與g的交點的交點P0(x0,y0) 平衡點平衡點一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0設設x1偏離偏離x0 x1x2P2y1

25、P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩定平衡點是穩定平衡點P1P2P3P4P0是不穩定平衡點是不穩定平衡點gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網網 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyhx在在P0點附近用直線近似曲線點附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩定穩定P0不穩定不穩定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模

26、型型gfKKgfKK方程模型與蛛網模型的一致方程模型與蛛網模型的一致)(00 xxyykk 商品數量減少商品數量減少1單位單位, 價格上漲幅度價格上漲幅度)(001yyxxkk 價格上漲價格上漲1單位單位, (下時段下時段)供應的增量供應的增量考察考察 , 的含義的含義 消費者對需求的敏感程度消費者對需求的敏感程度 生產者對價格的敏感程度生產者對價格的敏感程度 小小, 有利于經濟穩定有利于經濟穩定 小小, 有利于經濟穩定有利于經濟穩定結果解釋結果解釋xk第第k時段商品數量；時段商品數量；yk第第k時段商品價格時段商品價格1經濟穩定經濟穩定結果解釋結果解釋經濟不穩定時政府的干預辦法經濟不穩定時政

27、府的干預辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價格不變以行政手段控制價格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經濟實力控制數量不變靠經濟實力控制數量不變xy0y0gfxy0 x0gf結果解釋結果解釋需求曲線變為水平需求曲線變為水平供應曲線變為豎直供應曲線變為豎直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產者根據當前時段和前一時生產者根據當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量。段的價格決定下一時段的產量。)(00 xxyykk生產者管理水平提高生產者管理水平提高設供應函數為設供應函數為需求函數不變需求函數不變, 2 , 1,)1 (22012kxxx

28、xkkk二階線性常系數差分方程二階線性常系數差分方程x0為平衡點為平衡點研究平衡點穩定，即研究平衡點穩定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡點穩定，即平衡點穩定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點穩定條件平衡點穩定條件比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣2 減肥計劃減肥計劃節食與運動節食與運動背背景景 多數減肥食品達不到減肥目標，或

29、不能維持多數減肥食品達不到減肥目標，或不能維持 通過控制飲食和適當的運動，在不傷害身體通過控制飲食和適當的運動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分分析析 體重變化由體內能量守恒破壞引起體重變化由體內能量守恒破壞引起 飲食（吸收熱量）引起體重增加飲食（吸收熱量）引起體重增加 代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少 體重指數體重指數BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.模型假設模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量）體重增加正比于吸收的熱量每每8000千卡增加體重

30、千卡增加體重1千克；千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重）代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗每周每公斤體重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而異因人而異), 相當于相當于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關；形式有關； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。千卡。某甲體重某甲體重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡熱

31、量，千卡熱量，體重維持不變。現欲減肥至體重維持不變。現欲減肥至75千克。千克。第一階段：每周減肥第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（少，直至達到下限（10000千卡）；千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標 2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。）給出達到目標后維持體重的方案。)()1()()1(kwkck

32、wkw千卡）千克 /(80001 確定某甲的代謝消耗系數確定某甲的代謝消耗系數即每周每千克體重消耗即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)體重體重c(k) 第第k周吸收熱量周吸收熱量 代謝消耗系數代謝消耗系數(因人而異因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不變千克不變wcww025. 0100800020000wc 第一階段第一階段: w(k)每周減每周減1千克千克, c(k)減至下限減至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 )() 1()