1、精選優質文檔-傾情為你奉上在輔助圓問題中，我們了解了求關于動點最值問題的方式之一求出動點軌跡，即可求出關于動點的最值本文繼續討論另一類動點引發的最值問題，在此類題目中，題目或許先描述的是動點P，但最終問題問的可以是另一點Q，當然P、Q之間存在某種聯系，從P點出發探討Q點運動軌跡并求出最值，為常規思路一、軌跡之圓篇引例1：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關系？考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻

2、，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2【小結】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，由Q為AP中點可得：AM=1/2AOQ點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放根據動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系；根據動點之間的數量關系分析軌跡圓半徑數量關系引例2：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQAP且AQ=AP考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？ 【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓接下來確定圓心與半徑考慮APAQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AMAO；考慮AP

3、=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO即可確定圓M位置，任意時刻均有APOAQM引例3：如圖，APQ是直角三角形，PAQ=90°且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？【分析】考慮APAQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AMAO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1即可確定圓M位置，任意時刻均有APOAQM，且相似比為2【模型總結】為了便于區分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”此類問題的必要條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）

4、【結論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：PAQ=OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關系相當于旋轉+伸縮古人云：種瓜得瓜，種豆得豆“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”【思考1】：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為一邊作等邊APQ考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】Q點滿足（1）PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q點軌跡是個圓：考慮PAQ=60°，可得Q點軌跡圓圓心M滿足MAO=60°

5、；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO即可確定圓M位置，任意時刻均有APOAQM【小結】可以理解AQ由AP旋轉得來，故圓M亦由圓O旋轉得來，旋轉角度與縮放比例均等于AP與AQ的位置和數量關系【思考2】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角APQ考慮：當點P在圓O上運動時，如何作出Q點軌跡？【分析】Q點滿足（1）PAQ=45°；（2）AP:AQ=：1，故Q點軌跡是個圓連接AO，構造OAM=45°且AO:AM=：1M點即為Q點軌跡圓圓心，此時任意時刻均有AOPAMQ即可確定點Q的軌跡圓【練習】如圖，點P（3,4）

6、，圓P半徑為2，A（,0），B（,0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_【分析】M點為主動點，C點為從動點，B點為定點考慮C是BM中點，可知C點軌跡：取BP中點O，以O為圓心，OC為半徑作圓，即為點C軌跡當A、C、O三點共線且點C在線段OA上時，AC取到最小值，根據B、P坐標求O，利用兩點間距離公式求得OA，再減去OC即可【2016武漢中考】如圖，在等腰RtABC中，AC=BC=，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為_【分析】考慮C、M、P共線及M是CP中點，可確定M點軌跡：取AB中點O，連接CO取CO中點D，以D

7、為圓心，DM為半徑作圓D分別交AC、BC于E、F兩點，則弧EF即為M點軌跡當然，若能理解M點與P點軌跡關系，可直接得到M點的軌跡長為P點軌跡長一半，即可解決問題【2018南通中考】如圖，正方形ABCD中，O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE、CF求線段OF長的最小值【分析】E是主動點，F是從動點，D是定點，E點滿足EO=2，故E點軌跡是以O為圓心，2為半徑的圓考慮DEDF且DE=DF，故作DMDO且DM=DO，F點軌跡是以點M為圓心，2為半徑的圓直接連接OM，與圓M交點即為F點，此時OF最小可構造三垂直全等求線段

8、長，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值【練習】ABC中，AB=4，AC=2，以BC為邊在ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點O，則線段AO的最大值為_【分析】考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定AB，將AC看成動線段，由此引發正方形BCED的變化，求得線段AO的最大值根據AC=2，可得C點軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓接下來題目求AO的最大值，所以確定O點軌跡即可，觀察BOC是等腰直角三角形，銳角頂點C的軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓，所以O點軌跡也是圓，以AB為斜邊構造等腰直角三角形，直角頂點M即為點O軌跡圓圓心連接AM并延長與圓M交點即為所求的點

9、O，此時AO最大，根據AB先求AM，再根據BC與BO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO，相加即得AO此題方法也不止這一種，比如可以如下構造旋轉，當A、C、A共線時，可得AO最大值或者直接利用托勒密定理可得最大值二、軌跡之線段篇引例：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？【分析】當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線【引例】如圖，APQ是等腰直角三角形，PAQ=90°

10、;且AP=AQ，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？【分析】當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段【模型總結】必要條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）結論：P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于PAQ（當PAQ90°時，PAQ等于MN與BC夾角）P、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ（由ABCAMN，可得AP:AQ=BC:MN）【2017姑蘇區二模】如圖，在等邊ABC中，

11、AB=10，BD=4，BE=2，點P從點E出發沿EA方向運動，連結PD，以PD為邊，在PD的右側按如圖所示的方式作等邊DPF，當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是_【分析】根據DPF是等邊三角形，所以可知F點運動路徑長與P點相同，P從E點運動到A點路徑長為8，故此題答案為8【2013湖州中考】如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為的一個定點，ACx軸于點M，交直線y=-x于點N，若點P是線段ON上的一個動點，APB=30°，BAPA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是_【分析】根據PAB=90°，APB=30&

12、#176;可得：AP:AB=，故B點軌跡也是線段，且P點軌跡路徑長與B點軌跡路徑長之比也為，P點軌跡長ON為，故B點軌跡長為【練習】如圖，在平面直角坐標系中，A（-3,0），點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值【分析】求OP最小值需先作出P點軌跡，根據ABP是等邊三角形且B點在直線上運動，故可知P點軌跡也是直線取兩特殊時刻：（1）當點B與點O重合時，作出P點位置P1；（2）當點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時，作出P點位置P2連接P1P2，即為P點軌跡根據ABP=60°可知：與y軸夾角為

13、60°，作OP，所得OP長度即為最小值，OP2=OA=3，所以OP=【2019宿遷中考】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE=1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊EFG，連接CG，則CG的最小值為【分析】同樣是作等邊三角形，區別于上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點看成是由點B向點A運動，由此作出G點軌跡：考慮到F點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，初始時刻G點在位置，最終G點在位置（不一定在CD邊），即為G點運動軌跡CG最小值即當CG的時候取到，作CH于點H，CH即為所求的最小值根據模型可知：與AB

14、夾角為60°，故過點E作EFCH于點F，則HF=1，CF=，所以CH=，因此CG的最小值為三、軌跡之其他圖形篇所謂“瓜豆原理”，就是主動點的軌跡與從動點的軌跡是相似性，根據主、從動點與定點連線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可確定從動點的軌跡，而當主動點軌跡是其他圖形時，從動點軌跡必然也是【2016樂山中考】如圖，在反比例函數的圖像上有一個動點A，連接AO并延長交圖像的另一支于點B，在第一象限內有一點C，滿足AC=BC，當點A運動時，點C始終在函數的圖像上運動，若tanCAB=2，則k的值為（ ）A2B4C6D8【分析】AOC=90°且AO:OC=1:2，顯然點C

15、的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直x軸，垂足分別為M、N，連接OC，易證AMOONC，CN=2OM，ON=2AM，ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8【思考】若將條件“tanCAB=2”改為“ABC是等邊三角形”，k會是多少？【練習】如圖，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），點P是ABC邊上一動點，連接OP，以OP為斜邊在OP的右上方作等腰直角OPQ，當點P在ABC邊上運動一周時，點Q的軌跡形成的封閉圖形面積為_【分析】根據OPQ是等腰直角三角形可得：Q點運動軌跡與P點軌跡形狀相同，根據OP:OQ=，可得P點軌跡圖形與Q點軌跡圖形相似比為，故面積比為2:1，ABC面積為1/2×3×4=6，故Q點軌跡形成的封閉圖形