1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試題（A）專(zhuān)業(yè)、班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：題號(hào)一二二四五六七八九十一十二總成績(jī)得分、單項(xiàng)選擇題(每題3分共18分)1 . D 2. A 3. B 4, A5. A 6. B(1)(2)設(shè)隨機(jī)變量X其概率分布為則 PX 1.5()。(A)0.6(B) 1(C) 0X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4(D)(3)設(shè)事件A1與A2同時(shí)發(fā)生必導(dǎo)致事件A發(fā)生，則下列結(jié)論正確的是(A)P(A)P(A1A2)(B)P(A)P(A1)P(A2)1(C)P(A)P(A1 A2)(D)P(A)P(A1)P(A2)1(4)設(shè)隨機(jī)變量 XN( 3, 1), Y N(2, 1),且X與

2、Y相互獨(dú)立，令 Z X 2 Y 7,則 Z().(A) N(0, 5);(B) N(0, 3);(C) N(0, 46);(D) N(0, 54).(5)設(shè)X1X2， ,Xn為正態(tài)總體N(未知，則()是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量n(A)Xi22(B)1 1(C) X(D)2)的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中2n2 (Xi )i 1X設(shè)樣本Xi,X2, ,Xn來(lái)自總體XN(, 2), 2未知。統(tǒng)計(jì)假設(shè)為H0：0( 0已知)Hi：0。則所用統(tǒng)計(jì)量為()(A)U X7(B) T 上萬(wàn),nS nf1© 2 (n 1對(duì)zD 21 n2(C)2(D)2(Xi)i 1二、填空題(每空3分共15分)1 4. t(9)xex

3、 x 02 c1. P(B) 2. f (x), 3e 3.0x 0P(A),則 P(B|A)(1)如果 P(A 0, P(B) 0, P(AB)(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0, F(x) 1 (1x x)e x, x0, 0.則X的密度函數(shù)f(x)P(X 2)(3)XiX9(4)設(shè)總體X和Y相互獨(dú)立，且都服從N(0,1) , Xi,X2, X9是來(lái)自總體X的樣本，丫1,丫2, X是來(lái)自總體Y的樣本，則統(tǒng)計(jì)量服從 分布(要求給出自由度)。三、(6 分)設(shè) A, B 相互獨(dú)立，P(A) 0.7, P(A B) 0.88,求 P(A B).解： 0.88=P(A B) P(A) P(B) P(A

4、B)= P(A) P(B) P(A)P(B) (因?yàn)锳, B相互獨(dú)立).2分= 0.7 P(B) 0.7P(B)3 分則P(B) 0.6 .4 分P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B)0.7 0.7 0.6 0.28 6 分四、(6分)某賓館大樓有4部電梯，通過(guò)調(diào)查，知道在某時(shí)刻 T,各電梯在 運(yùn)行的概率均為0.7,求在此時(shí)刻至少有1臺(tái)電梯在運(yùn)行的概率。解：用X表示時(shí)刻T運(yùn)行的電梯數(shù)，則Xb(4, 0.7).2分所求概率P X 11 P X 04分1 C0(0.7)0(1 0.7)4=0.9919 .6 分五、xe(6分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)0,求隨機(jī)變量Y

5、=2X+1的概率密度。解：因?yàn)閥 2x 1是單調(diào)可導(dǎo)的，故可用公式法計(jì)算 .1分當(dāng)X 0時(shí)，Y 1 .2分y 11由 y 2x1, 得 x , x' 4 分22.5分從而Y的密度函數(shù)為fY(y).6分六、(8分)已知隨機(jī)變量X和Y的概率分布為X101Y01P111P1142422而且 P XY 0 1.(1)求隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布；(2)判斷X與Y是否相互獨(dú)立？解：因?yàn)镻 XY 01 ,所以P XY 00(1)根據(jù)邊緣概率與聯(lián)合概率之間的關(guān)系得出1V-10x011400121 40121214124(2)因?yàn)?P X0,Y00 P X0 P Y一C 1102 214.4分所以 X與

6、Y不相互獨(dú)立七、(8分)設(shè)二維隨機(jī)變量(Xf (x, y)求：(1) P(0 X 1,0 Y解：(1) P(0 X1,0 Y 2)1 3x 2 4y .0 3e dx 04e dy=1 e31 e8(2)fx(x)12e (3x4y)dy3e3x x 00 x 0,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為12e (3x 4y), x 0,y 0,0,其他.2) ; (2)求X的邊緣密度。1 2dx 12e (3x 4y)dy .2 分003x 1 4y 2e 0 e 0.4分.6 分.8 分八、（6分）一工廠(chǎng)生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命 X （以年計(jì)）服從參數(shù)為1的指數(shù)分 4布。工廠(chǎng)規(guī)定，出售的設(shè)備在售出一年之內(nèi)損壞可予

7、以調(diào)換。 若工廠(chǎng)售出一臺(tái)設(shè) 備盈利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠(chǎng)方需花費(fèi)300元，求工廠(chǎng)出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利的 期望。解:因?yàn)閄 e(1)4得 f (x).2分用Y表示出售一臺(tái)設(shè)備的凈盈利100 Y100 300所以P(Y100)200EY1164dxx14 .-e 4dx41100 e 4200) (11e 4).4分1300e 4 20033.64 (元).6分九、(8分)設(shè)隨機(jī)變量X與Y的數(shù)學(xué)期望分別為2和2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)為 0.5,求E(2X Y), D(2X Y)。解：已知 EX 2, EY 2, DX 1, DY 4, XY 0.5則 E(2X Y) 2EX EY 2 (

8、2) 26.4 分D(2X Y) D(2X) DY 2cov(2X,Y).5 分2DX DY 4 cov( X, Y).6 分2DX DY 4VDXVDY xy=12 .8 分十、（7分）設(shè)供電站供應(yīng)某地區(qū)1 000戶(hù)居民用電，各戶(hù)用電情況相互獨(dú)立。已 知每戶(hù)每日用電量（單位：度）服從0, 20上的均勻分布，利用中心極限定 理求這1 000戶(hù)居民每日用電量超過(guò)10 100度的概率。（所求概率用標(biāo)準(zhǔn)正 態(tài)分布函數(shù)（x）的值表示）.解：用Xi表示第i戶(hù)居民的用電量，則XiU 0,20_20 20（20 0）100今EX i 10 DX i 2萬(wàn)2 1231000則1000戶(hù)居民的用電量為X Xi,

9、由獨(dú)立同分布中心極限定理i 1P X 101001 P X 101003 分X 1000 P 1010100 1000 10100、100031001000310100 1000 10()1001000 13.6分卜一、（7 分）設(shè) Xi,X2,4是取自總體X的一組樣本值,X的密度函數(shù)為其中 0未知，求解：最大似然函數(shù)為、（1）xf （x）0,的最大似然估計(jì),0x1, 其他，nL(Xi, Xn, ) f (Xi)i 1(1)Xi.2分=(1)n(X1,Xn)In L(xi,xn, ) nln( 1)ln(xi,Xn)0 Xi, Xn 1 .4分a d In L n令 ln(x1,xn) 0.5 分d1于是的最大似然估計(jì)：lnln(xi,xn)十二、(5分)某商店每天每百元投資的利潤(rùn)率 X N( ,1)服從正態(tài)分布，均值為,長(zhǎng)期以來(lái)方差2穩(wěn)定為1,現(xiàn)隨機(jī)抽取的100天的利潤(rùn)，樣本均值為x 5,試求 的置信水平 為95%的置信區(qū)間。