1、海上緝私問題建模 題目二組別：第五組組長：練佳翔組員：邵 力組員：龐雪梅海上緝私問題摘要針對海上緝私問題，要求出緝私船是否能追上走私船，或著是求緝私艇追上走私船的位置和時間，就需要知道走私船和緝私艇的位置坐標、大概的行駛路線、及二者的速度。對于走私船和緝私艇的位置坐標，可以由二者的行駛路線 、速度、行駛時間之間的關系得到。而走私船和緝私艇的位置坐標，可用三角函數、坐標關系、圓的位置關系求解。當緝私船追上走私船時，走私船和緝私艇的位置坐標相同，即二者的橫坐標相等，縱坐標相等。在此期間，再加以MATLAB軟件進行求解。關鍵字： 海上緝私 位置坐標 速度 MATLAB軟件問題重述分別對以下情況建立緝

2、私船的位置和航線的數學模型，自己設定速度等參數，求數值解：(1) 走私船向正東方向非勻速直線行駛，其速度按正弦規律變化，如圖1已知緝私船以速度勻速追擊，（為常數），兩船初始距離圖1(2) 兩船速度大小都不變，走私船以速度沿著與正東方向成角的直線行駛，如圖2已知緝私船的速度，兩船初始距離取與，求數值解，并說明走私船按哪個角度逃跑較快？圖2(3) 兩船速度大小都不變，走私船以速度沿半徑為的圓弧向點逃跑，現有兩種方案，如圖3問兩種方案是否都能到達點？已知圓弧半徑，緝私船的速度，兩船初始距離方案1方案2圖3(4)兩船速度都大小不變，走私船以速度先向正東方向直線行駛，一段時間（設尚未被緝私船追上）后改變

3、方向，沿著與正東方向成角的直線行駛，如圖4已知緝私船的速度，兩船初始距離取，求數值解圖4(4) (5) 開始兩船速度大小都不變，走私船以速度向正東方向沿直線行駛，但當兩船距離小于時，緝私船會發現被人追擊，將沿正北方向以速度加速逃跑，如圖5已知，緝私船的速度，兩船初始距離，求數值解圖5(6) 實際在追擊時，緝私船速度方向的改變并不連續，每隔時間變換一次角度，在兩次變換之間，緝私船按直線運動若兩船速度大小都不變，走私船以速度向正東方向沿直線行駛，（海里/小時），緝私船的速度（海里/小時），兩船初始距離（海里），（秒）試畫出緝私船的航線圖，建立此時的追擊模型，比較與之前模型有何不同，并求數值解問題分

4、析 問題一：要確定緝私船追上走私船的位置及時間，就必須確定緝私船、走私船的坐標。走私船的速度按正弦規律變化并向正東行駛，因此走私船的位移即向東行駛的距離可以用與坐標軸圍成的面積表示。而緝私艇的坐標設為，再用緝私艇與走私船之間的位置關系，得出，的表達式。再根據兩者坐標即可算出結果。問題二：走私船以速度沿著與正東方向成角的直線行駛。根據走私船的起始點與角的位置關系，及走私船的速度，可以算出走私船坐標。而緝私艇的坐標設為，再用緝私艇與走私船之間的位置關系，得出，的表達式。再根據兩者坐標即可算出結果。問題三：由于走私船的行駛軌跡是圓弧，所以可以利用圓弧與所對圓心角的關系得出走私船的坐標的值。而緝私艇的

5、坐標設為，再用緝私艇與走私船之間的位置關系，得出，的表達式。再根據兩者坐標即可算出結果。模型假設（1） 在整個追趕攔截的過程中，緝私船和走私船都不會有故障發生導致船不能正常行駛，在海上沒有發生因為天氣突然發生變化阻礙船前行的情況。（2） 走私船的行駛速度一直是呈正弦規律變化，緝私船一直是勻速前行。（3） 建立直角坐標系，在緝私船發現走私船時計時（t=0），設此時走私船的位置在（0，c），緝私船位置在（0，0）。（4） 設在任意時刻緝私船的坐標（x，y），走私船到達Q（at，c）點，直線PQ與緝私船航線相切，切線PQ與y軸正方向夾角為（5） 設常數d=20，緝私船b=1.5d=30海里/小時，初

6、始距離c=2d=40海里符號定義1、任意時刻緝私船的坐標（x，y）2、走私船到達Q（at，c）點3、切線PQ與y軸正方向夾角為4、初始位置c5、緝私船速度b6、走私船速度a7、走私船行駛t時間的路程k模型建立與求解模型一：模型建立：（1）根據題目所給走私船的速度的圖，可以求解出速度的表達式： 走私船的位移即向東行駛的距離可以用與坐標軸圍成的面積表示如下：又因為走私船從處向正東行駛，因此走私船在時刻的位置在：（2）緝私船的速度，兩船的初始位置c=2d。緝私船在x，y方向是速度分別為 得到微分方程：初始條件為：，模型求解：用MATLAB求數值解，可得結果如圖所示。圖1.1 x（t），y（t）曲線圖

7、1.2 y（x）曲線模型二模型建立：( 1 )走私船以速度沿著與正東方向成角的直線行駛，時間t時走私船的行駛距離為根據角的三角函數關系可以得出，時間t時走私船的位置： （2）緝私船的速度，兩船的初始位置c=2d。緝私船在x，y方向是速度分別為 得到微分方程：初始條件為：，（3）把與代入（1）中分別得出走私船的坐標模型求解 當 時當時模型三模型建立：根據我們的觀測，方案一的走私船不能夠到達p點又因為輯私船在x，y方向的速度分別為， 既需求sink和cosk(1) 已知圓弧半徑，緝私船的速度，兩船初始距離(2)假設走私船和輯私船在t時在在坐標軸上的點為z（m，n） q（x，y），通過船經過的圓心角

8、度p來表示點zP=a*t*360/(2*pi*r)r =a p= 180*t/pim=a-a*cos(p)n=0.8*a+a*sin(p)(3)zp連線與水平的夾角設為k，構成一個三角形，需求三邊，根據兩座標，可得，兩直角邊為a-a*cos(p)-x和0.8*a+a*sin(p)-y，勾股定理得第三邊為（4）編程時記x（1）=x, x(2)=y, x=(x(1),x(2),a=20方案一如下：緝私船在方向的速度分別為。在方案二如下：緝私船在方向的速度分別為。點的坐標為即為從兩張初值表中可看出，走私船按照方案一逃跑在點處就被抓到了，而按照方案二逃跑則是在點處被抓。所以按照方案一不可能到達點，按方

9、案二可以到達點模型四走私船速度與時間的關系海里/小時緝私船以速度勻速追擊 海里/小時模型建立建立判斷模型：此模型用于確定走私船在何時改變方向利用數學軟件matlab求得數值解知道（見附件四（1），若是走私船一直沿著正東方向逃跑，緝私船需要4.1小時才可追上走私船。因此我們在建立航線模型時假設走私船在小時時改變航向建立航線模型緝私船在方向的速度分別為 從數值解中，可以得知在該種情況下，緝私船在發現走私船開始追擊走私船需要3.9小時才可以追上走私船。參考文獻1 陳笑緣、張國勇.數學建模.杭州：中國財政經濟出版社，2011.1附件第一題function dx=js(t,x) d=

10、20;b=1.5*d;c=2*d;k=-5*cos(t/5)+20*t+5;s=sqrt(k-x(1)2+(c-x(2)2);dx=b*(k-x(1)/s;b*(c-x(2)/s;>> ts=0:0.05:2.8;>> x0=0,0;>> options=odeset('reltol',1e-6,'abstol',1e-9);>> t,x=ode45(js,ts,x0,options);>> d=20;b=1.5*d;c=2*d;>> plot(t,x(:,1),'-',t,

11、x(:,2),'-'),grid>> ts=0:0.05:2.8;>> x0=0,0;>> options=odeset('reltol',1e-6,'abstol',1e-9);>> t,x=ode45(js,ts,x0,options);>> d=20;b=1.5*d;c=2*d;>> zx=-5*cos(t/5)+20*t+5;>> zy=c*ones(length(t),1);plot(

12、t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'-'),gridpause,plot(zx,zy,x(:,1),x(:,2),grid 0     0       0    40.0000      0    0.0500    0.7500    0.0299

13、0;  41.2990    2.3998    0.1000    1.5000    0.1194   42.5981    4.7980    0.1500    2.2500    0.2678  &#

14、160;43.8971    7.1934    0.2000    3.0000    0.4745   45.1962    9.5844    0.2500    3.7500    0.7385   46.495

15、2   11.9698    0.3000    4.5000    1.0591   47.7942   14.3482    0.3500    5.2500    1.4351   49.0933   1

16、6.7185    0.4000    6.0000    1.8655   50.3923   19.0796    0.4500    6.7500    2.3488   51.6913   21.4303  &#

17、160; 0.5000    7.5000    2.8839   52.9904   23.7699    0.5500    8.2500    3.4693   54.2894   26.0974    0.6000

18、0;   9.0000    4.1034   55.5885   28.4120    0.6500    9.7500    4.7847   56.8875   30.7132    0.7000   10.500

19、0    5.5115   58.1865   33.0005    0.7500   11.2500    6.2821   59.4856   35.2734    0.8000   12.0000    7.094

20、8   60.7846   37.5316    0.8500   12.7500    7.9476   62.0836   39.7749    0.9000   13.5000    8.8388   63.3827

21、0;  42.0033    0.9500   14.2500    9.7664   64.6817   44.2167    1.0000   15.0000   10.7285   65.9808   46.4155  &#

22、160; 1.0500   15.7500   11.7230   67.2798   48.5997    1.1000   16.5000   12.7479   68.5788   50.7698    1.1500   17.250

23、0   13.8011   69.8779   52.9264    1.2000   18.0000   14.8805   71.1769   55.0699    1.2500   18.7500   15.9839  &#

24、160;72.4760   57.2012    1.3000   19.5000   17.1090   73.7750   59.3212    1.3500   20.2500   18.2534   75.0740   61.4307

25、0;   1.4000   21.0000   19.4149   76.3731   63.5309    1.4500   21.7500   20.5906   77.6721   65.6232    1.5000  &#

26、160;22.5000   21.7778   78.9711   77.7090    1.5500   23.2500   22.9733   80.2702   79.7901    1.6000   24.0000   24.0000

27、0;  81.5692   81.5692    1.6500   24.7500   24.7500   82.8683   82.8682    1.7000   25.5000   25.5000   84.1673   8

28、4.1673    1.7500   26.2500   26.2500   85.4663   85.4663    1.8000   27.0000   27.0000   86.7654   86.7654    1.8500

29、0;  27.7500   27.7500   88.0644   88.0644    1.9000   28.5000   28.5000   89.3634   89.3634    1.9500   29.2500   2

30、9.2500   90.6625   90.6624    2.0000   30.0000   30.0001   91.9615   91.9615第二題function dx=js(t,x)a=30;b=1.6*a;c=a;d=5/36*pi;s=sqrt(a*t*cos(d)-x(1)2+(a*t*sin(d)+c-x(2)2);dx=b*(a*t*cos(d)-x(1

31、)/s;b*(a*t*sin(d)+c-x(2)/s;>> ts=0:0.05:2;>> x0=0,0;>> options=odeset('reltol',1e-6,'abstol',1e-9);>> t,x=ode45(js,ts,x0,options);>> a=30;>> b=1.6*a;>> c=a;>> d=5/36*pi;>> zx=a*t*cos(d);>> zy=(c+a*t*sin(d).*ones(length(t),1)

32、;>> t,zx,x(:,1),zy,x(:,2)tzt0003000.051.35950.055130.63392.39920.12.71890.222831.26794.79310.154.07840.506731.90187.1760.25.43780.909932.53579.54160.256.79731.434833.169611.88320.38.15682.082933.803614.19370.359.51622.85534.437516.46580.410.87573.750935.071418.6920.4512.23524.76935.705320.8650.513.59465.907136.339322.97770.5514.95417.161436.973225.02350.616.31358.527337.607126.99650.6517.6739.999138.241128.89180.719.032511.570438.87530.70560.7520.391913.233939.508932.43520.821.751414.981940.142834.07930.8523.110816.806640.776835.6380.924.470318.699841.410737.1128