1、北京市朝陽區2015-2016學年度高三年級第一學期期中統一考試數學試卷（理工類）2015.11（考試時間120分鐘 滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出 符合題目要求的一項.1 .已知集合 A = xk«3,X£R, B = x|x-l>0,xeN),則 AC|8=()A. 0,1 B. 0,1,2C. 2,3 D. 1,2,332 .已知。£(0,冗)，且 cosc =丁則 tana=()A. -B. -C. -D

2、.-44333 .己知等差數列%的公差為2,若q, %, %成等比數列，那么叫等于()A. 2B. 1C. -1D. -24 .給出下列命題：若給定命題：小eR,使得/+工一1<0,則：均有i+x - izo：若“人為假命題，則國均為假命題：命題“若小 -3x + 2 = 0,則x = 2”的否命題為“若/3% + 2 = 0,則"2,其中正確的命題序號是（）A.B. C. D.5 .已知函數/（x） = Asin3x + 8）（xeR, A>0,3>0,圖<四）的圖象（部分）如圖所示，則2f(x)的解析式是()A. /(x) = 2sin(7L¥

3、+ -) 6JTB. f(x) = 2sin(2iL¥ + )6C. f(x) = 2sin(jtv + ) 3ITD. f(x) = 2sin(2)L¥ + )2 t _ 6 .設p： -一<0, 小/一(2" + 1口 +。(。+ 1)<0,若是夕的充分不必要條件，則實 x-1數的取值范圍是()A. (0,1) B. 0i) C.(olD. 11)乙乙乙乙7.在A43C中，已知A莊A = 4, |而| = 3, M,N分別是8c邊上的三等分點，則而 病的值是21A. 5B. C. 6D. 84IF + 2 xw0 1)8 .已知定義在R上的函數/。

4、)='； -" 且/* + 2) = /(x).若方程2 -廠,x e -1,0),/(X)-日-2=0有三個不相等的實數根，則實數的取值范圍是()A. (i 1) B.(-：.-：) C. (l)U(l,D.(一:，一：川(；,：)第二部分(非選擇題 共110分)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.9 .已知三個數(L)”og2 3og2兀，其中最大的數是.210 .已知平而向量 = (2,1),方二(-1,3).若向量a，( + 4<),則實數幾的值是11 .如圖，在口A38中，石是CO中點，BE = xAB + yAD , 則 x

5、 + y =.12 .若函數 /'(x) = 2sin(5 + 0)(oWO,9>O)是偶函數，則夕的最小值為13 .若函數/(幻="-si”.在區間(2二)上單調遞增，則實數。的取值范圍是cosx6 314 .如圖，己知邊長為4的正方形ABC。，E是8C邊上一動點(與8、。不重合)，連結AE,作E凡LAE交N8CO的外角平 分線于F.設BE = x, id/(A)= EC-CF,則函數/*)的值域 是：當A£C戶面積最大時，|喬卜.三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15 .（本小題滿分13分）已知函數 f （x）

6、= 25/3 sin -cos - - 2cos2 -. 222（I）求/（£）的值;（II）求函數f（x）的單調遞減區間及對稱軸方程.16 .（本小題滿分13分）已知等差數列丐的首項6=1,公差d = l,前項和為S“，且a=（I）求數列他,的通項公式：（II ）求證：+ % + 4 +2< 2.17 .（本小題滿分13分）在A4BC中，角A,昆C所對的邊分別為a,A,c.且cos8 = -L2（I ）若“=2,）=2白，求角C ；（II ）求sin A sin C的取值范圍.18 .（本小題滿分13分）廠已知函數 f（x） = alnx + -（a + ）x .2（I）當&

7、gt;0時，求函數/（X）的單調區間;（II）當 =1 時，證明/'（X）ZL.19 .(本小題滿分14分)已知函數/(x) = eT(ad+x + i)(其中是常數，rt0, beR),函數/(x)的導 函數為了'(X),且/'(-1) = 0.(I)若。=1,求曲線)，=/(x)在點(0,/(0)處的切線方程：(II)當 時，若函數在區間-U上的最大值為4e,試求的值.20 .(本小題滿分14分)已知實數數列“滿足：勺+2 =&+=)，/ =。,。2 =人，記集合M=qlwN)(1)若。=1力=2,用列舉法寫出集合M；(U)若“。/ 。，判斷數列%是否為周期

8、數列，并說明理由：(HI)若且n+bwO,求集合M的元素個數的最小值.北京市朝陽區2015-2016學年度高三年級第一學期期中統一考試數學答案（理工類）2015.11一、選擇題：（滿分40分）題號12345678答案DDAAABCC二、填空題：（滿分30分）題號91011121314答案log?兀-52n22,)(0,42#（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答題：（滿分80分）15.（本小題滿分13分）解：f(x) = 2>/3sinX X 2 Xcos 2 cos = Gsinx-cosx-l4分= 2sin(x一口)- L 6(1) /(-) = 2sin-l = 0

9、.36(II)由2攵兀+工Wx二«2女兀十處得 2622kn + <x<2kn + (keZ). 33所以函數f（x）的單調遞減區間是即 +?如 +草伏兇.10分令1-4 = 冗+工得x = &兀+空伙eZ).623所以函數/（%）的對稱軸方程是工=&冗+烏（AeZ）. 16.（本小題滿分13分）解：（【）因為等差數列，“中，4=1,公差1 = 1,所以 S = na + -a =- 222貝血=3ir +n22因為叱"TE/?(/? + 1)所以4 + bf + 4 + /? = 2(+,+1x2 2x3 3x4因為0一1, + 1所以 +2

10、+仇 + 2.3 分1£/I17.(本小題滿分13分)(I)在24BC 中，因為cos5 = -L,又3£(0.兀)， 2所以8 =空，且sin3 = .32由正弦定理，_sin A sin 3可得上=¥，則sinA = 1.sin A y/32T36所以C = N.6分6又因為8 =三，所以A = E.(II) sin A sinC = sin(Q sinC 3=(?cos C - ；sin C)- sin C=-sin2C + -cos2C-444= lsin(2C + -)-l26 47T因為 Ce(O,),所以 2C + Jejr).66 6所以 sin(

11、2C+ 3 £ (Li.62則sin A sinC的取值范圍是(0'.13分418.(本小題滿分13分)解：函數的定義域為(0,+8),。/1、 x2 -(a + )x + a (x-l)(x-«)一八/ (x) = + x-(6/ + l) = -.2 分x(I) ( 1)當 Ovavl 時，因為 x>0,令/'(x)>0 得 x>l 或 Ovxvc/,令 f'M < 0 得。vxvl,所以函數/(x)的單調遞增區間是(04)和(1,+S)，單調遞減區間是(/), (2)當。=1時，因為x>0,所以成立.函數/(X)的

12、單調遞增區間是(0,+s).(3)當時，因為x>0,令/'(x)>0 得或Ovxvl,令 J'(x) V。得1 VX V。，所以函數/(刈的單調遞增區間是(。,1)和(凡+8),單調遞減區間是(1,0.7分/ ir、W. r r / i 廠 /，/ 1r1 (X + 1)(A- 1)(II)當 =1 時，/(x) = -lnx + 一 , J (x) = - + % =.2xxx令/''(x) = 0 得x = l 或x = l (舍).當x變化時，/(x),r(x)變化情況如下表：X(0,1)1(1*)f'(x)0+fM極小值/所以x =

13、l時，函數/(X)的最小值為/(1) = -.2所以/(x) 2 成立.13分219.(本小題滿分14分)解：因為 f (x) = e-v(ax2 +bx + ),所以 fx) = cx(-ax2 +(2a-b)x + h-Y).因為/'(- 1) =。，所以一。一(2。一。) + -1 = 0,即 2/? = 3。+ 1. 2分(I)當。=1 時，b = 2.又/(0) = "(0) = 1,所以曲線”X)在點(0, /(0)處的切線方程為y -1 = 1。- 0).即x-y + l=O.5 分(II )由已知得/(%) =已7(內2 +1).2所以廣*)=已-一以2+(2

14、4一£口 + 2-1 =-x(x + )2ax-(3a-).3 1因為。> 0, ff(x)=e'r(x + )2cix一(3 - 1)= 一(忙一'(x +1)(% ). 2laQ 1因為> 一,所以>-1.5 2a31311令/(X)= -«e"T(x+l)(x-) >。得，-1 <x V ：2a2a3a - 13u 1令 f'W = r (x + l)(x - ) <0 得，x<-1bJcx> .2a2a3fj 13a 1所以函數/(X)在(-1,旦)上單調遞增，在(-8,-1)和(V,

15、XQ)上單調遞減.2a2a3a 1若N1,即時，函數八x)在區間一1,1上單調遞增. 2a所以函數八x)在區間1,1上的最大值為/= ( +'上+ l) = 4e.e 2Qe2 _ Q1 Oe2 _ O解得。=一顯然符合題意.此時”b=:.一若名二！i,即時，2a53 一 13 一 1函數f(x)在(-1,)上單調遞增，在(')上單調遞減.2a2a3r/-l9d - 9-1 -所以函數x)在區間上的最大值為/()= e 2。= 2a 22I2 9 一 113又因為所以二<<4, -1< -<1.5522a 21 3 所以e" <e2n 2

16、 <e所以二2<4e.5e 2不滿足函數/(x)在區間上的最大值為4e.8e2 -31?e2 -2綜上所述，。=必一一，b = 一土為所求. 14分5520.(本小題滿分14分) 解：(I ) M =1,2-10).2 分(II)因為<0力<0, 口短 T%-1 伽= 1,2,),所以數列的前 11 項分別為：a,b,a ba 2b,b, a + ba2a ba b, a, b . 所以"io =“, = a2=b .又因為“+2 =la”+il%5 = l,2-），所以數列中0至8依次重復修至“9，以此類推，于是，對任意正整數，有勺+9 =%，%+U）=冊+1，所以9是數列%的周期.使/ = ,+7,% = a2+T成立的最小T = 9.8分（IH）對ab分情