1、第五章 梁彎曲時(shí)的位移位移的度量1 梁的位移-撓度及轉(zhuǎn)角撓度轉(zhuǎn)角撓曲線撓曲線 梁變形后各截面梁變形后各截面形心的連線形心的連線ClFABCCABBxy撓度向下為正，向上為負(fù)撓度向下為正，向上為負(fù).轉(zhuǎn)角繞截面中性軸順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，轉(zhuǎn)角繞截面中性軸順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。2 梁的撓曲線近似微分方程及積分ZEIxM)(13222)(11dxddxdZEIxMdxddxd)()(13222ZEIxMdxd)(22xoyMM022dxydZEIxMdxd)(22xoyMM022dxydZEIxMdxd)(22梁撓曲線近似微分方程1)(CdxEIxMdxdZ21)(CxCdxdxEIxMZ

2、ZEIxMdxd)(22CCABBxy在小變形情況下，任一截面的轉(zhuǎn)角等于撓曲線在該截面處的切線斜率。dxd tan通過積分求彎曲位移的特征：1、適用于細(xì)長梁在線彈性范圍內(nèi)、小變形情況下的對(duì)稱彎曲。2、積分應(yīng)遍及全梁。在梁的彎矩方程或彎曲剛度不連續(xù)處，其撓曲線的近似 微分方程應(yīng)分段列出，并相應(yīng)地分段積分。3、積分常數(shù)由位移邊界條件確定。積分常數(shù)積分常數(shù)C C1 1、C C2 2由邊界條件確定由邊界條件確定0 xLx 0 x0Xy0Xy00A 求圖所示懸臂梁A端的撓度與轉(zhuǎn)角。xyxAlABFFxxM1)(CdxEIxMdxdZ1CFxdxdxdEIz2122CxCdxFxEIz2136CxCFxE

3、Iz122CFxEIz邊界條件Lx 0BzEIFLC221Lx 0BzEIFLC332zzEIFLEIFx2222zzzEIFLxEIFLEIFx3263230 xzAEIFL22zAEIFL33 求圖所示懸臂梁B端的撓度與轉(zhuǎn)角。lABxyx 221xLqxM 221xLqxMEIz 1361CxLqEIEIzz214241CxCxLqEIz邊界條件0 x0zEIqLC6310 x0zEIqLC2432336LxLEIqz434424LxLxLEIqzLx zBEIqL63zBEIqL84 求圖示簡支梁在集中荷載F的作用下（F力在右半跨）的最大撓度。xxyxlFBAbaCLFbLFa xLFb

4、xM1ax 0 axFxLFbxM2LxaAC段 xLFbxMEIz 111212CxLFbEIz11316DxCxLFbEIzCB段 axFxLFbxMEIz 222222212CaxFxLFbEIz22332616DxCaxFxLFbEIz0 x 00 Lx 0L01Dax aa21 aa21222132122CaaFaLFbCaLFb21CC 22331136166DaCaaFaLFbDaCaLFb21DD 0616233LCaLFLLFbLEIZ22216bLLFbCCLbLFbxLFbEIz622221xLbLFbxLFbEIz662231LbLFbaxFxLFbEIz6212222

5、22xLbLFbaxFxLFbEIz661622332 求圖示簡支梁在集中荷載F的作用下（F力在右半跨）的最大撓度。xxyxlFBAbaCLFbLFaLbLFbxLFbEIz622221xLbLFbxLFbEIz662231LbLFbaxFxLFbEIz621222222xLbLFbaxFxLFbEIz661622332最大轉(zhuǎn)角0 0 xM0 xLx LEIbLFbzA622LEIbLFabz6LbLFbaLFLLFbEIBz62122222LEIaLFabzB6力靠近哪個(gè)支座，哪邊的轉(zhuǎn)角最大。最大撓度0令x=aLbLFbaLFbEICz62222LbaFabC3轉(zhuǎn)角為零的點(diǎn)在AC段06222

6、20LbLFbxLFb3220bLxLb21Lx2100bLx330L577. 0一般認(rèn)為梁的最大撓度就發(fā)生在跨中畫出撓曲線大致形狀。圖中C為中間鉸。AF兩根梁由中間鉸連接，撓曲線在中間鉸處，撓度連續(xù)，但轉(zhuǎn)角不連續(xù)。2121FBAqCLzEIa 用積分法求圖示各梁撓曲線方程時(shí),試問下列各梁的撓曲線近似微分方程應(yīng)分幾段;將分別出現(xiàn)幾個(gè)積分常數(shù),并寫出其確定積分常數(shù)的邊界條件撓曲線方程應(yīng)分兩段AB,BC.共有四個(gè)積分常數(shù)ax 0BLax0Cxy邊界條件連續(xù)條件ax 21BB21BB 用積分法求圖示各梁撓曲線方程時(shí),試問下列各梁的撓曲線近似微分方程應(yīng)分幾段;將分別出現(xiàn)幾個(gè)積分常數(shù),并寫出其確定積分常

7、數(shù)的邊界條件2lBAqC2lzEIkxy撓曲線方程應(yīng)分兩段AB,BC.共有四個(gè)積分常數(shù)0 x0ALx kFcC邊界條件連續(xù)條件2Lx21BB21BBkqL8 用積分法求圖示各梁撓曲線方程時(shí),試問下列各梁的撓曲線近似微分方程應(yīng)分幾段;將分別出現(xiàn)幾個(gè)積分常數(shù),并寫出其確定積分常數(shù)的邊界條件A2L1zEI2zEIFBC2Lxy撓曲線方程應(yīng)分兩段AB,BC.共有四個(gè)積分常數(shù)0 x0A0A邊界條件連續(xù)條件2Lx21BB21BBLABCqZEIEAL1全梁僅一個(gè)撓曲線方程共有兩個(gè)積分常數(shù)0 x0ALx BCBL邊界條件EAqLL21 用積分法求圖示各梁撓曲線方程時(shí),試問下列各梁的撓曲線近似微分方程應(yīng)分幾段

8、;將分別出現(xiàn)幾個(gè)積分常數(shù),并寫出其確定積分常數(shù)的邊界條件xyAaLBCeMzEI 用積分法求圖示各梁撓曲線方程時(shí),試問在列各梁的撓曲線近似微分方程時(shí)應(yīng)分幾段;將分別出現(xiàn)幾個(gè)積分常數(shù),并寫出其確定積分常數(shù)的邊界條件撓曲線方程應(yīng)分兩段AB,BC.共有四個(gè)積分常數(shù)0 x0A0A邊界條件連續(xù)條件ax21BBxyLax0C3 按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角疊加法計(jì)算位移的條件：疊加法計(jì)算位移的條件：1 1、梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形是微小的；、梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形是微小的；2 2、材料在線彈性范圍內(nèi)工作，梁的、材料在線彈性范圍內(nèi)工作，梁的位移與荷載呈線性關(guān)系；位移與荷載呈線性

9、關(guān)系；3 3、梁上每個(gè)荷載引起的位移，不受、梁上每個(gè)荷載引起的位移，不受其其他荷載的影響他荷載的影響。 2lFBAqC2lzEI 試用疊加原理求圖示彎曲剛度為EIz的簡支梁的跨中截面撓度c和梁端截面的轉(zhuǎn)角AB.2lBAqC2lzEI2lFBAC2lzEIFcqcczqcEIqL38454zFcEIFL483zzcEIFLEIqL48384534FAqAAzqAEIqL243zFAEIFL162zzAEIFLEIqL162423B AB梁的EI為已知,試用疊加法,求梁中間C截面撓度.30Lq60LqlBAC0q計(jì)算C點(diǎn)撓度將三角形分布荷載看成載荷集度為q0的均布載荷的一半ZEILq384540查

10、表ZCEILq38452140ZEILq768540試用疊加法求圖示梁C截面撓度. EI為已知。2lAqC2lzEI2l2qBD2lAqCzEI2lqLF41B2161qLMB2q2lAC2lB2161qLMB2q2lAC2lB2qzCEILq384254zEILqL161622zEIqL3844變截面梁如圖示，試用疊加法求自由端的撓度c. A1L2L1zEI2zEIFBCBFC23213zCEIFLAFBC2FLM 1313zBFEIFL1212zBFEIFL12122zBMEILFL112zBMEILFLBMBFC223LBMBFC3213CCCC2223zEIFL1313zEIFL121

11、22zEILFL12212zEILFL1122zEILFL1221zEILFL多跨靜定梁如圖示，試求力作用點(diǎn)E處的撓度E. F21F21F21F21zBEILF3323AL3BLDCzEIFL293AL3LLLBCDELLBCEzEEILF48231zEIFL63 zCEILF323zEIFL63121ECBEZEEIFL253 圖示簡支梁AB，在中點(diǎn)處加一彈簧支撐,若使梁的C截面處彎矩為零,試求彈簧常量k.LBAzEILqCC處撓度等于彈簧變形。CFAFBF221qLLFMAC0qLFFAB21根據(jù)對(duì)稱關(guān)系02qLFFFCBA平衡關(guān)系qLFC疊加法求撓度kCCqC 438425zEILqZC

12、yEILF4823ZEIqL244kFCC CCFk 324LEIZ 懸臂梁受力如圖示.關(guān)于梁的撓曲線,由四種答案,請(qǐng)分析判斷,哪一個(gè)是正確的?BAC2l2l2leMeMDBAC2l2l2leMeMD(a)BAC2l2l2leMeMD(b)BAC2l2l2leMeMD(C)BAC2l2l2leMeMD(d)AB,CD段彎矩為零，所以這兩段保持直線不發(fā)生彎曲變形。AB,BC,CD三段變形曲線在交界處應(yīng)有共切線。5 梁的剛度校核梁的剛度校核.提高梁的剛度的措施提高梁的剛度的措施llmax max1,梁的剛度校核 懸臂梁承受荷載如圖示。已知均布荷載集度q=15kN/m，梁的長度L=2a=2m，材料的

13、彈性模量E=210GPa，許用正應(yīng)力=160MPa，梁的許可撓度/L=1/500。試選擇工字鋼的型號(hào)。aL2BACaL2q1.按強(qiáng)度選擇 maxMW 232qa36 .140 cm查表：選16號(hào)工字鋼34141,1130cmWcmIzz2.按剛度選擇aL2BACaL2qqBACq321maxBBBZBEIaq8241ZEIqa42CB2ZEIqa84aCB3aEIqaZ63ZEIqa64ZEIqa24414ZEIqaL48413max5001LEqaIZ2425041343050cm查表：選22a號(hào)工字鋼34309,3400cmWcmIzz2,提高剛度的途徑提高剛度主要是指減小梁的彈性位移 彈

14、性位移不僅與載荷有關(guān)，而且與桿長和梁的彎曲剛度(EIZ)有關(guān)對(duì)于梁,其長度對(duì)彈性位移影響較大.ZEIFL483ZEIqL3844 因此減小彈性位移除了采用合里的截面形狀以增加慣性矩IZ外,主要是減小梁的長度,當(dāng)梁的長度無法減小時(shí),則可增加中間支座.6 梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能l1lFlLFWN21LFVN21EALFN22LeMeMLZEIMLMW21MV21ZEILM22橫力彎曲 dxEIxMdVZ22 dxEIxMVLZ22eMeMO軸向拉壓扭 轉(zhuǎn)內(nèi)力分量內(nèi)力分量軸力FN扭矩T對(duì)稱彎曲內(nèi)力分量彎矩M,剪力FS應(yīng)力分布規(guī)律應(yīng)力分布規(guī)律正應(yīng)力均勻分布切應(yīng)力與距圓心距離成正比分布應(yīng)力分布規(guī)律正應(yīng)力與中性軸距離成正比切應(yīng)力沿截面高度呈拋物線AFN PIT ZIMybISFZZS*應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)單軸應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)maxmaxZWM單軸應(yīng)力狀態(tài)max*maxbISFZZS純剪切應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度條件 ma