1、積分，解析幾何，微分方程練習題、填空題:X2A.設f (x)連續，且f(t)dt=x,則f(7) =_1設f(x)是連續函數，且f(x)=x+2J0f(t)dt，則f(x) =X1函數F (x)二j(2 )dt(X 0)的單調減少區間為L 1不dx:sin(xt)dt-be idx =1xln2x o 2x -x2dx =(8)由曲線y = lnx與兩直線y =e，1-x及y = 0所圍成的平面圖形的面積是 _ 。(9)微分方程科-酉斜二的通解為_ .(10)y -4y=“ 的通解為_ .(11) 設y=ex(C1Sinx C2COSx)(CC2為任意常數)為某二階常系數線性齊次微分方程的解，

2、則該方程為 _ .(12) 微分方程yy“+y 0滿足初始條件y|x出=1,y；出專 的特解是_ .(13) 微分方程yytanx =cosx的通解為y二_.(14) 微分方程燈 =0的通解為 _ .x = -t 2(15) 過點M (1,2, T)且與直線y =3t -4垂直的平面方程是 _.z =t -1x1 v2z3x+2 v1 z(16) 已知兩條直線的方程是L1：, L2:，則過L1且平行10-1 2 11于L2的平面方程是_ ._x = 1Ix1 v亠2 z亠1(17) 與兩直線y -1 t及都平行且過原點的平面方程為 _ 。I121z = 2 t(18) 設(ab )c= 2，則

3、(ab ) (bc) (c a)=_(19) 設一平面經過原點及點(6, -3,2)，且與平面4x -y 2z = 8垂直，則此平面方程為_.二、選擇題：dxx2x cost2dt二_(1)設f (x)是連續函數，F(x)是f(x)的原函數，則【】(A)(B)(C)(D)當f(x)當f (x)是偶函數時，當f(x)是周期函數時，(A)(C)是奇函數時，F(x)必是偶函數；F (x)必是奇函數；F (x)必是周期函數；F(x)必是單調增函數.x：f (tx)dx，其中t . 0,s0，則I的值【】(B)依賴于S、t和x；(D)：3x4，則當當f(x)是單調增函數時,設f (x)為已知連續函數，依

4、賴于s和t；依賴于t、x，不依賴于ssin x-設f(X)=0sint dt,g(x)=x依賴于S，不依賴于tOx ” 0時，f (x)是g(x)的【】(A)(C)同階但非等價無窮小低階無窮小.(A)(C)等價無窮小；(B)高階無窮小；(D)2 2 2 2 2雙紐線(x y ) =x -y所圍成的區域面積可用定積分表示為【n22cos2rdr；-0nJ02Jcos2Td日;若連續函數f (x)滿足關系式f(x)二(A)exIn 2；(B)e2xIn 2；n設M= i2nsin：cos4xdx,N =i2n(sin3x、三1 +x2則【】(A) N : P : M ；(B)(7) 設f(x)有連

5、續的導數,F(x)與x是同階無窮小，則(A)1；(B)n(B)02cos2rdr；1n(D)202(cos22d 2xtf (-)dt In 2，則f(x)等于【】-02(C)xe In 2；cos4x)dx, PN : M : P；X 2M : P : N；(C)f(0) =0,f (0)=0,F(x)=0(xk等于2；(C)3;(8) 設在區間a,b上f(x) 0,f (x) 0時,(D)4.bf (x)dx,S2=f (b)(b-a),a為負常數；(c)dtf (x2t2)dt = dx0-xf (x2)；恒為零;【】(D)不為常數.xf(x2)；(B)設y =f(x)是方程y-2y，4

6、y=0的一個解且f (x) 0,f (x)= 0，則函數f (x)在(A)(11)點Xo處【】(A)取得極大值;(C)2xf(x2)；(D)-2xf (x2).(B)取得極小值;(C)某鄰域內單調增加；(D)某鄰域內單調減少。(12)設線性無關的函數y1y2、y3都是二階非齊次線性方程yp(x)y， q(x)y = f (x)的解，Ci，C2是任意常數，則該非齊次方程的通解是【(A)(C)(13)CiyiC2y2 y3；CiyiC2y2-(1-C1 -C2)y設f (x)是連續函數，且(B)3(D)n xF(x)二 *f (t)dtCiyiC2y_ (C1C2)y3；CiyiC2y2(仁Ci-

7、C2)y3.，則F (x)等于【】(A)(C)ef (e) -f (x);e十(ej -f(x)；(B)-ef(e) f(x);(D)ef(e)f (x).x -1 y5 z 8丄x _y = 6nrt(14)設有直線Li與L2:，則Li與L2的夾角為1 -2 12y z = 3冗冗冗冗(A)(B)；(C)；(D).6432x 3y 2z 1=0(15)設有直線L :及平面n：4x -2y +z -2=0，則直線L2xy - 10z 3=0(A)平行于n;(B)在n上；(C)垂直于n；(D)與n相交.三、xex求(1)【】Ex;. dx求limnsin 2x2sin xarctanexdx.e

8、sinnsin也n nsin_nn1n n12n四、設y二f(x)是區間0,1上的任一非負連續函數.(1)試證明存在(0,1)，使得在區間0,x。上以f(x。)為高的矩形面積，等于在區間x0,1上以y =f(x)為曲邊的梯形面積.(2)又設f (x)在區間(0,1)內可導，且f(x)-空，證明(1)中的X。是唯一的.xx五、 設f (x) =sinx - (x -t)f (t)dt，其中f為連續函數，求f (x).六、 設函數f (x)在區間a,b上連續，且在(a,b)內有f(x)0，證明：在(a,b)內存在唯 一的，使曲線y = f (x)與兩直線y二f( J,x二a所圍成圖形的面積S1是曲

9、線y =f(x)與兩直 線y =f( ),x二b所圍成圖形面積S2的 3 倍。七、 證明方程In x =x!：1 -cos2xdx在區間(0,內有且僅有兩個不同的實根.e 01ln(1 x)八、 (1)求20(2 x)xexdx. (2)求 -dx； (3)求Vex-1sin2x+2sinxdxf21 +xx蘭03設f(X)=彳 /，求Lf (x 2)dx.e , xA0,1九、設函數f (x)在0,1上連續，在(0,1)內可導，且32f(x)dx =f (0)，證明在(0,1)內c,使f (c)=0 .十、設f(x)連續，(x)x =0處的連續性.存在一點1f (x)0f (xt)dt,且i

10、m-=A(A為常數)，求(X)并討論(x)在十一、設對任意x . 0曲線y = f (x)上點(x,f (x )處的切線在y軸上的截距等于1xf(t)dt，求f(x)的一般表達式.x0nn十二、設函數f(x)在0, n上連續，且 f (x)dx = 0,. f (x)cosxdx= 0，試證在(0, u)內 至少存在兩個不同的點，使f ( J =f2) =0.十三、(1)已知點A與B的直角坐標分別為(1,0,0)與(0,1,1).線段AB繞z軸旋轉一周所成 的旋轉曲面為S，求由S及兩平面z =0,z =1所圍成的立體的體積.(2)求心形線r =a(1 cos)的全長，其中a 0是常數十四、已知

11、兩曲線y =f(x)與y二.并求極限lim nf (2).nn十五、從船上向海中沉放某種探測儀器，按探測要求，需確定儀器的下沉深度 算起)與下沉速度v之間的函數關系.設儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉, 下沉過程中還受到阻力和浮力的作用設儀器的質量為m，體積為B，海水比重為受的阻力與下沉速度成正比，比例系數為k(k 0)試建立y與v所滿足的微分方程,數關系式y =y(v).arcta nx .2e dt在點(0,0)處的切線相同，寫出此切線方程,y(從海增面在，儀器所并求出函六、(1)求微分方程些 6)(9a2)/二1的通解，其中常數a 0 o求微分方程 4y 4y =e的通解(一

12、般解).y：2y：3y =ex的通解.x2y xy =y2滿足初始條件y 1x = 1的特解P (x,y)處的曲率等于此曲線在該點十七、在上半平面求一長條向上凹的曲線，其上任一點求微分方程求微分方程的法線PO長度的倒數(Q是法線與x軸的交點)，且曲線在點(1,1)處的切線與x軸平行十八、設曲線L位于xOy平面的第一象限內，L上任一點M處的切線與y軸總相交，交點 記為A.已知| MA |OA|,且L過點 -,3，求L的方程.12 2丿十九、 在某一人群中推廣新技術是通過其中已掌握新技術的人進行的設該人群的總人數為N，在t =0時刻已掌握新技術的人數為x0，在任意時刻t已掌握新技術的人數為x(t)(將x(t)視為連續可微變量)，其變化率與已掌握新技術人數和未掌握新技術人數之積成正比，比例常數k 0,求x(t).二十、設函數y(x)(x _0)二階可導，且y(x) .