1、2-2 函數的單調性與最值1.(文)(·大連模擬)以下函數在(0,1)上是減函數的是()aylog(1x) byxcy1x dy(1x2)答案d解析u1x在(0,1)上為減函數，且u>0，ylog(1x)為增函數，y1x為增函數；又0.5>0，冪函數yx在(0,1)上為增函數；二次函數y(1x2)開口向下，對稱軸x0，故在(0,1)上為減函數(理)(·廣州模擬)以下函數f(x)中，滿足“對任意x1，x2(，0)，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)的函數是()af(x)x1 bf(x)x21cf(x)2x df(x)ln(x)答案c解析f(x)

2、x1為減函數，f(x)x21在(，1)上為減函數；f(x)2x為增函數，f(x)ln(x)為減函數，由條件知f(x)在(，0)上為增函數，故排除a、b、d選c.2(·湖北理，2)uy|ylog2x，x>1，py|y，x>2，那么up()a，) b(0，)c(0，) d(，0，)答案a解析uy|ylog2x，x>1(0，)，py|y，x>2(0，)，up，)3(文)(·上海文，15)以下函數中，既是偶函數，又在區間(0，)上單調遞減的函數是()ayx2 byx1cyx2 dyx答案a解析yx1是奇函數，yx2在(0，)上單調遞增，yx是奇函數(理)(&

3、#183;課標全國文，3)以下函數中，既是偶函數又在(0，)單調遞增的函數是()ayx3 by|x|1cyx21 dy2|x|答案b解析a項中yx3是奇函數而不是偶函數，c項中yx21是偶函數，但在(0，)單調遞減，d項中y2|x|是偶函數但在(0，)上單調遞減a2，b，c，那么()aabc bacbcbca dbac答案b解析2<10，a<0；>1，b>1；<1，0<c<1，應選b.5(文)(·北京模擬)設函數f(x)，假設f(a)>a，那么實數a的取值范圍是()a(，3) b(，1)c(1，) d(0,1)答案b解析f(a)>

4、a化為或，a<1.(理)(·衡水模擬)偶函數f(x)在區間0，)上單調增加，那么滿足f(2x1)<f()的x的取值范圍是()a(，) b，)c(，) d，)答案a解析當2x10，即x時，由于函數f(x)在區間0，)上單調增加，那么由f(2x1)<f()得2x1<，即x<，故x<；當2x1<0，即x<時，由于函數f(x)是偶函數，故f(2x1)f(12x)，此時12x>0，由f(2x1)<f()得12x<，即x>，故<x<.綜上可知x的取值范圍是(，)點評(1)由于f(x)為偶函數，f(2x1)<

5、f()f(|2x1|)<f()(2)可借助圖形分析作出示意圖可知：f(2x1)<f<2x1<，即<x<.應選a.6(·青島模擬)函數f(x)axlogax(a>0且a1)在1,2上的最大值與最小值之和為loga26，那么a的值為()a. b.c2 d4答案c解析f(x)在1,2上是單調函數，由題意知，aa2loga2loga26，a2a60，a>0，a2.7(文)如果函數f(x)ax22x3在區間(，4)上單調遞增，那么實數a的取值范圍是_答案，0解析(1)當a0時，f(x)2x3，在定義域r上單調遞增，故在(，4)上單調遞增；(2)當

6、a0時，二次函數f(x)的對稱軸為直線x，因為f(x)在(，4)上單調遞增，所以a<0，且4，解得a<0.綜上所述a0.(理)假設函數f(x)x22ax與g(x)在區間1,2上都是減函數，那么a的取值范圍是_答案(0,1解析由f(x)x22ax得函數對稱軸為xa，又在區間1,2上是減函數，所以a1，又g(x)在1,2上減函數，所以a>0，綜上a的取值范圍為(0,18(文)f(x)xlnx的單調遞減區間是_答案解析f (x)lnx1，令f (x)<0得x<，0<x<，f(x)在上單調遞減(理)假設函數f(x)x22xalnx在(0,1)上單調遞減，那么實

7、數a的取值范圍是_答案a4解析函數f(x)x22xalnx在(0,1)上單調遞減，當x(0,1)時，f (x)2x20，g(x)2x22xa0在x(0,1)時恒成立，g(x)的對稱軸x，x(0,1)，g(1)0，即a4.9(·江蘇)函數f(x)log5(2x1)的單調增區間是_答案(，)解析2x1>0，x>.所求單調增區間為(，)10(文)f(x)(xa)(1)假設a2，試證f(x)在(，2)內單調遞增；(2)假設a>0且f(x)在(1，)內單調遞減，求a的取值范圍解析(1)證明：設x1<x2<2，那么f(x1)f(x2).(x12)(x22)>0

8、，x1x2<0，f(x1)<f(x2)，f(x)在(，2)內單調遞增(2)解：設1<x1<x2，那么f(x1)f(x2).a>0，x2x1>0，要使f(x1)f(x2)>0，只需(x1a)(x2a)>0恒成立，a1.綜上所述知0<a1.點評第(2)問中，由f(x)單調遞減知x1<x2時，f(x1)f(x2)>0恒成立，從而(x1a)(x2a)>0恒成立，由于a>0，x1>1，x2>1，故只有當0<a1時才滿足(理)函數f(x)對任意的a、br都有f(ab)f(a)f(b)1，且當x>0時，f(

9、x)>1.(1)求證：f(x)是r上的增函數；(2)假設f(4)5，解不等式f(3m2m2)<3.解析(1)證明：任取x1、x2r且x1<x2，x2x1>0.f(x2x1)>1.f(x2)fx1(x2x1)f(x1)f(x2x1)1>f(x1)，f(x)是r上的增函數(2)解：f(4)f(2)f(2)15，f(2)3.f(3m2m2)<3化為f(3m2m2)<f(2)又由(1)的結論知f(x)是r上的增函數，3m2m2<2，1<m<.11.(文)(·平頂山一模)定義在r上的偶函數f(x)滿足：對任意x1，x20，)(x

10、1x2)，有<0，那么()af(3)<f(2)<f(1) bf(1)<f(2)<f(3)cf(2)<f(1)<f(3) df(3)<f(1)<f(2)答案a解析由題意f(x)在0，)上為減函數，f(3)<f(2)<f(1)，又f(x)為偶函數，f(2)f(2)，應選a.(理)(·山東聊城一中期末)設函數f(x)定義在實數集上，它的圖象關于直線x1對稱，且當x1時，f(x)3x1，那么有()af<f<fbf<f<fcf<f<fdf<f<f答案b解析f(x)的圖象關于直線x1

11、對稱，x1時，f(x)3x1為增函數，故當x<1時，f(x)為減函數，且ffff，<<，f>f>f，即f<f<f，應選b.12(·西安模擬)設函數f(x)，g(x)x2f(x1)，那么函數g(x)的遞減區間是()a(0,1) b(1，)c(，0) d(0，)答案a解析依題意得，g(x)x2f(x1)，所以g(x)的遞減區間為(0,1)13(文)(·撫順模擬)f(x)是r上的單調遞增函數，那么實數a的取值范圍為()a(1，) b4,8)c(4,8) d(1,8)答案b解析由yax(x>1)單調增知a>1；由y(4)x2(x

12、1)單調增知，4>0，a<8；又f(x)在r上單調增，a(4)2，a4，綜上知，4a<8.點評可用篩選法求解，a2時，有f(1)4f(2)，排除a、d.a4時，f(x)，在r上單調遞增，排除c，應選b.(理)(·北京學普教育中心)假設函數f(x)2x2lnx在其定義域內的一個子區間(k1，k1)內不是單調函數，那么實數k的取值范圍是()a1，) b1，)c1,2) d，2)答案b解析因為f(x)定義域為(0，)，f (x)4x，由f (x)0，得x.據題意，解得1k<，選b.14(·天津四校聯考)函數f(x)x2ax1在區間0,3上有最小值2，那么實

13、數a的值為_答案2解析當0，即a0時，函數f(x)在0,3上為增函數，此時，f(x)minf(0)1，不符合題意，舍去；當3，即a6時，函數f(x)在0,3上為減函數，此時，f(x)minf(3)2，可得a，這與a6矛盾；當0<<3，即6<a<0時，f(x)minf()2，可解得a2，符合題意15(文)(·北京市東城區)函數f(x)loga(x1)loga(1x)，a>0且a1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)當a>1時，求使f(x)>0的x的取值范圍解析(1)要使f(x)loga(x1)loga(1x)

14、有意義，那么，解得1<x<1.故所求定義域為x|1<x<1(2)由(1)知f(x)的定義域為x|1<x<1，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)為奇函數(3)因為當a>1時，f(x)在定義域x|1<x<1內是增函數，所以f(x)>0>1.解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的取值范圍是x|0<x<1(理)設函數f(x)ax2bxc(a，b，c為實數，且a0)，f(x).(1)假設f(1)0，曲線yf(x)通過點(0,2a3)，且在點(1，f

15、(1)處的切線垂直于y軸，求f(x)的表達式；(2)在(1)的條件下，當x1,1時，g(x)kxf(x)是單調函數，求實數k的取值范圍；(3)設mn<0，mn>0，a>0，且f(x)為偶函數，證明f(m)f(n)>0.解析(1)因為f(x)ax2bxc，所以f (x)2axb.又曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于y軸，故f (1)0，即2ab0，因此b2a.因為f(1)0，所以bac.又因為曲線yf(x)通過點(0,2a3)，所以c2a3.解由，組成的方程組得，a3，b6，c3.從而f(x)3x26x3.所以f(x).(2)由(1)知f(x)3x26x3，所

16、以g(x)kxf(x)3x2(k6)x3.由g(x)在1,1上是單調函數知：1或1，得k12或k0.(3)因為f(x)是偶函數，可知b0.因此f(x)ax2c.又因為mn<0，mn>0，可知m，n異號假設m>0，那么n<0.那么f(m)f(n)f(m)f(n)am2can2ca(mn)(mn)>0.假設m<0，那么n>0.同理可得f(m)f(n)>0.綜上可知f(m)f(n)>0.f(x)axlnx，x(0，e，ar.(1)假設a1，求f(x)的極小值；(2)是否存在實數a，使f(x)的最小值為3.解析(1)f(x)xlnx，f (x)1，

17、當0<x<1時，f (x)<0，此時f(x)單調遞減；當1<x<e時，f (x)>0，此時f(x)單調遞增f(x)的極小值為f(1)1.(2)假設存在實數a，使f(x)axlnx，x0，e有最小值3，f (x)a，當a0時，f(x)在(0，e上單調遞增，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以，此時f(x)最小值不為3；當0<<e時，f(x)在(0，)上單調遞減，在上單調遞增，f(x)minf1lna3，ae2，滿足條件；當e時，f(x)在(0，e上單調遞減，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以，此時f(x)最小值不為3.綜上

18、，存在實數ae2，使得當x(0，e時，f(x)有最小值為3.1(·上海理，16)以下函數中，既是偶函數，又是在區間(0，)上單調遞減的函數是()ayln byx3cy2|x| dycosx答案a解析排除法：b、c在(0，)上單調遞增，d在(0，)上不單調，應選a.2函數f(x)在(1，)上單調遞增，那么a的取值范圍是()a(，1) b(1，)c(，3) d(3，)答案d解析f(x)在(a2，)上是增函數，由條件知a2<1，且a1<0，a>3.3假設f(x)x36ax的單調遞減區間是(2,2)，那么a的取值范圍是()a(，0 b2,2c2 d2，)答案c解析f (x)3x26a，假設a0，那么f (x)0，f(x)單調增，排除a；假設a>0，那么由f (x)0得x±，當x<和x>時，f (x)>0，f(x)單調增，當<x<時，f(x)單調減，f(x)的單調減區間為(，)，從而2，a2.點評f(x)的單調遞減區間是(2,2)和f(x)在(2，2)上單調遞減是不同的，應加以區分f(x)ln(x1)mx在區間(0,1)上恒為增函數，那么實數m的取值范圍是()a(，1) b(，1c(， d(，)答案c解析f