1、設:n ： mn= mn mg X0limX )X0cd0【題型示例】求值lim3x-3x2 -9高等數學（本科少學時類型）第一章函數與極限第一節函數O函數基礎（高中函數部分相關知識）（）O鄰域（去心鄰域）（）U（a,6）=x| xa <6U （a, 6 ） = x | 0 c|x a| < 6 第二節數列的極限O數列極限的證明（） 【題型示例】已知數列 Cxn I證明lim g =a【證明示例】；- N語言1 .由xn a c乞化簡得n > g（g ,- N - |g ；2 即對- ； 0 , N g ；。當n N時，始終有不等式 xn -a| < 8成立， lim

2、:xn f = ax .第三節函數的極限O x > X。時函數極限的證明（）【題型示例】已知函數 f X，證明lim f x；=A【證明示例】；語言1. 由 f （x）A £ 化簡得 Oclxxcg（名）， 、： = g :2. 即對 呂 >0 , = g2 ），當 0 c|x Xo| <6 時， 始終有不等式 f （x ）-A £ E成立， lim f x = AX %O Xr，時函數極限的證明（）【題型示例】已知函數 f X，證明lim f x = Axjic【證明示例】；-X語言1由 f（x）A< E化簡得 xAg（E ）, X =g ；2.即

3、對一 ；-0, X = g ；，當x X時，始終有 不等式f（x）Ac名成立，lim f x 二 AX J：.第四節無窮小與無窮大O無窮小與無窮大的本質（）函數f x無窮小：=lim f x = 0函數f x無窮大二lim f x門"，O無窮小與無窮大的相關定理與推論（）（定理三）假設f x為有界函數，g x為無窮小，則 li| f x g x =0（定理四）在自變量的某個變化過程中，若f x 為無窮大，則f-1 X為無窮小；反之，若f X為無 窮小，且f x - 0，則f J X為無窮大【題型示例】計算：lim f x g x （或x：:）X '01 . f （x）w M

4、函數 f（xj 在X = x0的任一去心鄰域U怡宀內是有界的；（ f （x ） w M，函數 f （x ）在 D 上有界；） 2. lim g x =0即函數g x是x“ x°時的無窮小；（lim g x =0即函數g x是x. -時的無窮小；） X_.3 .由定理可知lim | f x g x =0（lim f x g x =0）第五節極限運算法則O極限的四則運算法則（）（定理一）加減法則（定理二）乘除法則關于多項式p x、q x商式的極限運算p(x )= a0xm + 玄必“丄 + +am 、q(x )=b0xn +豪2 + + bnoO則有lim業二色 x ：q xb0【0g

5、X0-0g X0 =0,f X0 -0g X0 = f X0 = 0（特別地，當lim f X =-（不定型）時，通常分子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極 限值，也可以用羅比達法則求解）【求解示例】解：因為 Xr 3，從而可得x=3，所以原式x 3x 311式=lim 2 limlimx 3x -9 x3x 3x-3 xQx 3其中x=3為函數f x的可去間斷點x -9倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節）0 .x_3 0（x-3）"11解：lim 2 limlimxTx -9 l'xt2 c J T 2x 6（x -9 ）O連續函數穿越定理 （復合函數的極限求

6、解）（）（定理五）若函數 f x是定義域上的連續函數，那么，lim f f逍 X 二 f x1叮 Xx -3【題型示例】求值：lim 2X-3 丫 X2 -9【求解示例】獨后X -3=.lim 2.x)3 x2 -9第六節極限存在準則及兩個重要極限O夾迫準則（P53） （）第一個重要極限:mI K -x0,-,.2sin x x tanx.lim sinxT x解:lim 2x 3x 2x 1.lim 2x12x ;： 2x 1r2x+1 丿lim 藝2= e*W=e1 =eX . li2x“22x 1227lim 11 2-( lim 11 2x12x 1. 2J11丄2x 1丄2x 1第七

7、節 無窮小量的階（無窮小的比較）O等價無窮小（）U sinU tanU arcsinU arctanU ln（1 U ）1 .Ue 一11 22. U 1-cosU2（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：lim ln 1 X2 xln 1 xT x +3x【求解示例】mo0H X-X1xs mT H X-XX rnsmolimlx解：因為x 0, 即 xHO,所以原式=lim+xrxln+x)7 X +3x(1+x 卜In(1+x)i.(1+x 卜xi.x+11=limlimlimx 0 XX 3x 9XX 3x 0x 33第八節函數的連續性O函數連續的定義()lim f x = lim f

8、 x = f x0x JX0 -O間斷點的分類(P67) ()(特別地，lim sin(x -X0) =1)0x _x0O單調有界收斂準則（P57） （）（1 f第二個重要極限：lim 1ex 丿（一般地，lim | f x = lim f x 計 '，其中lim f x 0)【題型示例】求值:【求解示例】lim 心； xf 2x+1 丿lim第一類間斷點（左右極限存在）跳越間斷點（不等） 可去間斷點（相等）第二類間斷點無窮間斷點（極限為：）（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式）2x. 0e , X ： 0應該怎樣選a x x _ 0擇數a，使得f x成為在R上的連續函數？【求

9、解示例】f 0_ 二 e20 二 e1 二 e （f （°+） = a+°+=af 0 =a【題型示例】設函數 f（x）=1 .2 .由連續函數定義lim f x = lim f x = f 0 = e xT010 十第九節 閉區間上連續函數的性質O零點定理（）【題型示例】證明：方程f X x C至少有一個根 介于a與b之間【證明示例】1.（建立輔助函數）函數x f x ;-g x ;- C在閉區間la,b 1上連續；2. Ta b : 0 （端點異號）3. a由零點定理，在開區間a,b內至少有一點,使得廠=0,即 fg-C =0 （ 0 < ' : 1）4.

10、這等式說明方程內至少有一個根'第二章導數與微分第一節導數概念O高等數學中導數的定義及幾何意義（ex +1f x = g xC在開區間a,bP83) ()【題型示例】已知函數f (x )= «ax +bx 0在 x = 0x 0處可導，求a , b【求解示例】1. f_0 二e0f*0 )=a=12由函數可導定義f 0- -e° 1 二e°1 =2f 0=bf 0 =e 1 =2jf_0 =f_j. 0 =a=1f 0- 二 f 0=f 0 =b =2a a = 1,b = 2【題型示例】求函數【求解示例】由題可得上單調、可導，且f J x的導數f x為直接

11、函數，其在定于域DfxO; a f'x 二二O復合函數的求導法則（）【題型示例】設y = in嚴“廠 廠2，求y【求解示例】解:, 1y =i2Tn arcs in x 1-22e -. x a(earcsin fx2 丄1arcsi n x2 122e亠.x亠a1arcs in x2 1廠22e 一 . x aarcs in，: earcs in x21 e _arcsin J 1 -e - arcs in. -x2 122e亠x a第四節高階導數iin xH22v -+Vx +a2x2 .x2 -122x2. xa"x2 _12 _x2)()n(或 ddx【題型示例】求函

12、數 y =1 n 1 x的n階導數【求解示例】y二1 xJ,3函數商的求導法則（定理三）O反函數的求導法則（）【題型示例】求 y = fx在x=a處的切線與法線方程 （或：過y二f x圖像上點 a, f a 處的切線與法線 方程）【求解示例】1. y 二 f x , y hr f a2. 切線方程：y-f a = f a x -a法線方程：y_f a 占x-a第二節 函數的和（差）、積與商的求導法則O函數和（差）、積與商的求導法則（）1.線性組合（定理一）：（U 二 L；v） =U ' ： V特別地，當1時，有（u 士v）'u 士 V2函數積的求導法則（定理二）：（uv）

13、9;uv uv第三節反函數和復合函數的求導法則廠飛T Tx ' = -1-21 xy n =（-1）n（n -1）!（1 x）第五節隱函數及參數方程型函數的導數O隱函數的求導（等式兩邊對 x求導）（）【題型示例】試求：方程y = x ey所給定的曲線 C :y二y x在點1 -e,1的切線方程與法線方程【求解示例】由y = x ey兩邊對x求導F即y = x亠ey化簡得/ = 1 ' ey y. 1 1- y 1 ：1 -e 1-e1 .a切線方程：y -1X -1 e1 e法線方程：y 11 e x -1 eO參數方程型函數的求導【題型示例】設參數方程/=tp（t 求d_y=

14、Y（t）dx2“2亦【求解示例】i.-2.d_ydx ®'（t） dx®'（t）第六節變化率問題舉例及相關變化率（不作要求） 第七節函數的微分O基本初等函數微分公式與微分運算法則（）dy = f x dx第三章中值定理與導數的應用第一節中值定理O引理（費馬引理）（）O羅爾定理（）【題型示例】現假設函數f x在0,二1上連續，在0,二上可導，試證明：二匚三0,二,使得fco< C sin = 0成立【證明示例】1. （建立輔助函數）令 x = f x sinx顯然函數x在閉區間 0,二I上連續，在開區間0,二上可導；2. 又 0 計 f 0 sin0 =

15、0: - f jsin 二-0即0 二 :=03. .由羅爾定理知一 I 三 i0,二，使得 f - cos fisin = 0成立O拉格朗日中值定理（）【題型示例】證明不等式：當x 1時，ex e x【證明示例】x1.（建立輔助函數）令函數 f x二e ,則對_x 1 , 顯然函數 f x在閉區間1,x 1上連續，在開區間1,x上可導，并且f x =ex ；2 .由拉格朗日中值定理可得，1,x 1使得等式X1e-e = x -1 e成立，又t e e1 , ex-e1xT e1 二e x-e,化簡得ex e x，即證得：當x 1時，ex e x【題型示例】證明不等式：當x 0時，In r x

16、 ： x【證明示例】1.（建立輔助函數）令函數 f x = In 1 x，則對-x .0,函數f x在閉區間1.0,x 1上連續，在開區1間0,二上可導，并且f x ;1 + x2 .由拉格朗日中值定理可得，:：=0,x使得等式In 1 x - In 10 二x - 0 成立,1化簡得Inx .廠x，又,<1,In 1 x ： 1 x = x,即證得：當x 1時，ex e x第二節羅比達法則O運用羅比達法則進行極限運算的基本步驟（）1. 等價無窮小的替換（以簡化運算）2判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運用羅比 達法則的三個前提條件A .屬于兩大基本不定型（0 :-,）且滿足條件,0 :

17、則進行運算： Iim - = Iim _ 一ag(x)ag，(x)（再進行1、2步驟，反復直到結果得出）B . 不屬于兩大基本不定型（轉化為基本不定型）【題型示例】求值:【求解示例】Iim x In xx >00 :型（轉乘為除，構造分式）x：T nxp叫In x -Iim1 L x ：0lnx1一X2：=一一1四 = 0（一般地，IimI nxj=0，其中， R）型（通分構造分式，觀察分母）1 1【題型示例】求值:Iim xt sin x x【求解示例】” (1 1 解: Iim 一一 xT (sin x xfx-si nx 1fx-si nx)=処=虬_L Ix )0 . x sin

18、 xxTx0_0% x-si nxr 1-cosx%1-cosx r si nx門IimIimIimIim0L x_o2x02xLxQx J022xx200型（對數求極限法）【題型示例】求值：lim xxx_0【求解示例】 解：設y =xx,兩邊取對數得：In y = Inxx =xlx對對數取Xr 0時的極限：lim In y =lim=lim " x .xIn y= lim x lim x =0,從而有 lim y Time1x_0 1x_0x_0x 02xI'型(對數求極限法)lim In y=ex=e0 =1【題型示例】求值:1lim cosx sin x xx0【求

19、解示例】op0（1）0 c （3） 心qQ oO彳 100 0QOO通分獲得分式（通常伴有等價無窮小的替換）取倒數獲得分式（將乘積形式轉化為分式形式）取對數獲得乘積式（通過對數運算將指數提前）第三節泰勒中值定理（不作要求） 第四節 函數的單調性和曲線的凹凸性O連續函數單調性（單調區間）（）【題型示例】試確定函數f x =2x3-9x2 12x-3的單調區間【求解示例】1 .V函數f X在其定義域R上連續，且可導解：令 y = cosx sinx x,兩邊取對數得 ln y =_S"xx對 ln y求x . 0時的極限，limln y =lim ln cosx_sin x x_0 X2

20、 .令 f x i=6< -1x -2=0，解得：X1 =1,X2 =23.(三行表)00|ln cosx sinxLxm0xlim In ylim y= lim el y =ex 0 e1 =ex 0 x 0.lim cosxsinx=1,從而可得xQ cosx sin x 1 0X(嚴1)1(1,2)2（2嚴）f'(x)+00+f(x)極大值極小值4 .函數f X的單調遞增區間為-：，1，2：；：:0型（對數求極限法）（1 -【題型示例】求值：lim -7乜）【求解示例】（1半 解：令y =丄x:an x,兩邊取對數得ln y =tanx ln對In y求x >- li

21、mX_0In x丄L tan x0時的極限,lim lny=lim tan1x2sec x們x，X I n 11x于*°ofin xlim n tan x-limx ；0tan20 2 0sin x 0 = limlimx_0x L x_0sin'x2sin x cosxli mx x 01lim ln y從而可得 lim y= lim eln y =ex 0e0 =1xTo運用羅比達法則進行極限運算的基本思路",單調遞減區間為 1,2【題型示例】證明：當 X 0時，ex X 1 【證明示例】1. （構建輔助函數）設 x =eX-x-1 , （ x 0）2. x =

22、ex -1 0 , （ x 0） x20 =03 .既證：當x 0時，ex x 1【題型示例】證明：當 x 0時，In 1 x : x 【證明示例】1. （構建輔助函數）設 x In 1 x - x , （ x 0）12. : X1 ： 0 , （ x 0）1 +x x ：0 = 03 .既證：當x 0時，In 1 x xO連續函數凹凸性（）【題型示例】試討論函數y=1 3x2 - X3的單調性、極值、 凹凸性及拐點【證明示例】 f x =6x2 -18x 12r2y =-3x +6x = 3x(x2)y » = -6x +6 = -6 (x _1 )|y" = -3x(x

23、 2 )=02.令彳'解得：丿X = 0, x? = 2y" = -6(X 一1 ) = 0X=1-3.（四行表）X(皿,0)0(0,1)1(1,2)2（2,址）y0+0y+/+/y1M(1,3)r544函數y =1 3x? x3單調遞增區間為（o,i）,（i,2）單調遞增區間為（-：,0） ,（2, ：）;函數y=13x2-x3的極小值在x=0時取到， 為 f 0 =1,極大值在x=2時取到，為f 2 =5；函數y =1 3x2 -x3在區間（-“,0）,（0,1）上凹， 在區間（1,2）,（2,上凸；函數y =1，3x2X3的拐點坐標為1,3第五節函數的極值和最大、最小值

24、O函數的極值與最值的關系（）設函數f x的定義域為 D，如果 xM的某個鄰C域U xM i二D，使得對U Xm ，都適合不 等式 f x : f Xm ,我們則稱函數 f （x ）在點"xM, f （xl處有極大值 f Xm ；令 xM "'xM 1, xM 2 , xM 3,., xMn 匚貝U函數f x在閉區間a,b 1上的最大值M滿足:M =maxtf a ,XmXm2,Xm3,，, f b ?；設函數f x的定義域為D ,如果 xm的某個鄰域U x i = D，使得對U xm，都適合不等式 f X f Xm ,我們則稱函數f （x ）在點_xm, f （xm

25、 ）1處有極小值f Xm ；令 Xm1,Xm2,Xm3,.,Xmn；貝U函數f x在閉區間l.a,b 1上的最小值 m滿足：m=mi n'f a , Xm1, Xm2,Xm3,，Xmn, f b ?； 【題型示例】求函數 f X =3x-x3在1-1,3 1上的最值【求解示例】1 v函數f X在其定義域1-1,3上連續，且可導2f x 二 _3x 32 .令 f x - -3 x -1 x 1 = 0,解得：X<| = -1, X? = 13.(三行表)X-1(-1,1)1(1,3】(X)0+0f(x)極小值極大值4.又v f ：i-1 = -2,f 1 = 2, f 3 = -

26、18 f X max = f 1 =2, f X min = f 3產-18第六節函數圖形的描繪（不作要求）第七節 曲率（不作要求）第八節方程的近似解（不作要求）第四章不定積分第一節不定積分的概念與性質O原函數與不定積分的概念（）原函數的概念：假設在定義區間I上，可導函數F x的導函數 為F x ,即當自變量x I時，有F'x=f x或 dF xj=f x dx成立，則稱F x為f x的一 個原函數原函數存在定理：（）如果函數f x在定義區間I上連續，則在I上 必存在可導函數 F x使得F x = f x，也就是 說：連續函數一定存在原函數（可導必連續）不定積分的概念（）在定義區間I上

27、，函數f x的帶有任意常數項C的原函數稱為f x在定義區間I上的不定積分， 即表示為：.f x dx = F xi'C（稱為積分號，f x稱為被積函數，f x dx稱為積分表達式，x則稱為積分變量）O基本積分表（）O不定積分的線性性質（分項積分公式）（）'|_k1 f x k?g x dx * f x dx k2 g x dx第二節換元積分法O第一類換元法（湊微分）（）（dy f x dx的逆向應用）.flx "xdxf 佇x dF'lx【題型示例】求 2dxL a +x【求解示例】1x 1 丄 x arcta n C a ad a【求解示例】解：2x1二 2

28、x 1 CO第二類換元法(去根式)()(dy f x dx的正向應用)對于一次根式(a = 0,b R ):1d 2x 12*2x 1,arr:令tar正，于是xb,a則原式可化為t對于根號下平方和的形式(a 0): 2 2、a x :令 x =atant （ t ）, 2 2x于是t二arctan，則原式可化為 asect ；a對于根號下平方差的形式(a 0):i: 22"a., a -x :令 x =asint ( t ),22x是t =arcsin，則原式可化為 a cost ； ab - xG2：令 xFsed （ Ot 石）,【題型示例】求a是t二arccos-，則原式可化

29、為 ata nt ； x1dx (一次根式).2x 1【求解示例】解為x【題型示例】求t 曹11 tdt 二 i dt =t C =2x1 Cx孑壽 tdx dtdt一 a2 _x2 dx （三角換元）【求解示例】x :asint （ . . t： ）：a 222 r a2 ! cos2 tdt1 cos2t dt解： a2 -x2dxxLt zarcsin dx "acosta2 ''1g2tsi n 2t C t sin t cost C2 22第三節分部積分法O分部積分法()設函數u二fx , v二gx具有連續導數，則其分部積分公式可表示為：udv = uv -

30、 vdu分部積分法函數排序次序：“反、對、幕、三、指”O運用分部積分法計算不定積分的基本步驟：遵照分部積分法函數排序次序對被積函數排序；就近湊微分：(vdx = dv)使用分部積分公式：udv = uv- "vdu展開尾項 vdu = v u dx，判斷a. 若 v-udx是容易求解的不定積分，則直接計算出答案(容易表示使用基本積分表、換元法 與有理函數積分可以輕易求解出結果)；b. 若 v u dx依舊是相當復雜，無法通過a中方 法求解的不定積分，則重復、，直至出現容易求解的不定積分；若重復過程中出現循環， 則聯立方程求解，但是最后要注意添上常數C【題型示例】求 ex x2dx【求

31、解示例】解: ex x2dx = x2exdx = x2dex =x2ex - exd x2= x2ex-2 xexdx=x2ex-2 x d ex= x2ex -2xex 2 exdx =x2ex - 2xex 2ex C【題型示例】求 ex sinxdx【求解示例】解: ex sin xdx = -Jexd (cosx )= -ex cosx + Jcosxd(ex )=-ex cosx 亠 iex cosxdx = -ex cosx 亠 i exd sin x=-ex cosx ex sin x - :sin xd exxfl xx-e cosx e sinx - e sinxdx即：e

32、x sin xdx - -ex cosx exsin x - sin xd exx 1 xex sin xdxex si nx-cosxi亠 C2第四節 有理函數的不定積分O有理函數()設.P x _ p x 二 a°xm qxm， amQ(x)q(x)=b0Xn+bXnd+ + bnP (X )對于有理函數，當P x的次數小于 Q x的Q(x)P f X 次數時，有理函數是真分式；當P x的次數Q(x)P（X 大于Q x的次數時，有理函數是假分式Q（x）O有理函數（真分式）不定積分的求解思路（）P（x 將有理函數的分母Q x分拆成兩個沒有Q（x）“公因式的多項式的乘積：其中一個多項

33、式可以表示k為一次因式 x-a ；而另一個多項式可以表示為二次質因式 x2 px q ，（ p2 -4q ： 0）；2x , dx =x 1=xdx -X 1 X - X 11dx 二 x 1bX + 1I1 1 2dxdx x - x l n x 1 i 亠 CxL1dx第五節積分表的使用（不作要求） 第五章定積分極其應用第節第二節定積分的概念與性質O定積分的定義（）即：Q x =Q x Q2 xbna f x dx = lim ' f i ：_Xi = Ia'0 i J般地：mx n = m I x n，則參數 a =I m丿m22 b cax bx c 二 a I x x

34、I a a丿則參數p = b, q = Ca a（f x稱為被積函數，f x dx稱為被積表達式，x 則稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限， l.a,b 1稱為積分區間）O定積分的性質()bb a f X d a f u duP2 x21x px qbk a f xdx（線性性質）x k2g xbx dx k2 a g x dxP(x )則設有理函數的分拆和式為：Q(x)P x P xP2 xQ x x _ a 1 x2 px q其中P (x) _ A + A + + A2.kx -a xa xa xaM1x N1M2x N22:22x px q x px q（積分區間的可加性）bcba f xdxa f Xdx c f Xdx若函數f x在積分區間a, b 1上滿足f x 、0 ,b則 f x dx 0 ; a2（推論一）若函數f x、函數g x在積分區間a, bl上滿M2N2bbJ f (x)dx 蘭 f f (x)dxaL a+M1X+N121x px qM參數A，A，Ak，LN數法（比較法）求出得到分拆式后分項積分即可求解2【題型示例】求 dx （構造法），x+1【求解示例】bb足 f x _ g x ，貝Vf x dx g x dx;b aba(推論二)O積分中值定理（不作要求）第三節微積分基本公