1、射影面積法（cosq =S射影凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積 S射的都可利用射影面積公式（cose =）求出二面角的大小。S例1、如圖，在底面是一直角梯形的四棱錐 S-ABCD中，AD/ BC,/ABC=90 , SA1 平面 ABC, SA=AB=BC=1 ,1AD= 2 .求面SCD與面SAB所成的角的大小。解法1:可用射影面積法來求,這里只要求出SSCD與SaSAB即可，故所求的二面角0應(yīng)滿足cosQ = $血£111=5 MlM1 =76一 1 ,32 一 322例2.（2008北京理）如圖，在三棱錐 P ABC中，AC =BC =2

2、, /ACB =90",AP = BP=AB, PC _L AC .(I)求證：PC _L AB ;(n)求二面角 B-AP-C的大小;C解：(I)證略(n) ；AC = BC, AP=BP,.APCzXBPC .又 PC _L AC ,二 PC _L BC .又/ACB=901 即 AC_LBC,且 ACpPC =C ,二 BC _L 平面 PAC .取AP中點(diǎn)E .連結(jié)BE, CE .：AB = BP,二 BE _L AP .EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，:.CE _LAP.ACE是 ABE在平面 ACP內(nèi)的射影，于是可求得：AB = BP = AP = dAC2 + CB2

3、= 2V2 , BE = VAB2 AE2 = V6 ,AE = EC = J2 則 S射=SCE1 1 - -=AE *CE = - 22 v2 =1,2 2S S S ABE = AE EB -2 6=3設(shè)二面角B-AP-C的大小為3 ,則cosS =工=工3S原333面角B - AP -C的大小為3 = arccos 3練習(xí)1:如圖5, E為正方體 ABCD A1B1c1D1的棱CCi的中點(diǎn)，求平面 ABiE和底面AiBiCiDi所成銳角的余弦值.A2（答案：所求二面角的余弦值為cose =-）3圖52.如圖一，在四棱錐PABCD中，底面 ABCD是矩形， PA_L平面ABCD ,AP=

4、AB =2,BC =2，2,E, F 分別是 AD, PC 的中點(diǎn).(1)證明：PC_L平面BEF ； (2)求平面BEF與平面BAP夾角的大小.題(1)解略；題(2)中平面BEF與平面BAP夾角即為平面 BEF與平面 BAP所成的銳二面角.方法一：垂面法在圖中找到或作出一個(gè)與二面角的兩個(gè)半平面均垂直的平面，此平面截得 的圖形便是二面角的平面角 .如圖一：；'PA_L平面 ABCD , BC 匚平面 ABCD： PA_LBC.又,.,BC _L AB, ABp|PA = A： BC_L 平面 BAP.又B BC u平面PBC ,.平面PBC _L平面BAP.由題（1）, PC _L平面

5、BEF, PC二平面BEF ,二平面PBC _L平面BEF .所以N PBF是所求二面角的平面角.P PB = VpA2 + AB2 :2應(yīng),PFPC =LaB2 + BC2 + PA2 , 22 PF ,2 二sin ZPBF，/PBF .PB 24即平面BEF與平面BAP夾角為 .方法二：平移平面法如果兩平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么這兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面所成的二面角相等或互補(bǔ).利用此結(jié)論可以平移某一平面到合適的位置以便作出二面角的平面角如圖二：取BC的中點(diǎn)G ,連接FG, EG .'/ E,F 分別是 AD,PC 的中點(diǎn)，, EG A AB, FG P PB .又'

6、;.'FG pEG =G, ABpPB = B,二平面EFG 平面BAP.二二面角B-EF-G的大小就是平面BEF與平面BAP夾角的大小.可以證明ZBFG為二面角B-EF -G的平面角，并求出其大小為 -.方法三：射影法S利用公式cos6 =一，其中S表示二面角的一個(gè)半平面內(nèi)某個(gè)多邊形的面積，S表示S此多邊形在另一個(gè)半平面射影的面積,6表示原圖形與射影圖形所成的二面角如圖三：取PB的中點(diǎn)H ,連接FH , AH ,F 為 PC 中點(diǎn)，:.FH B BC, AE B BC .由解法一知，BC _L平面BAP,- FH _L平面 BAP, AE _L平面 BAP,.點(diǎn)F、E在平面BAP內(nèi)的

7、射影分別為 H、A.BEF在平面BAP上的射影為ABAH .可以證明ABEF和ABAH均為直角三角形.1H HF . BC, AE . BC,HF = BC BC ,2二四邊形HFEA為平行四邊形，EF = AE .記平面BEF與平面BAP夾角為日，則cosH =SBAH- = S .BEF 2TC所以日=1，即平面BEF與平面bap夾角為，.3.已知&ABC是正三角形，PA_L平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。B思維二面角的大小是由二面角的平面角 來度量的，本題可利用三垂線定理（逆）來作平面角，還可以用射影面積公式或異面直線上兩點(diǎn) 間距離公式求二面角的平面角。解

8、1:（三垂線定理法）取AC的中點(diǎn)E,連接BE,過E做EFPC,連接BF丁 PA_L平面 ABC, PA二平面 PAC二平面PAC，平面 ABC,平面PAC，平面ABC=AC- BE_l 平面 PAC 圖1由二垂線定理知 BF_PC二/BFE為二面角A-PC-B的平面角 設(shè) PA=1,E 為 AC 的中點(diǎn)，BE= § ,EF= 'tan BFE = BE = 6 EF/ BFE =argtan 6解2:（三垂線定理法）FM取BC的中點(diǎn)E,連接AE, PE過A做AF 1 PE,AB=AC,PB=PCAE _BC,PE_BCBC_L平面 PAE,BC =平面 PBC平面PAE_L平

9、面PBC, 平面PAE 口平面PBC=PE由三垂線定理知AM _PC，NFMA為二面角A-PC-B的平面角2AP.AE . 21設(shè) PA=1, AM=，AF= -= 2PE 7.42AF.sin. FMA = AM42 .FMA =argsin解3:（投影法）過B作BE1AC于E,連結(jié)PE PA1 平面 ABC, PAu平面 PAC.平面PAC，平面 ABC,平面PAS平面ABC=AC, BE_l 平面 PAC，APEC是APBC在平面PAC上的射影設(shè) PA=1,貝U PB=PC= 2 ,AB=1SPEC2_7_一,S PBC 二由射影面積公式得,COSU: argcos4.在單位正方體 AB1clD1 -ABCD中,求二面角A-AC-B的度數(shù)。A44三垂線法利用三垂線定理或逆定理構(gòu)造出二面角的平面角，進(jìn)而求解。解法一.作AO _L AC ,取AB的中點(diǎn)M ,連結(jié)OM .AM .AM _ABAM bc AM AM -L 平面 A BCAbPIbc =B由三垂線逆定理知OM _ AC/ AOM為所求二面角 A-A1C -B的平面角在RtL AAC中A。嗡AC 6AC 一 3.sinAOMAM 爽AO 一 2.AOM =60：射影法利用斜面面積和射影面積的關(guān)系：S射影=S斜面cos6 （日為斜面與射影所成二面角的平面角）直接求解。解法二、取AC