1、§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函數考試如何考1.考查三角函數的定義及應用；2.考查三角函數的符號；3.考查弧長公式、扇形面積公式復習備考要這樣做1.理解任意角的概念，會在坐標系中表示及識別角；2.掌握三角函數的定義，這是三角函數的基石1 角的概念(1)任意角：定義：角可以看成平面內的一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角(2)所有與角終邊相同的角，連同角在內，構成的角的集合是S|k·360°，kZ(3)象限角：定義：使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個

2、角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，那么這個角不屬于任何一個象限分類：角按終邊位置不同分為象限角和軸線角2 弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角，正角的弧度數是正數，負角的弧度數是負數，零角的弧度數是零(2)用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制|，l是以角作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑比值與所取的r的大小無關，僅與角的大小有關(3)角度制和弧度制的互化：180° rad,1° rad,1 rad°.(4)扇形的弧長公式：l|·r，扇形的面積公式：Slr|·r2.3 任意角的三角函數(1)任意角的終邊與單位

3、圓交于點P(x，y)時，sin y，cos x，tan .三個三角函數的初步性質如下表：三角函數定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號sin Rcos Rtan |k+ ,kZ (2)三角函數在各象限內的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦4 三角函數線如下圖，設角的終邊與單位圓交于點P，過P作PMx軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長線相交于點T.三角函數線()()()()有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線難點正本疑點清源1 對角概念的理解要準確(1)不少同學往往容易把“小于90°的角”等同于“銳角”

4、，把“0°90°的角”等同于“第一象限的角”其實銳角的集合是|0°<<90°，第一象限角的集合為|k·360°<<k·360°90°，kZ(2)終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同，終邊相同的角的同一三角函數值相等2 對三角函數的理解要透徹三角函數也是一種函數，它可以看成是從一個角(弧度制)的集合到一個比值的集合的函數，也可以看成是以實數為自變量的函數，定義域為使比值有意義的角的范圍如tan 有意義的條件是角終邊上任一點P(x，y)的橫坐標不等于零，也就是角的終邊不能與y軸

5、重合，故正切函數的定義域為.3 三角函數線是三角函數的幾何表示(1)正弦線、正切線的方向同縱軸一致，向上為正，向下為負(2)余弦線的方向同橫軸一致，向右為正，向左為負(3)當角的終邊在x軸上時，點T與點A重合，此時正切線變成了一個點，當角的終邊在y軸上時，點T不存在，即正切線不存在(4)在“數”的角度認識任意角的三角函數的基礎上，還可以從圖形角度考察任意角的三角函數，即用有向線段表示三角函數值，這是三角函數與其他基本初等函數不同的地方1 若點P在角的終邊上，且|OP|2，則點P的坐標是_答案(1，) 解析x|OP|cos 2×1，y|OP|sin .點P的坐標為(1，)2已知角的頂點

6、為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角終邊上一點，且sin ，則y_.答案8 解析因為sin ，所以y<0，且y264，所以y8.3 下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A2k45° (kZ) Bk·360° (kZ) Ck·360°315°(kZ) Dk (kZ)答案C 解析與的終邊相同的角可以寫成2k (kZ)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確4 已知cos ·tan <0，那么角是()A第一或第二象限角 B第二或第三象限角 C第三或第四象限角 D第一或第四象限角答案C 解若c

7、os >0，tan <0，則在第四象限；若cos <0，tan >0，則在第三象限，選C.5 已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的圓心角的弧度數是 ()A1 B4 C1或4 D2或4答案C 解析設此扇形的半徑為r，弧長為l，則解得或從而4或1.題型一角的有關問題例1(1)寫出終邊在直線yx上的角的集合；(2)若角的終邊與角的終邊相同，求在0,2)內終邊與角的終邊相同的角；(3)已知角是第一象限角，試確定2、所在的象限思維啟迪：利用終邊相同的角進行表示或判斷；根據角的定義可以把角放在坐標系中確定所在象限解(1)終邊在直線yx上的角的集合為|k，kZ(2)所

8、有與角終邊相同的角的集合是|2k，kZ，所有與角終邊相同的角可表示為k，kZ.，在0,2)內終邊與角終邊相同的角有，.(3)2k<<2k，kZ， 4k<2<4k，k<<k，kZ.2在第一或第二象限或終邊在y軸非負半軸上，角終邊在第一或第三象限探究提高所有與角終邊相同的角(連同角在內)，可以表示為k·360°，kZ；在確定角所在象限時，有時需要對整數k的奇、偶情況進行討論 已知角45°，(1)在區間720°，0°內找出所有與角有相同終邊的角；(2)設集合M，N，那么兩集合的關系是什么？解(1)所有與角有相同終邊

9、的角可表示為45°k×360°(kZ)，則令720°45°k×360°0°，得765°k×360°45°，解得k，從而k2或k1，代入得675°或315°.(2)因為Mx|x(2k1)×45°，kZ表示的是終邊落在四個象限的平分線上的角的集合；而集合Nx|x(k1)×45°，kZ表示終邊落在坐標軸或四個象限平分線上的角的集合，從而MN.題型二三角函數的定義例2已知角的終邊經過點P(x，) (x0)，且cos x，求s

10、in 的值思維啟迪：先根據任意角的三角函數的定義求x，再求sin 的值解P(x，) (x0)，點P到原點的距離r.。又cos x，cos x.x0，x±.r2.當x時，P點坐標為(，)，由三角函數的定義，有sin ，sin ；當x時，同理可求得sin .探究提高任意角的三角函數值與終邊所在的位置有關，與點在終邊上的位置無關，故要首先判定P點所在的象限，確定r，最后根據定義求解 已知角的終邊在直線3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解角的終邊在直線3x4y0上，在角的終邊上任取一點P(4t，3t) (t0)，則x4t，y3t，r5|t|，當t>0時，r5t，sin ，

11、cos ，tan ；當t<0時，r5t，sin ，cos ，tan .綜上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan .題型三三角函數線、三角函數值的符號例3(1)若是第二象限角，試判斷的符號；(2)已知cos ，求角的集合思維啟迪：由所在象限，可以確定sin 、cos 的符號；解三角不等式，可以利用三角函數線解(1)2k<<2k (kZ)，1<cos <0,4k<2<4k2 (kZ)，1sin 2<0，sin(cos )<0，cos(sin 2)>0.<0，的符號是負號(2)作直線x交單位圓于C、D兩點，連

12、接OC、OD，則OC與OD圍成的區域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為|2k2k，kZ探究提高(1)熟練掌握三角函數在各象限的符號(2)利用單位圓解三角不等式(組)的一般步驟：用邊界值定出角的終邊位置；根據不等式(組)定出角的范圍；求交集，找單位圓中公共的部分；寫出角的表達式 (1)y的定義域為_答案x|2kx2k，kZ解析sin x，作直線y交單位圓于A、B兩點，連接OA、OB，則OA與OB圍成的區域(圖中陰影部分)即為角的終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為x|2kx2k，kZ(2)已知sin 2<0，且|cos |cos ，則點P(tan ，cos )在第幾象限

13、？解方法一由sin 2<0，得2k<2<2k2 (kZ)，k<<k (kZ)當k為奇數時，的終邊在第四象限；當k為偶數時，的終邊在第二象限又因cos 0，所以的終邊在左半坐標平面(包括y軸)，所以的終邊在第二象限所以tan <0，cos <0，點P在第三象限方法二由|cos |cos 知cos 0， 又sin 2<0，即2sin cos <0，由可推出，因此在第二象限，P(tan ，cos )在第三象限題型四扇形的弧長、面積公式的應用例4已知一扇形的圓心角為 (>0)，所在圓的半徑為R.(1)若60°，R10 cm，求扇形的

14、弧長及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長是一定值C (C>0)，當為多少弧度時，該扇形有最大面積？思維啟迪：(1)弓形面積可由扇形面積與三角形面積相減得到；(2)建立關于的函數解(1)設弧長為l，弓形面積為S弓，則60°，R10，l×10 (cm)，S弓S扇S××10×102×sin 50 (cm2)(2)扇形周長C2Rl2RR，R，S扇·R2·2··. 當且僅當24，即2時，扇形面積有最大值.探究提高(1)在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷(2)從扇形面積出發

15、，在弧度制下使問題轉化為關于的不等式或利用二次函數求最值的方法確定相應最值(3)記住下列公式：lR；SlR；SR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長，(0<<2)為圓心角，S是扇形面積 (1)一個半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度？扇形的面積是多少？(2)一扇形的周長為20 cm；當扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？解(1)設扇形的圓心角為 rad，則扇形的周長是2rr. 依題意：2rrr，(2) rad.扇形的面積Sr2(2)r2.(2)設扇形的半徑為r，弧長為l，則l2r20，即l202r (0<r<10)扇形的面積

16、Slr(202r)rr210r(r5)225. 當r5時，S有最大值25，此時l10，2 rad.因此，當2 rad時，扇形的面積取得最大值數形結合思想在三角函數線中的應用典例：(12分)(1)求函數ylg(34sin2x)的定義域；(2)設是第二象限角，試比較sin ，cos ，tan 的大小審題視角(1)求定義域，就是求使34sin2x>0的x的范圍用三角函數線求解(2)比較大小，可以從以下幾個角度觀察：是第二象限角，是第幾象限角？首先應予以確定sin ，cos ，tan 不能求出確定值，但可以畫出三角函數線借助三角函數線比較大小規范解答 解(1)34sin2x>0，sin2x

17、<，<sin x<.2分利用三角函數線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，x(kZ)4分(2)是第二象限角，2k<<2k，kZ，k<<k，kZ，是第一或第三象限的角6分(如圖陰影部分)，結合單位圓上的三角函數線可得：當是第一象限角時，sin AB，cos OA，tan CT，從而得，cos <sin <tan ；8分當是第三象限角時，sin EF，cos OE，tan CT，得sin <cos <tan .10分綜上可得，當在第一象限時，cos <sin <tan ；當在第三象限時，sin <cos

18、<tan .12分溫馨提醒1.第(1)小題的實質是解一個簡單的三角不等式，可以用三角函數圖像，也可以用三角函數線用三角函數線更方便.2.第(2)小題比較大小，由于沒有給出具體的角度，所以用圖形可以更直觀的表示.3.本題易錯點：不能確定所在的象限；想不到應用三角函數線原因在于概念理解不透，方法不夠靈活方法與技巧1在利用三角函數定義時，點P可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點|OP|r一定是正值2三角函數符號是重點，也是難點，在理解的基礎上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數線是一個小技巧失誤與防范1注意易混概念的區別：第一象限

19、角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角第一類是象限角，第二、第三類是區間角2角度制與弧度制可利用180° rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用3注意熟記0°360°間特殊角的弧度表示A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 角的終邊過點P(1,2)，則sin 等于()A. B. C D答案B 解析由三角函數的定義， 得sin .2 若是第三象限角，則下列各式中不成立的是()Asin cos <0 Btan sin <0 Ccos tan <0 Dtan sin

20、<0答案B 解析在第三象限，sin <0，cos <0，tan >0，則可排除A、C、D，故選B.3 已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數是4，則扇形的周長為()A2 B4 C6 D8答案C 解析設扇形的半徑為R，則R2|2， R21，R1，扇形的周長為2R|·R246，故選C.4 有下列命題：終邊相同的角的同名三角函數的值相等；終邊不同的角的同名三角函數的值不等；若sin >0，則是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且P(x，y)是其終邊上一點，則cos .其中正確的命題的個數是()A1 B2 C3 D4答案A 解析正確，不正確，sin sin ，

21、而與角的終邊不相同不正確sin >0，的終邊也可能在y軸的非負半軸上不正確在三角函數的定義中，cos ，不論角在平面直角坐標系的任何位置，結論都成立二、填空題(每小題5分，共15分)5 已知點P(tan ，cos )在第三象限，則角的終邊在第_象限答案二 解析點P在第三象限，tan <0，cos <0. 在第二象限6 設為第二象限角，其終邊上一點為P(m，)，且cos m，則sin 的值為_答案 解析設P(m，)到原點O的距離為r， 則cos m，r2，sin .7函數y的定義域是_答案(kZ) 解析由題意知即x的取值范圍為2kx2k，kZ.三、解答題(共22分)8 (10分

22、)已知角的終邊經過點P(，m) (m0)且sin m，試判斷角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由題意，得r， 所以sin m.因為m0，所以m±，故角是第二或第三象限角當m時，r2，點P的坐標為(，)，角是第二象限角，所以cos ， tan ；當m時，r2，點P的坐標為(，)，角是第三象限角，所以cos ， tan .9(12分)一個扇形OAB的面積是1 cm2，它的周長是4 cm，求圓心角的弧度數和弦長AB.解設圓的半徑為r cm，弧長為l cm，則解得圓心角2.如圖，過O作OHAB于H，則AOH1弧度AH1·sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)

23、B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 已知角的終邊過點P(8m，6sin 30°)，且cos ，則m的值為()A B. C D.答案B解析r，cos ， m>0，即m.2 已知點P落在角的終邊上，且0,2)，則的值為()A. B. C. D.答案D 解析由sin >0，cos <0知角是第四象限的角，tan 1，0,2)，.3 給出下列命題：第二象限角大于第一象限角；三角形的內角是第一象限角或第二象限角；不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關；若sin sin ，則與的終邊相同；若cos <0，則是第二或第三象限的角其中正確命題的個數是()A1 B2 C3 D4答案A解析由于第一象