1、2020年全國普通高等學校統一招生考試試驗檢測卷2（文科）考試時間：120分鐘本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分.考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生要務必填寫答題卷上的有關項目（填寫好自己的姓名、考號等信息）.2.選擇題每小題選出答案后，用2b鉛筆把答案涂在答題卷相應的位置上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區域內：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案：不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效.4.請考生保持答題卷的整潔.考試結束后，將答題卷交回.第卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共12小題.在每小題給出的四個

2、選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知的共軛復數為（其中為虛數單位），則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由復數的運算法則化復數為一般形式，然后由模的定義計算?！驹斀狻扛鶕}意，則，于是.故選：b【點睛】本題以復數的簡單運算為素材，目的是考查考生對復數運算法則的掌握情況和復數模的計算，本題計算量小，屬于基礎題2. 設集合，若，則實數的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據題意先簡化，而含參數，故對參數進行分類討論，進一步得到答案.【詳解】集合,當時，或，結合數軸作圖知，即得；當時，顯然；當時，或，結合數軸作圖知，此時恒成立，由知.故選

3、：b.【點睛】本題考查是集合相關概念和分類討論思想，命題體現了直觀想象、數學基本運算的核心素養，屬于比較簡單的題型.3. 已知函數a. b. c. d. 【答案】d【解析】試題分析：設，則，所以，所以答案為d.考點：1.對數函數的運算律；2.換元法.4. 已知在正四棱錐的底面邊長為，其左視圖如圖所示，當主視圖的面積最大時，該四棱錐的體積和表面積分別為（ ）a. ，8b. ，c. ，d. ，【答案】c【解析】分析】根據左視圖準確還原幾何體，求出a和h的關系，再確定出主視圖的形狀，表示出主視圖的面積，由基本不等式求出最大值以及對應的a和h的值，代入棱錐的體積公式和表面積公式求解【詳解】由題意畫出正

4、四棱錐如下圖，其左視圖與主視圖應完全相同，其平面圖形為等腰三角形，其腰長均為2，底邊長為，設四棱錐的高為，則四棱錐的斜高，所以，于是主視圖的面積為：，當且僅當時，最大，此時該四棱錐體積為，其表面積為.故選：c.【點睛】本題以正四棱錐為背景考查對三視圖的基礎知識和基本技能的掌握與運用，考查空間想象和運算求解能力，考查通過對三視圖的觀察分析，挖掘數量關系及不等式模型，體現了數學轉化、數學應用意識、數學思維的嚴密性和諧美學思想.，符合新課標的改革目標方向.，屬于?？碱}.5. 已知函數（為常數），若數列，且，則數列前100項和為（ ）a. 78800b. c. 39400d. 【答案】d【解析】【分析

5、】首先要將條件轉換熟知的等差數列，由代入求得的值，從而求得等差數列的通項公式，然后利用求和公式求得，代入100即可求得結果.【詳解】，解得，所以，進而.于是，故選：d.【點睛】本題以一次函數為載體，考查的是等差數列前項和公式的應用，解決此題這考查了考生的邏輯思維能力和運算求解能力.6. 已知變量、相對應的一組數據為(10，1.5)，(11，3.2)，(11，8.3)，(12.5，14)，(13，5)，變量、相對應的一組數據為(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，用表示變量與之間的線性相關系數，用表示變量之間的線性相關系數，則有（ ）a. b. c.

6、d. 【答案】c【解析】【分析】在回歸線性方程應用中易知回歸系數（為回歸方程的斜率，、分別為變量、的方差），從二組數據中看出數，故， ，最終得到答案.【詳解】從第一組數據中看出數，故；從第二組數據中看出數，故；于是有，.故選：c.【點睛】命題人通過給出的兩組數據為依托，考查考生對數據的觀察和分析能力，然而作出變量相關關系判斷，這體現了考生對數學的應用，數學推理的核心素養，難度中等.7. 已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】利用兩角差的正切公式求出，再利用二倍角公式以及同角三角函數的基本關系即可求解.【詳解】，則.故選：a【點睛】本題以三角正切函數值為依托，考查了正切

7、的兩角差公式和倍角公式的運用，此題以考生最熟悉的知識呈現，面向考生，試題注重基礎，針對性強，同時考查了考生的運算求解能力及邏輯推理能力，屬于基礎題.8. 設，對雙元函數定義為：；.則的值為（ ）a. 1b. 2c. d. 【答案】c【解析】【分析】由得，.當且時，先根據，再根據得，進而先由再由及求得，代入可得選項.【詳解】由；可得，.當且時，又.即.將代入得整理得，解得故選：c.【點睛】本題是以新定義形式給出的創新背景題，其構思新穎巧妙，設制本題的目的是要求學生在閱讀理解的基礎上根據題中提供的信息，建立合理的數學模型，聯系所學的知識方法實現信息的遷移轉化，給學生以生考熟的展示機會，借引入新的概

8、念進行抽象與概括，對所學知識的更深度的理解，揭示對新知識的本質認識.本題是理性思維的具體體現，應引起各位學生的足夠重視.屬于中檔題.9. 已知點是雙曲線，的左焦點，點是該雙曲線的右頂點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】求出通徑長，由題意可得，直角三角形中，解不等式即可.【詳解】直線過焦點且垂直于軸，即通徑長，顯然，即，易知右頂點，而是銳角三角形，故.根據對稱性即，在直角三角形中，解得.故選：a.【點睛】本題主要目的考查的是考生應用雙曲線相關知識解決問題的能力及解題過程中的邏輯推理能力和運

9、算求解能力和綜合應用知識的能力，試題以通性通法為基礎，為不同能力水平的考生提供了研究空間，突出了選拔功能，屬于基礎題.10. 已知關于的一元二次函數，其中實數，滿足，則函數在區間上是增函數的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據，得到區間上是增函數的充要條件為，再根據實數，滿足，畫出平面區域，分別求出其面積，然后代入幾何概型的概率公式求解.【詳解】，在區間上是增函數的充要條件為，即，又實數，滿足的平面區域如圖所示（直角三角形），問題等價于向區域直角三角形中任意投擲點，點落在區域（其中點的坐標是中的概率，即所求概率為，故選：b.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率求法以

10、及二次函數及二元一次不等式，還考查了數形結合的思想方法，屬于基礎題.11. 定義為兩個向量，間的“距離”，若向量，滿足下列條件：()；()；()對于任意的，恒有，現給出下面結論的編號，.則以上正確的編號為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據題意可得，轉化為對于任意的恒成立，即，整理得，再利用向量的數量積逐一判斷即可.【詳解】由于，又對于，恒有，顯然有，即，則對于任意的恒成立，顯然有成立，即，則，故序號錯誤，進而，于是，得，即序號正確.再由得，得，顯然序號正確.從而序號錯誤，再由，故序號錯誤.綜上知本題正確的序號為.故選：b.【點睛】本題命制是以新定義為背景，考查向量長度

11、及數量積等知識概念，同時考查了等價轉換、不等式恒成立問題，符合以生考熟的高考理念，考查知識內容源于教材，試題面向全體考生，不同思維能力層次的考生度可以利用熟悉的通法來解決問題，從而增強考生的自信心，有利于考生正常發揮，屬于中檔題.12. 已知定義在上的函數滿足：，某同學由此前提條件出發，然后又補充了一個附加條件，再經過推理，他得出四個結論，并且給其編號：.若時，是奇函數且一定是單調增函數；.若，是偶函數且有最大值為1；.若，則；.若，則.請你確認該同學做出的所有編號中其中正確的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】，令，可以得到，即是奇函數，進一步判斷正確與否；，令，可以得

12、到，即是偶函數，設一個特殊函數，進一步化簡得到答案; 根據，答案顯然成立； ，特取，化簡得到，進一步化簡得到是最小正周期為6的周期函數，進一步化簡得到答案.【詳解】由已知關系式，對于序號，故令，得，則，是奇函數，設時，由不能保證推出，故序號不能肯定成立；對于序號，時，令，則，進而有，是偶函數，此時不妨特取，顯然有，即滿足，且有最大值1.故序號成立.對于序號來說，序號正確，顯然，有，故序號c正確.對于序號，特取，則，進而有，整理得.且有由得，推得，又得，是最小正周期為6的周期函數，根據，特取，則得.再取，即，解得，令，.于是，解得.故序號正確.綜上所述，本題正確的序號為.故選：d.【點睛】本題以

13、抽象函數模型為載體，綜合考查函數的奇偶性，單調性、周期性及函數本質特征，同時還考查了考生的觀察、歸納、合情推理的思想方法及邏輯推理能力和運算求解能力.解決本題必須具備具有一定的基礎知識和基本功.第卷（非選擇題）二、填空題（分單空和多空）：本題共4小題.13. 已知數列滿足，為數列的前項和，則數列的第10項為_.【答案】23.【解析】【分析】首先由數列的通項公式求出其前項和，進而求出數列的通項公式，然后求出其第10項.【詳解】解：數列的通項公式為（一次函數型），即知為等差數列，即其前項為（二次函數型，其中，），于是數列的通項公式為，于是.故答案為：23.【點睛】本題命制是以等差數列通項公式為載體

14、，考查的是數列前項和與通項公式的轉化與化歸的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題型.14. 已知單位向量滿足，則與的夾角是_【答案】【解析】【詳解】非零單位向量滿足，則， ，設與的夾角是的夾角是， ，故答案為.【方法點睛】本題主要考查向量的模、夾角及平面向量數量積公式，屬于中檔題. 平面向量數量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角， （此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）.15. 已知曲線與圓相交于、兩點，則圓的半徑_，弦的中垂線方程為_.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】由配

15、方法得圓的標準方程后可得圓心坐標和半徑，根據圓與已知曲線都關于直線對稱得它們的交點也關于直線，易得弦中垂線方程【詳解】曲線的圖象關于直線軸對稱，又圓的標準方程為，顯然圓的半徑，圓心坐標為在直線上，圓的圖象必關于直線對稱，因此交點關于直線對稱，弦的中垂線方程為.故答案為：；.【點睛】本題以兩條曲線相交為背景，考查曲線的對稱性，考查學生分析問題解決問題的能力，考查考生以生考熟、化繁為簡，化難為易的解題的基本方法.16. 關于下列兩個命題：設是定義在上的偶函數，且當時，單調，則方程的所有根之和為_；對于有性質：“對時，必有.現給定；現與對比，中、中同樣也有性質的序號為_.【答案】 (1). (2).

16、 【解析】【分析】(1)對于，利用函數為偶函數可知關于y軸對稱且，有或即可求所有根之和；(2)由命題“對時，必有”知對于集合m上點，將點坐標都縮小到原來仍在m上，即幾何上這樣m集合是平面中一個閉合的被填滿的面，a代表一個圓上的點集，b代表橢圓面的點集，即可知答案【詳解】(1)是定義在上的偶函數當滿足時，有兩種可能當與在軸同側時，則，得，設方程的兩個根為，顯然當與在軸兩側時，則，得，設方程的兩個根為，此時顯然滿足方程的所有根之和為(2)現結合的性質來研究、對于，即簡化為：，易知點在此圓上，取，但不在上.于是錯誤.對于，即是橢圓上及內部的一切點，顯然當時，點必在橢圓內，則具備性質故答案為：-8；【

17、點睛】本題以兩個獨立命題形式給出，發散思維的能力，同時考查了考生解題思維的跳躍性和連續性及邏輯推理能力，運算求解能力，綜合應用能力，屬于偏難.三、解答題：本大題共6小題.解答必須寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17. 在下面題目中，補充一個條件，使得有兩個不同解，并解答下列問題.設，則補充的條件為_；這個三角形的面積是否存在最值？如果有，請求出其最值，如果沒有請說明理由.【答案】補充的條件是：，或者是，不存在；答案見解析.【解析】【分析】當時，三角形有兩解，根據題意寫出兩解的條件，由三角形的邊與的長度為開區間，故面積不存在最值.【詳解】先做草圖，由出發，作邊上的高（為垂足），已知即，結

18、合圖形觀察知，當時，即時，此時有兩解，即為（為鈍角）或（為銳角，此時）.由此可確定：為使在，時有兩個解所補充的條件是：，或者是，三角形的邊與的長度為開區間，故面積不存在最值.【點睛】本題主要考查三角形的解的個數，同時考查了考生的邏輯推理能力、直觀想象能力.18. 如圖所示，在三棱錐中，平面，分別是的中點，與交于，與交于點，連接（）求證：；（）求二面角的余弦值【答案】（）見解析 （）【解析】【詳解】解法一 （）在中，分別是的中點，則是的重心，同理，所以，因此又因為是的中位線，所以.（）解法1 因為，所以,又，所以平面，平面，為二面角的平面角，不妨設由三角形知識可得由余弦定理得解法2分別以所在直線

19、為軸建立空間直角坐標系，如圖不妨設則設平面的法向量為，則，所以，令得同理求得平面一個法向量為，因此由圖形可知二面角的余弦值為解法二（）證明：因為分別是的中點，所以,，所以，又平面，平面，所以平面，又平面,平面平面，所以，又，所以.（）解法一：在中,所以，即,因為平面,所以，又，所以平面，由（）知,所以平面，又平面，所以，同理可得，所以為二面角的平面角，設,連接，在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 又為的重心，所以同理,在中，由余弦定理得， 即二面角的余弦值為.解法二：在中，,所以，又平面,所以兩兩垂直，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則,，,

20、所以,設平面的一個法向量為，由，,得取，得.設平面的一個法向量為由，,得取，得.所以因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.【考點定位】本題考查了空間直線的位置關系的判定和二面角的求法，考查了空間想象能力、推理論證能力和運算能力第一問主要涉及平面幾何的圖形性質，中點形成的平行線是常考點之一，論證較為簡單第二問有兩種方法可以解決，因圖形結構的簡潔性，推理論證較為簡單，而利用空間向量運算求解二面角就相對復雜了.19. 某醫學科研單位有甲，乙兩個專門從事病毒治愈的研發小組，為了比較他們的研發水平，現隨機抽取了這兩個小組在過去一年里其中經過15次各自研發的新藥結果如下：，.其中，分別表示甲組研發新藥成

21、功和失??；，分別表示乙組研發新藥成功與失敗.（1）若某組成功研發一種新藥，則該組可直接為本單位創造經濟價值為5萬余元，并且單位獎勵給該組1千元，否則就虧損1萬余元，獎勵0元，試計算甲，乙兩組研發新藥的經濟效益的平均數和獎金的方差，并且比較甲乙兩組的研發水平；（2）若該醫學科研單位安排甲，乙兩組各自獨立的研發一種新藥.試估算恰有一組研發新藥成功的概率；給定法則：設，是兩個事件，事件是否發生對事件無影響，若事件，所發生的概率分別記為，則事件，同時發生的概率為.試求甲，乙兩組同時都研發新藥成功的概率.【答案】（1）甲，乙兩組研發新藥的經濟效益的平均數分別為：3（萬元），2.6（萬元）；獎金的方差分別

22、為：，；甲組的研發水平應高于乙組研發水平；（2）；.【解析】【分析】（1）先計算甲，乙兩組為單位貢獻的經濟效益的平均數，然后求甲乙兩組獎金的方差數，并且進行數據比較分析.（2）利用古典概型的計算公式可以求解.【詳解】（1）甲組研發新藥的貢獻效益依次為5，5，5，5，5，5，5，5，5，5.則甲組貢獻經濟效益金的平均值（萬元）.甲組獲得獎金額依次為1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1（千元），甲組獲得資金的平均值（千元），甲組獲得資金的方差.乙組研發新藥的貢獻效益依次為5，5，5，5，5，5，5，5，5.則乙組貢獻經濟效益金的平均值（萬元）.乙組獲得獎金額依次為1，0，1，

23、1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1（千元）乙組獲得獎金的平均值（千元），乙組獲得獎金的方差.從而可以確定；但，綜上所述，從所得數據看，甲組的研發水平應高于乙組研發水平.（2）記事件恰有一組研發新藥成功，在抽得的15個結果中，恰有一組研發新藥成功的結果為，共7個.故事件發生的概率為.將頻率視為概率，即得所求概率為.根據已知研發結果得甲單獨研發新藥成功的概率為，乙單獨研發新藥成功的概率為，根據給定法則知：甲，乙兩組同時都研發新藥成功的概率為.【點睛】本題以生活科研實踐為素材，提出和研發問題，綜合考查考生靈活運用所學的統計與概率知識分析，處理數據并且解決實際問題的能力，體現了理性思維和數

24、學應用，數學探究的學科素養，落實了應用性的考查要求.屬于中檔題.20. 已知直線與曲線在點處相切，且與軸交點的橫坐標為.（1）求函數的單調減區間；（2）在前提下，試確定曲線與直線交點個數.【答案】（1）；（2）函數與直線只有唯一交點.【解析】【分析】（1）由導數幾何意義得出切線方程，求出切線與軸交點坐標后可求得，然后利用導數的正負得單調區間；（2）構造新函數，證明在時有唯一零點，在時無零點，從而證得題中結論【詳解】（1）根據題意應先對函數求導，即，是切點，則的斜率為，則切線方程為，與軸相交，令，進而得，即.于是，又單調遞減，令，解得，即函數的單調減區間為.（2）由（1）知，設.在，即前提下：當

25、，顯然，即在上遞增，且，即存在，使得，故只有唯一根.此時曲線與直線只有唯一交點.當時，設，時，遞減時，遞增，時，即，此時.顯然在恒成立，故與直線不存在交點.綜上所述，時，函數與直線只有唯一交點.【點睛】本題以三次函數為載體，目的是利用導數作為工具研究函數的單調性、導函數的幾何意義，同時還考查了函數的零點概念、分類討論思想及推理論證能力.試題解法靈活多樣，另外對此題的求解策略以及推理論證能力都提出了較高要求，有利于不同學習程度的考生作答，這凸顯了選拔功能.本題屬于難題.21. 從拋物線和橢圓上各取兩點，將其坐標記錄于下表中：01（1）求拋物線和橢圓的方程；（2）拋物線和橢圓的交點記為、，點為橢圓上任意一點，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）判斷哪兩點在拋物線上，剩下兩個點在橢圓上，代入方程可求得參數，得結論；（2）求出兩曲線中坐標，設是上動點，得.計算化為的函數后可得取值范圍【詳解】（1），當時，根據表格的數據驗證，可知，滿足方程，解得，得拋物線方程為.將，代入橢圓可得，即橢圓.（2）由，解得或即得，.設是上動點，則.即得.于是有：.即.于是.故的取值范圍是.【點睛】本題以圖表為載體，考查考生觀察能力、判斷問題和數據處理能力