1、垂心三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。銳角三角形垂心在三角形內(nèi)部。直角三角形垂心在三角形直角頂點(diǎn)。鈍角三角形垂心在三角形外部。垂心是高線(xiàn)的交點(diǎn)垂心是從三角形的各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所作的三條垂線(xiàn)的交點(diǎn)。三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7 個(gè)點(diǎn)可以得到6 個(gè)四點(diǎn)圓。三角形上作三高，三高必于垂心交。高線(xiàn)分割三角形，出現(xiàn)直角三對(duì)整，直角三角有十二，構(gòu)成六對(duì)相似形，四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清，重心重心是三角形三邊中線(xiàn)的交點(diǎn)，三線(xiàn)交一可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。證明過(guò)程又是塞瓦定理的特例。重心的幾條性質(zhì)：1 、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2： 1 。2、重心和三角形3 個(gè)頂點(diǎn)組成的3 個(gè)

2、三角形面積相等。3、重心到三角形3 個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為（X1+X2+X3）/3,（Y1+Y2+Y3）/3 ）空間直角坐標(biāo)系 橫坐標(biāo)：（X1+X2+X3）/3縱坐 標(biāo)：（Y1+Y2+Y3）/3®坐標(biāo)：（z1+z2+z3 /35、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)內(nèi)心內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，即內(nèi)切圓的圓心。內(nèi)心是三角形角平分線(xiàn)交點(diǎn)的原理：經(jīng)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，這一點(diǎn)與圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角（原理：角平分線(xiàn)上點(diǎn)到角兩邊距離相等）。內(nèi)心定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。注意到

3、內(nèi)心到三邊距離相等（為內(nèi)切圓半徑），內(nèi)心定理其實(shí)極易證。若三邊分別為11, 12, 13,周長(zhǎng)為p,則內(nèi)心的重心坐標(biāo)為（I1/p,l2/p,l3/p）直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。雙曲線(xiàn)上任一支上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形的內(nèi)心在實(shí)軸的射影為對(duì)應(yīng)支的頂點(diǎn)。希望對(duì)你有幫助！三角形五心定律三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱(chēng)之為三角形的五心。三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，內(nèi)心定律，旁心定律的總稱(chēng)。一、三角形重心定律三角形的三條邊的中線(xiàn)交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做作三角形的重心。三中線(xiàn)交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。（重心原是一個(gè)物理概念，對(duì)于等

4、厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，重心因而得名）重心的性質(zhì)：1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2： 1。2、重心和三角形3 個(gè)頂點(diǎn)組成的3 個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長(zhǎng)成反比。3、重心到三角形3 個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其重心坐標(biāo)為（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y）3 /3）。二、三角形外心定律三角形的三條邊的垂直平分線(xiàn)交于一點(diǎn)。此點(diǎn)為該三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。注意到外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等。結(jié)合垂直平分線(xiàn)定義，此結(jié)論其實(shí)極好證。外心的性質(zhì)：1

5、、若。是4ABC的外心，則/BOC=2 A （/A為銳角或直角）或 /BOC=360-2/A （/A為鈍角）。3、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心與斜邊中點(diǎn)重合。4、計(jì)算外心的重心坐標(biāo)應(yīng)先計(jì)算下列臨時(shí)變量：d1 ， d2， d3 分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。c1=d2d3， c2=d1d3， c3=d1d2；c=c1+c2+c3 重心坐標(biāo)：（c2+c3）/2c, （c1+c3）/2c, （c1+c2）/2c ）。三、三角形垂心定律三角形的三條高（所在直線(xiàn)）交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的垂心。垂心的性

6、質(zhì)：1 、三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7 個(gè)點(diǎn)可以得到6 個(gè)四點(diǎn)圓。2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線(xiàn)，且OG： GH=1 ： 2。(此直線(xiàn)稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)(Euler line)3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2 倍。4、垂心分每條高線(xiàn)的兩部分乘積相等。定律證明已知：MBC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交于點(diǎn)O,連接CO并延長(zhǎng)交 AB于點(diǎn)F,求證：CN AB證明：連接 DE/ADB=/ AEB=90度.A、B、D、E 四點(diǎn)共圓./ADE=/ ABE: / EAO=Z DAC/ AEO=/ ADU AEO ADCAE/AO=AD/AC EAD A OA

7、C/ACF之 ADE=/ ABE又 / ABE吆 BAC=90度. / ACF吆 BAC=90度. CF! AB因此，垂心定律成立！四、三角形內(nèi)心定律三角形的三條內(nèi)角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，即三角形內(nèi)切圓的圓心。注意到內(nèi)心到三邊距離相等(為內(nèi)切圓半徑)，內(nèi)心定律其實(shí)極 易證。性質(zhì)：若三邊分別為11, 12, 13,周長(zhǎng)為p,則內(nèi)心的重心坐標(biāo)為(l1/p,l2/p,p)。直角三角形的內(nèi)心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之雙曲線(xiàn)上任一支上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成的三角形的內(nèi)心在實(shí)軸的射影為對(duì)應(yīng)支的頂點(diǎn)。五、三角形旁心定律三角形一內(nèi)角平分線(xiàn)和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)。三角形

8、的旁 切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)相切的圓）的圓心，叫做旁心。性質(zhì)：每個(gè)三角形都有三個(gè)旁心。它到三邊的距離相等。如圖，點(diǎn)M就是4ABC的一個(gè)旁心。三角形任意兩角的外角平分線(xiàn)和第三 個(gè)角的內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)。一個(gè)三角形有三個(gè)旁心，而且一定在三角形外。附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時(shí)重心，內(nèi)心，外心，垂心，四心合一。有關(guān)三角形五心的詩(shī)歌三角形五心歌（重外垂內(nèi)旁）三角形有五顆心，重外垂內(nèi)和旁心，五心性質(zhì)很重要，認(rèn)真掌握莫記混重心三條中線(xiàn)定相交，交點(diǎn)位置真奇巧，交點(diǎn)命名為“重心 ”，重心性質(zhì)要明了，重心分割中線(xiàn)段，數(shù)段之比聽(tīng)分曉；長(zhǎng)短之比二比一，靈活運(yùn)用掌握好外心三角形有六元素，三

9、個(gè)內(nèi)角有三邊作三邊的中垂線(xiàn)，三線(xiàn)相交共一點(diǎn)此點(diǎn)定義為外心，用它可作外接圓內(nèi)心外心莫記混，內(nèi)切外接是關(guān)鍵垂心三角形上作三高，三高必于垂心交高線(xiàn)分割三角形，出現(xiàn)直角三對(duì)整，直角三角形有十二，構(gòu)成六對(duì)相似形，四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清內(nèi)心三角對(duì)應(yīng)三頂點(diǎn)，角角都有平分線(xiàn)，三線(xiàn)相交定共點(diǎn)，叫做“內(nèi)心 ”有根源；點(diǎn)至三邊均等距，可作三角形內(nèi)切圓，此圓圓心稱(chēng)“內(nèi)心 ”如此定義理當(dāng)然三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如：（ 1）三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線(xiàn)所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等；（2）三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等；（3）三角形的垂心與三頂點(diǎn)這四點(diǎn)中，任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的

10、垂心；（4）三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心；（8）三角形的中點(diǎn)三角形的外心也是其垂足三角形的外心（9）三角形的任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的二倍.下面是更為詳細(xì)的性質(zhì):1: 垂心三角形三邊上的高的交點(diǎn)稱(chēng)為三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性質(zhì)：設(shè)4ABC的三條高為AD、BE CF其中D、E、F為垂足，垂心為H。性質(zhì)1垂心H關(guān)于三邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，均在 4ABC的外接圓上。性質(zhì)2zABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組（每組

11、四個(gè)）相似的直角三角形，且 AH HD=BHHE=CHHF。性質(zhì)3 H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心 （并稱(chēng) 這樣的四點(diǎn)為一垂心組）。性質(zhì)4AABCAABHABCHACH的外接圓是等圓。性質(zhì)5在非直角三角形中，過(guò)H的直線(xiàn)交AB、AC所在直線(xiàn)分別于P、Q,則 AB/APtanB+AC/AQt anC=tanA+tanB+tanC性質(zhì)6 三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2 倍。性質(zhì)7設(shè)O, H分別為zABC的外心和垂心，則/ BAO=/ HAC,/ABH=/ OBC /BCO之 HCA性質(zhì)8 銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的

12、 2 倍。性質(zhì)9 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形（頂點(diǎn)在原三角形的邊上）中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短。2:內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心簡(jiǎn)稱(chēng)為三角形的內(nèi)心，內(nèi)心有下列優(yōu)美的性質(zhì)：性質(zhì)1設(shè)I為4ABC的內(nèi)心，則I為其內(nèi)心的充要條件是：至U zABC三邊的距 離相等。性質(zhì)2設(shè)I為4ABC的內(nèi)心，則/BIC=90 +12/ A,類(lèi)似地還有兩式；反之 亦然。性質(zhì)3設(shè)I為 ABC內(nèi)一點(diǎn)，AI所在直線(xiàn)交 ABC的外接圓于D。I為AABC 內(nèi)心的充要條件是ID=DB=DC。性質(zhì)4設(shè)I為4ABC的內(nèi)心，BC=a AC=b AB=c, I在BG AG AB上的射 影分別為D、E、F;內(nèi)切圓半

13、徑為r,令p=()(a+b+c)則(1)SAABC=pq (2)r=2SAABC/a+b+g (3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-(4)abcr=pAI BI CI。性質(zhì) 5 三角形一內(nèi)角平分線(xiàn)與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若I為 ABC的/A平分線(xiàn)AD(D在 ABC的外接圓上)上的 點(diǎn)，且DI=DB,則I為4ABC的內(nèi)心。性質(zhì)6設(shè)I為4ABC的內(nèi)心，BC=a AC=b, AB=c, /A的平分線(xiàn)交BC于K, 交 ABC的外接圓于 D,則 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a3:外心三角形的外接圓的圓心簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的外心.外心有如下一系列優(yōu)美性質(zhì)：性質(zhì) 1 三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)；三角形的外心到 三頂點(diǎn)的距離相等，反之亦然。性質(zhì)2設(shè)。為4ABC的外心，則/BOC=2Z A,或/ BOC=360-2/A(還有兩 式 )。性質(zhì) 3 設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)，外接圓的半徑、面積分別為a、 b、 c,R、SA ,貝U R=abc/4SA。性質(zhì)4過(guò)4ABC的外心O任作一直線(xiàn)與邊AB、AC豉延長(zhǎng)線(xiàn))分別相交于 P、Q 兩點(diǎn)，則 AB/APsin2B+ AC/AQsin2C=sin2A+sin2B+sin2C性質(zhì) 5 銳角三角形的外心到三邊的距離