1、B定理的作用：證明一個點在某線段的垂直平分線上B線段的垂直平分線與角平分線(1)知識要點詳解1、線段垂直平分線的性質(1)垂直平分線性質定理： 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點 的距離相等.定理的數學表示：如圖1，已知直線m與線段AB垂直相交于點D, 且AD= BD 若點 C在直線 m上，貝V AC= BC.定理的作用：證明兩條線段相等 n I I r nr 一 i 一 一 r r i(2)線段關于它的垂直平分線對稱課堂筆記:2、線段垂直平分線性質定理的逆定理(1)線段垂直平分線的逆定理:到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.定理的數學表示：如圖 2,已知直線m與線段A

2、B垂直相交于點D,若AC= BC則點C在直線m上.課堂筆記:3、關于三角形三邊垂直平分線的定理(1)關于三角形三邊垂直平分線的定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等定理的數學表示：如圖 3,若直線i,j,k分別是 ABC三邊AB BC CA的垂直平分線，則直線i, j,k相交于一點 Q且OA= OB= OC.定理的作用：證明三角形內的線段相等.(2)三角形三邊垂直平分線的交點位置與三角形形狀的關系:若三角形是銳角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形內部；若三角形是直角三角形, 則它三邊垂直平分線的交點是其斜邊的中點；若三角形是鈍角三角形，則它三邊垂直平分線的

3、交點在三角形外部反之，三角形三邊垂直平分線的交點在三角形內部，則該三角形是銳角三角形；三角 形三邊垂直平分線的交點在三角形的邊上，則該三角形是直角三角形；三角形三邊垂直平分線的交 點在三角形外部，則該三角形是鈍角三角形經典例題:例1 如圖1，在 ABC中，BC = 8cm, AB的垂直平分線交 AB于點D，交邊AC于點E,A BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（A. 6cm課堂筆記：B. 8cm)C. 10cmD. 12cm針對性練習:BC已知：1）如圖，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分線交 AB 于點 D，交 AC于點E,如果 EBC的周長是24cm,那么BC=2）如圖，AB=A

4、C=14cm,AB的垂直平分線交 AB于點D，交AC于點E,如果BC=8cm，那么 EBC的周長是3）如圖，AB=AC,AB的垂直平分線交 AB于點D，交AC于點E,如果/ A=28度，那么/ EBC是例 2.已知： AB=AC，DB=DC，E 是 AD 上一點，求證：BE=CE。課堂筆記:針對性練習：已知：在厶ABC中，ON是AB的垂直平分線，OA=OC求證：點O在BC的垂直平分線A例3.在厶ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與邊 AC所在的直線相交所成銳角為50 °，ZCABC的底角/ B的大小為 課堂筆記:針對性練習：1.在厶ABC中，AB=AC , AB的垂直平分線與 A

5、C所在直線相交所得的銳角為 40°,則底角B的大小 為。例4、如圖8,已知 AD是 ABC的BC邊上的高，且/ C= 2Z B,求證：BD= AC+ CD.證明：在BD上取一點E,使DE= DC,連接AE,貝V AE = AC,課堂筆記:課堂練習：1. 如圖，ACAD, BG=BQ 貝U（）A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CDC.CD平分/ ACBD.以上結論均不對2. 如果三角形三條邊的中垂線的交點在三角形的外部,那么，這個三角形是（）D.等邊三角形A.直角三角形B.銳角三角形 C.鈍角三角形3. 下列命題中正確的命題有（）線段垂直平分線上任一點到線段兩端距離相等；線段上任一

6、點到垂直平分線兩端距離相等；經過線段中點的直線只有一條； 點P在線段AB外且PA=PB,過P作直線MN 則MN是線段AB的垂直平分線；過線段上任一點可以作這條線段的中垂線.A.1個B.2個 C.3個 D.4個4. ABC中,AB的垂直平分線交AC于D,如果AC=5 cm BC=4cm那么 DBC勺周長是（）A.6 cmB.7 cm C.8 cm D.9 cm5. 已知如圖,在厶ABC中 , AB=AC, 0是厶ABC內一點,且OB=OC 求證：AOL BC.6. 如圖,在厶ABC中 , AB=AC, / A=120° , AB的垂直平分線 MN分別交BC AB于點M N.求證：CM=

7、2BM.課后作業：1.如圖7,在厶ABC中，AC 23, AB的垂直平分線交 AB于點D,交BC于點E, ACE的周長為50,求BC邊的長.2.已知：如圖所示，/ ACB，/ ADB都是直角，且 AC=AD , P是AB上任意一點，求證： CP=DP。線段的垂直平分線與角平分線(2)知識要點詳解B4、角平分線的性質定理：角平分線的性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等定理的數學表示：如圖4,已知0E是/AOB的平分線，F是0E上一點,若CF丄0A于點C, DF丄0B于點D,貝V CF= DF.定理的作用：證明兩條線段相等；用于幾何作圖問題；角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在

8、的直線.課堂筆記：5、角平分線性質定理的逆定理:角平分線性質疋理的逆疋理：在角的內部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上定理的數學表示：如圖 5,已知點P在/ AOB的內部，且PCX 0A于C, PD丄OB于 D,若PC= PD,則點P在/ AOB的平分線上.定理的作用：用于證明兩個角相等或證明一條射線是一個角的角平分線O 圖 5 C A 注意角平分線的性質定理與逆定理的區別和聯系.課堂筆記：FIB圖6P D6、關于三角形三條角平分線的定理：(1)關于三角形三條角平分線交點的定理：三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相等定理的數學表示：如圖 6，如果AP、BQ CR分

9、別是 ABC的內角/BAG Z ABC Z ACB的平分線，那么:AP、BQ CR相交于一點I ;若ID、IE、IF分別垂直于 BC CA AB于點 D E、F,貝V DI = EI = FI.定理的作用：用于證明三角形內的線段相等；用于實際中的幾何作圖問題(2)三角形三條角平分線的交點位置與三角形形狀的關系：三角形三個內角角平分線的交點一定在三角形的內部7、關于線段的垂直平分線和角平分線的作圖:(1)會作已知線段的垂直平分線;(2)會作已知角的角平分線;(3)會作與線段垂直平分線和角平分線有關的簡單綜合問題的圖形課堂筆記:經典例題:例1、已知：如圖，點B、C在Z A的兩邊上，且PE±

10、;AB PF丄AC 垂足分別是 E、F。課堂筆記:求證：PE=PF針對性練習：已知： PA、PC分別是 ABC外角Z MAC和Z NCA平分線，它們交于 P, PD丄BM于D, PF丄BN于 F，求證：BP為Z MBN的平分線。例2、如圖10，已知在直角梯形 ABCD中, AB/ CD AB丄BC, E為BC中點，連接 AE DE DE平分Z ADC求證：AE平分Z BAD.課堂筆記:針對性練習:如圖所示，AB=AC , BD=CD , DE 丄 AB 于 E, DF 丄 AC 于 F,求證：DE=DF。例3、如圖11-1，已知在四邊形 ABCD中，對角線BD平分/ ABC且/ BAD與Z BCD互補,求證：AD= CD.課堂練習：1. ABC中，AB=AC , AC的中垂線交 AB于E,AEBC的周長為20cm, AB=2BC，則腰長為。2. 如圖所示，AB/CD ,0為Z A、Z C的平分線的交點，OE丄AC于E,且OE=2,E貝BCMAB與CD之間的距離等于 。/3 已知：如圖，Z B=Z C=90°, DM 平分Z ADC ,AM 平分Z DAB 。求證： M B=MC二課后作業:1.如右圖，