1、第四章圓與方程 單元質量評估（人教A版必修2）(120分鐘 150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.下面表示空間直角坐標系的直觀圖中,正確的個數為()A.1個B.2個C.3個D.4個2.已知圓的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,則點P(3,2)滿足()A.是圓心B.在圓上C.在圓內D.在圓外3.已知空間兩點P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),則|P1P2|等于()A.74B.310C.14D.534.圓心為(2,-1)且經過點(-1,3)的圓的標準方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=25B.(x+2

2、)2+(y-1)2=25C.(x-2)2+(y+1)2=5D.(x+2)2+(y-1)2=55.直線x-y-4=0與圓x2+y2-2x-2y-2=0的位置關系是()A.相交B.相切C.相交且過圓心D.相離6.(2013·廣東高考)垂直于直線y=x+1且與圓x2+y2=1相切于第一象限的直線方程是()A.x+y-2=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+2=07.(2013·黃岡高二檢測)若直線y=kx+1與圓x2+y2+kx+my-4=0交于M,N兩點,且M,N關于直線x+2y=0對稱,則實數k+m=()A.-1B.1C.0D.28.若圓C的半徑為1,圓心在第一

3、象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切,則該圓的標準方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=19.已知A=(x,y)|x2+y2=1,B=(x,y)|(x-5)2+(y-5)2=4,則AB等于()A.B.( 0,0)C.(5,5)D.(0,0),(5,5)10.一條光線從點A(-1,1)出發,經x軸反射到C:(x-2)2+(y-3)2=1上,則光走過的最短路程為()A.1B.2C.3D.411.方程4-x2=lgx的根的個數是()A.0B.1C.2D.無法確定12.過點M(1,2)的直線l

4、與圓C:(x-2)2+y2=9交于A,B兩點,C為圓心,當ACB最小時,直線l的方程為()A.x=1B.y=1C.x-y+1=0D.x-2y+3=0二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中的橫線上)13.(2013·大同高二檢測)已知ABC的三個頂點為A(1,-2,5),B(-1,0,1),C(3,-4,5),則邊BC上的中線長為.14.已知圓C:(x-1)2+(y+2)2=4,點P(0,5),則過P作圓C的切線有且只有條.15.(2013·江西高考)若圓C經過坐標原點和點(4,0),且與直線y=1相切,則圓C的方程是.16.(2013

5、3;浙江高考)直線y=2x+3被圓x2+y2-6x-8y=0所截得的弦長等于.三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側行駛,一輛寬為2.7 m,高為3 m的貨車能不能駛入這個隧道?18.(12分)一個長方體的8個頂點坐標分別為(0,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(3,1,0),(3,1,9),(3,0,9),(0,0,9),(0,1,9).(1)在空間直角坐標系中畫出這個長方體.(2)求這個長方體外接球的球心坐標.(3)求這個長方體外接球的體積.19.(12分)(2

6、013·寧波高二檢測)已知圓C的圓心在直線y=x+1上,且過點A(1,3)與直線x+2y-7=0相切.(1)求圓C的方程.(2)設直線l:ax-y-2=0(a>0)與圓C相交于A,B兩點,求實數a的取值范圍.20.(12分)已知直線l1:x-y-1=0,直線l2:4x+3y+14=0,直線l3:3x+4y+10=0,求圓心在直線l1上,與直線l2相切,截直線l3所得的弦長為6的圓的方程.21.(12分)已知圓C:x2+y2+2x-4y+1=0,O為坐標原點,動點P在圓C外,過P作圓C的切線,設切點為M.(1)若點P運動到(1,3)處,求此時切線l的方程.(2)求滿足條件|PM|

7、=|PO|的點P的軌跡方程.22.(12分)(能力挑戰題)在平面直角坐標系xOy中,已知圓心在第二象限,半徑為22的圓C與直線y=x相切于坐標原點O.(1)求圓C的方程.(2)試探求圓C上是否存在異于原點的點Q,使Q到定點F(4,0)的距離等于線段OF的長.若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.答案解析1.【解析】選C.根據空間直角坐標系的規定可知(1)(2)(4)都正確,(3)中,Oy軸的正向應為負向,所以選C.2.【解析】選C.因為(3-2)2+(2-3)2=2<4,故點P(3,2)在圓內.3.【解析】選A.|P1P2|=(-1-2)2+(3-4)2+(5+3)2=74.4

8、.【解析】選A.因為圓的圓心為(2,-1),半徑為r=(2+1)2+(-1-3)2=5,所以圓的標準方程為(x-2)2+(y+1)2=25.5.【解析】選D.圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=4,則圓心到直線的距離d=|1-1-4|2=22>2,所以直線與圓相離.【變式備選】(2013·鄭州高一檢測)對任意實數k,圓C:(x-3)2+(y-4)2=13與直線l:kx-y-4k+3=0的位置關系是()A.相交B.相切C.相離D.與k取值有關【解析】選A.對任意實數k直線l:kx-y-4k+3=0恒過定點(4,3),而(4-3)2+(3-4)2<13,故定點(4,3)在圓

9、C內部,所以直線與圓相交.6.【解析】選A.由題意知,直線方程可設為x+y-c=0(c>0),則圓心到直線的距離等于半徑1,即|0+0-c|12+12=1,c=2,所求方程為x+y-2=0.7.【解析】選B.由題意知MN的中垂線為直線x+2y=0,所以k=2,此時圓方程為x2+y2+2x+my-4=0,所以圓心坐標為(-1,-m2),代入x+2y=0,得m=-1,所以k+m=1.8.【解析】選A.設圓方程為(x-a)2+(y-b)2=1(a>0,b>0),則有|4a-3b|5=b=1,所以a=2,b=1,所以該圓的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=1.9.【解析】選A.集

10、合A是圓O:x2+y2=1上所有點組成的集合,集合B是圓C:(x-5)2+(y-5)2=4上所有點組成的集合.又O(0,0),r1=1,C(5,5),r2=2,|OC|=52,所以|OC|>r1+r2=3,所以圓O和圓C外離,無公共點,所以AB=.10.【解析】選D.A(-1,1)關于x軸的對稱點B(-1,-1),圓心C(2,3),所以光走過的最短路程為|BC|-1=4.11.【解析】選B.設f(x)=4-x2,g(x)=lgx,則方程根的個數就是f(x)與g(x)兩個函數圖象交點的個數.如圖所示,在同一平面直角坐標系中畫出這兩個函數的圖象.由圖可得函數f(x)=4-x2與g(x)=lg

11、x僅有1個交點,所以方程僅有1個根.12.【解析】選D.當CMl,即弦長最短時,ACB最小,所以kl·kCM=-1,所以kl=,所以l的方程為:x-2y+3=0.13.【解析】BC的中點為D(1,-2,3),則|AD|=(1-1)2+(-2+2)2+(5-3)2=2.答案:214.【解析】由C(1,-2),r=2,得|PC|=12+(-2-5)2=52>r=2,所以點P在圓C外,所以過P作圓C的切線有且只有2條.答案:215.【解析】設圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因為圓C經過(0,0)和點(4,0),所以a=2,又圓與直線y=1相切,可得1-b=r,故圓的方程為

12、(x-2)2+(y-b)2=(1-b)2,將(0,0)代入解得b=-,r=,所以圓的方程為(x-2)2+y+322=254.答案:(x-2)2+y+322=25416.【解析】由y=2x+3,x2+y2-6x-8y=0,解得x=-1,y=1,或x=3,y=9,所以兩交點坐標為(-1,1)和(3,9),所以弦長l=(-1-3)2+(1-9)2=45.答案:4517.【解析】以某一截面半圓的圓心為坐標原點,半圓的直徑AB所在的直線為x軸,建立直角坐標系,如圖,那么半圓的方程為x2+y2=16 (y0).將x=2.7代入,得y=16-2.72=8.71<3,即在離中心線2.7m處,隧道的高度低

13、于貨車的高度.因此,貨車不能駛入這個隧道.18.【解析】(1)如圖.(2)因為長方體的體對角線長是其外接球的直徑,所以球心坐標為(3+02,0+12,0+92),即(,).(3)因為長方體的體對角線長d=32+12+92=91,所以其外接球的半徑r=912.所以其外接球的體積V球=r3=(912)3=91691.19.【解析】(1)設圓心坐標為(a,a+1),則由題意得,(a-1)2+(a+1-3)2=|a+2(a+1)-7|1+4,解得:a=0,所以圓心坐標為(0,1),半徑r=1+4=5,所以圓C的方程為x2+(y-1)2=5.(2)把直線ax-y-2=0,即y=ax-2代入圓的方程,消去

14、y整理,得(a2+1)x2-6ax+4=0.由于直線ax-y-2=0交圓C于A,B兩點,故=36a2-16(a2+1)>0.即5a2-4>0,由于a>0,解得a>255.所以實數a的取值范圍是(255,+).20.【解析】設所求圓的圓心為C(a,a-1),半徑為r(r>0),則點C到直線l2的距離d1=|4a+3(a-1)+14|5=|7a+11|5.點C到直線l3的距離是d2=|3a+4(a-1)+10|5=|7a+6|5.由題意,得|7a+11|5=r,(|7a+6|5)2+32=r2.解得a=2,r=5,即所求圓的方程是(x-2)2+(y-1)2=25.21

15、.【解題指南】(1)對切線的斜率是否存在分類討論.(2)設出點P的坐標,代入平面內兩點間的距離公式,化簡得軌跡方程.【解析】把圓C的方程化為標準方程為(x+1)2+(y-2)2=4,如圖所示,所以圓心為C(-1,2),半徑r=2.(1)當l的斜率不存在時,此時l的方程為x=1,點C到l的距離d=2=r,滿足條件.當l的斜率存在時,設斜率為k,得l的方程為y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,則|-k-2+3-k|1+k2=2,解得k=-.所以l的方程為y-3=-(x-1),即3x+4y-15=0.綜上,滿足條件的切線l的方程為x=1或3x+4y-15=0.(2)設P(x,y),則|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,因為|PM|=|PO|.所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理,得2x-4y+1=0,所以點P的