1、中國獨特的計算工具籌算和珠算根據馬來西亞的報紙報道，現在的馬來西亞政府在全國的小學數學教育，采用中國的算盤為計算工具。 在美國也有一些小學，利用中國的算盤來計算，而不是用計算器。 我想在這里介紹一下中國人在發明算盤之前是用什么計算工具，以及算盤產生的經過。 中國在三百多萬年前已有古人類活動，在云南的元謀，人們找到距今一百七十萬年前的人類化石，陜西出現八十萬年前的藍田人以及廣東馬壩人、湖北長陽人、廣西柳江人、北京山頂洞人等舊石器時代的古人類。 大約在一萬年前，我們的祖先進入新石器時代，人們過著群聚、漁獵的生活，懂得磨出石器及制造陶器。隨著以后生活及生產的需要，人們開始要計數。最初我想人們是以他們

2、的手指作為計算工具，這是“屈指可數”這個成語的來源。 后來人們用石子、貝殼等自然實物來協助計算。在中國古書易經的系辭里記載：“上古結繩而治，后世圣人，易之以書契。”在四千多年前的甲骨文，有一個“數”字，左邊形如一根繩上打了許多結，上下有被栓在主繩上的細繩，而右邊是一只右手，這表示古人是用結繩來計數（見圖一）。 我們沒有實物可以證明中國人結繩，可是從古代秘魯人的遺物（圖二、圖三）我們是看到這樣的例子。 可能結繩還不是太方便計算。在黃河、長江流域生活的祖先，利用盛產的竹子制成竹簽，稱為籌碼，擺成不同的形式來表示數字。 我們現在的“算”這個字，在古代是寫成下面形狀： 這是很形象的表示用手擺弄算籌的象

3、形。這個字形在公元前三世紀已出現。 在石頭、泥坯、樹木上進行刻痕劃線來表達與計算數字，應該是許多民族進化過程的一種生活活動。在西安半坡等遺址出土的六千年前的彩陶缽口沿上有一些刻劃的符號和后來在甲骨文、金文出現的“”、“”、“|”、“|”、“十”等數字符號相似。陶文中還有這樣的符號（圖五），可能是表示較大的數字。 在臺灣的少數民族排灣族，以及在云南的一些少數民族在五十多年前還在木棒上刻線表示他們狩獵到野豬的數目。 籌的起源 有許多外國人以為中國古代的人是用算盤來作計數工具。事實上，在幾千年前中國人為了生活的需要利用一種獨特的計算工具算籌。 籌是一些小竹、木棍。從西周直到宋元，有兩千多年的時間，人

4、們都是以籌來作計算工具。籌也有以骨、玉、鐵等材料制成。 1954年考古學家在湖南省長沙左家公山發現一座距今二千一百多年前戰國晚期的楚墓，里面有一個竹筒，裝有天平、法碼、毛筆，以及四十根長短約12厘米的竹籌，這是最早發現也是最古的算籌實物。 到了1978年在河南省登封出土的早期戰國陶器，在上面刻有算籌記數的陶文。因此可以把使用算籌的時間推上更遠。 遠在人們從漁獵時代過渡到畜牧時代，為了計算他們的羊群或馬群。人們用小石塊或木枝來和所畜養的動物建立一個一一對應的關系，這樣方便及較準確的計算。可是有時搬遷的地方，沒有太多石塊，或者攜帶石塊來計算太過笨重。于是人們想到為什么不用到處可見的竹子為材料制造幫

5、助計算的工具。 在五千多年前古代黃河流域一帶，氣候比現在溫暖濕潤，竹子叢生，是大象、犀牛出沒的地方。我們的祖先已會充分利用竹子建住房、作竹筏、制箭、吃竹筍、用筷子夾烤熟的肉免燙手，當然會想到削竹片來作為計算的輔助工具。 由于竹容易腐爛，不易保存幾千年，因此我們看不到在殷墟出土有算籌的實物。可是那里留下來的二十多萬片龜甲獸骨上的文字，就有明顯的數字遺跡顯示距現在三千三百多年前的商代，人們已用算籌了。 在甲骨文上的“一”、“二”、“三”、“四”、“五”、“六”和“十”是形如“一”“=”“”“ ”“ ”“X”和“”、“|”的樣子。 如果用|、|、|、|、|來表1、2、3、4、5，那么很自然我們會想到

6、用6根竹棒表示6了，可是這樣很不方便，在公元前六到公元前三世紀的周人就用 或 表示6。而7就用 、 來表示。8就用 、 來表示，而9就是以 或 來表示。 到了秦漢時期基本上就把數碼定為橫式及縱式兩種，而且固定個位、百位、萬位是用縱式，而十位，千位是用橫式： 大約在公元三世紀出現的孫子算經中說：“凡算之法，先識其位。一縱十橫（個位縱劃，十位橫劃），百立千僵（百位縱的，千位橫的），千十相望（千位和十位相同），萬百相當（萬位和百位相同）。”（見圖六） 籌算加減法 籌算加減的方法比較簡單。把加數和被加數擺上兩行，然后由高位數算起，即由左向右計算，變成一行就是答案。這方法和我們現在通行的筆算恰好相反。現

7、代的筆算法是由低位數往高位數計算。古代西方和中國人一樣是由左而右計算的，到了12-13世紀以后才轉變成我們現在的方法。 我們舉下面的例子說明進行籌算時的過程： 我們要算43792+3056   減法的計算剛好是前面的逆轉。比如我們要算 46848-3056 首先列出46848，然后由千位中減去3，依次再減去百位、十位和個位的數碼，也是由左向右計算的。讀者可在計算過程試試發現。 3世紀末的孫子算經是一部算術啟蒙書，里面有講乘法，可是現在的中學生要看懂一千六百多年前的文字，并理解它的意義是不太容易的，故我們加以說明，在下面逐步解釋： 1）重置其位，上下相觀。（下層的最低位數與上層的最高位

8、數對齊。） （2）以上八呼下八，八八六十四，即下六千四百于中位。 （3）以上八呼下一，一八如八，即位下八十。 （4）退下位一等，收上頭位八十。（下層乘數向右移一位，去掉上屬八。） （5）以上位一呼下八，一八如八，即于中位下八十。 （6）以上位一呼下位一，一一如一，即于中位下一。 （7）上下位俱收，中位即得六千五百六十一。（把上下位數去掉，剩下中位數就是答案6561。） 從這個例子可以看出，把多位數乘多位數變成用單位數去乘多位數，乘一位加一位，基本想法是和現在的筆算是一樣。 現在舉另外一個例子236×428，為了讓習慣看阿拉伯數字的讀者能較易理解，我們不寫籌式而用阿拉伯數碼記數。 消掉

9、（5）中的6，及把下位的數去掉，我們全部乘完，所得的答案就是中位所示。 籌算除法 根據孫子算經及夏侯陽算經的記載，我們知道除法的過程像是乘法的逆運算。這個除法和我們現在所用的筆算是一致。 其法則如下：“凡除之法，與乘正異，乘得在中央，除得在上方，假令六為法，百為實。以六除百，當進之二等，令在正百下，以六除一，則法多而實少，不可除，故當退就十位。以法除實言一六而折百為四十，故可除。若實多而法少，自當百之，不當復退，故或步法，十者置于十位，百者置于百位，除法皆如乘時，實有余者，以法命之，以法為母，實除為子。” 現在舉例子說明，計算2761÷56。 （2）因被除數首二位27小于除數56，不

10、夠除。把除數向右移一位。 （3）將初商4置于被除數之上，以4乘除數各位，并從被除數中減去。 （4）把除數再向右移一位，議得次商9后，得余數17。由上可見籌算除法是隨乘隨減，一氣呵成。 我們的祖先還可以用籌算開平方及開立方，過程較復雜，這里就不介紹了。 用籌表示負數 魏晉數學家劉徽在注九章算術里寫道：“正算赤，負算黑，否則以邪正為異。” 如果萬一黑色的算籌不夠，那么怎辦呢？人們就用斜放的算籌表示負數，正放的算籌表示正數，就像劉徽注所說的“以邪（通斜字）正為異。” 北宋著名的科學家沈括（10311095）晚年寫的夢溪筆談，是一部筆記文集，其中三分之一談論自然科學，記述了北宋時期各方面的數學成果。在

11、該書的卷八就寫道：“算法用赤籌、黑籌，以別正負之數。”可見在北宋時，這個方法還是千年不變沿續下來。 在西漢時算籌一般是圓形竹棍，把二百七十一枚籌捆成六角形的捆。這在漢書·律歷志中記載：“其算法用竹，徑一分，長六寸，二百七十一枚而成六觚，為一握。” 從漢朝到隋朝（公元581年618年），算籌漸漸改變成短小，而且把圓柱形改成棱柱形，主要原因是為了方便取用。隋代的三棱的算籌表示正數，四棱形的算籌表示負數。束置的方法是把正數的算籌二百六十枚，束成一個六角柱體，每一邊六籌，對徑十二籌。負數的算籌一百四十四枚，束成方柱體，每邊是十二籌。 隋書·律歷志這么描述：“其算用竹廣二分，長三寸，

12、正策三廣，積二百一十六枚，成六觚，乾之策也；負策四廣，積一百四十枚，成方，坤之策也。觚、方皆徑十二，天地之數也。” 籌算的缺點 中國人利用算籌為計算工具，從春秋至到漢、唐、宋、元有二千多年以上。 可是算籌在數字計算方面有一定的缺點： （1）用籌拼排數碼，19的九個數要用29根籌，平均每個數需用3.2根。這就是說一個數碼平均要做3.2個動作，所以速度慢，不利于速算。 （2）算籌較長，計算時占地多。漢算籌長13.8厘米，隋籌雖較短，也還長8.85厘米。如果以隋籌的長度來說，在計算多位數加、減、乘、除時，一個數碼連同左、右、上、下各個數碼間應留的空隙，估計所占的面積要121平方厘米。 計算一道4位乘

13、4位積數是8位的乘算題，按照籌算乘法的方法將算籌分上、中、下三層排列，約占長90厘米、寬40厘米的地位，一張方桌不夠做兩道這樣的乘算題。 宋代馬永卿曾在嬾真子一書記載：“出算子約百簡，布地上，幾長丈余。” 籌算不但做乘除法時占位多，做多位數加減法時也是這樣。我們現在可以想像距今一千五百年前南朝的祖沖之要計算圓內接正24576邊形的邊，而得到圓周率的近似值是在3.1415926及3.1415927之間，其計算量及他所要用的計算面積的巨大。 難怪算盤出現以后，由于構造簡單，價格低廉，計算方便，很快取代籌算。 中國人長期用算籌來作計算的工具，可是隨著生產和商業交換活動的發展，籌算逐漸不能適應生活的需

14、要，特別是商賈買賣，需要快速計算。籌算擺放速度慢，占用的面積大，很不方便。因此當珠算盤產生之后，籌算很快就從歷史舞臺上退出。 珠算的起源 1976年3月，中國考古工作者在陜西省岐山縣的凰雛村發掘出西周王朝早期宮室的遺址，在出土之文物中發現了青黃兩色的陶丸九十粒：青色二十粒，黃色七十粒，這些陶丸直徑是1.52厘米，考古學家認為這是西周時用的算珠。 在1953年3月在山東沂南發掘了漢代古墓，墓室內有一些圖像，其中一幅拓片，描繪在基室內有一人跪地上，雙手捧著長方板，向其主人作奉敬狀態。長方板上有六個直行，有二行內有圓珠，每行八顆（上五下三）。另外在墓室一側的小幾上也有長方板，所繪直行和放置的圓珠個數

15、，與拓片手捧長板是一樣。 因此從周朝到漢朝，除了用竹籌以外，人們也利用刻有槽并放圓珠的算板作計算工具。 事實上，古巴比倫人也用類似的計算工具協助計算。 我們的祖先覺得像這樣的計算板還是有缺點，因此后來轉變成有軸穿珠，便于操作。 “珠算”這個名詞，最早見于漢書數術紀遺，按書中所述，“珠算控帶四時，經緯三才（天、地、人三才）”，里面注釋是：“刻板為三分，其上下二分，以停游珠”故可解釋為游珠算盤。 數術紀遺中還說：黃帝的臣子隸首定計數的方術多種，除遺忘者外，尚有稽算、太乙、丙儀、三才、五行、八卦、九宮、運算、了知、成數、把頭、龜算、珠算、計算等共十四種。（見圖七） 數術紀遺的著者是徐岳，他是后漢末年

16、人。注釋的甄鸞是三國以后北周人。四庫全書提要中說這本書事實上是甄鸞假托徐岳的名而作，如果這是真的話，我們可以認為中國的游珠算盤在后漢北周時期已經出現。 東漢是因公元220年董卓之亂而結束。三國的紛爭是從四百年的太平轉為四百年的魏、晉、南北朝大紛亂的開端。 李約瑟教授在他的中國科學技術史第三卷，引北史八十九卷關于北齊冶金家綦母懷文（公元550年570年）的傳記中一段記載，說明在北齊時就有珠算。 “昔在晉陽為監館，館中有一蠕蠕客，同館胡沙門指語懷文云，此人別有異算術，乃指庭中一棗樹云，令其布算子，即知其實數。乃試之，并辨若干純赤，若干赤白相半，于是剝數之，唯少一子。算者曰，必不少，但更撼之，果落一

17、實。” 李約瑟把他譯成英文，下面是中譯本的譯文： “據說，在晉陽學館，有一次有一個蠕蠕（匈奴）客人來訪，館中的一個外國僧侶指著綦母懷文對他說：“這個人有奇異的數學才能！”并指著庭院中的一棵棗樹，請懷文用算子計算樹上有多少棗實。 計算后，懷文不僅說出棗實的總數，并說出其中有多少已熟，多少未熟，多少半熟。 當把棗實計數核對之后，發現只少一個，但這位數學家說：“這是不會錯的，請把樹再搖一搖！” 這樣做了以后，果然它有一個棗實掉了下來。 這故事真是奇妙，把綦母懷文的計算能力說得神乎其技。 人們現在認為漢代已有游珠算盤，晚唐產生了串珠算盤，宋元已經普及使用，晚清勃興起來后直到現在。 1366年浙江黃巖的

18、陶宗儀所著的南村輟耕錄中，就有關于珠算盤的明確記載。書中卷29講到一條俗諺，這條俗諺用“擂盤珠”和“算盤珠”打比喻時指出，“擂盤珠，不撥自動”，“算盤珠，撥之則動”。 又在元朝雜劇元典選“龐居士誤放來生債”一折中有“去那算盤里撥了我的歲數”一句唱詞。可見那時珠算盤已是一件比較常見的工具，并反映到作品中去了。 元初畫家王振鵬在公元1310年所繪的乾坤一擔圖中，有一個貨郎擔上有一把算盤，其橫梁和檔子，穿珠極為清晰，同現代算盤一樣。 元末1334年出版了一部世界上最古老的有插圖兒童讀物對相四言雜字，里面就有珠算盤的最早圖說。 北宋名畫家張擇端所繪的清明上河圖，在卷末有趙太丞家藥鋪，柜子繪有算盤的圖形

19、。可見在北宋時人們已普遍使用算盤當計算工具。 曾經有日本專家認為中國算盤起源自羅馬、希臘的溝算盤，中國后漢和羅馬有貿易來往，商人把貿易物資與這種算盤傳到當時的漢朝。可是中國史學家認為從國外傳入的文物，如西漢張騫由西域傳入的樂曲、樂器、漢血馬、苜蓿、葡萄等等，都有文獻記載。傳入的文物，還加“胡”字，如胡琴、胡床、胡豆、胡桃等等。漢代以后傳入的數學，如唐朝的印度數學，宋、元傳入的伊斯蘭數學，明清傳入的西方數學都有詳細的記載。因此“算盤西來說”是不對的。 寫出最好珠算書的數學家程大位 被中算史家嚴敦杰、梅榮照兩位先生稱贊為：“明代最杰出的數學家程大位”，明、清正史中都沒有他的傳記。 程大位（1533

20、1606），安徽休寧人，原來從商。壯年后在率口專門從事數學寫作，歷時三十余年，他用二十年的時間寫了直指算法統宗簡稱算法統宗，這書很快到處流傳和翻刻。他在算法統宗出版以后六年寫了算法纂要。 算法統宗流傳廣泛對明末以及清代民間數學知識的普及和中國古代數學知識的繼承有不可忽視的作用。可是在1781年清朝編的四庫全書對算法統宗評價不高，說：“此書專為珠算而作，故世俗通行。惟拙于屬文，詞多支蔓，未免榛晅勿翦之譏。” 在1795年由阮元負責，李銳編纂的一部記述歷代天文學家、數學家學術活動及成果的傳記體數學史和天文歷法史書疇人傳，對程大位的工作是這樣的貶低： “大位算學未能深造，故其為術類多舛錯，然雜采諸家

21、，往往有宋元以來相傳舊法如仙人換影之術，非所能作也。” 這里我們簡略介紹他的生平以及工作，希望大家能對他有一個客觀的認識： 程大位，字汝思，號賓渠。幼年除了學習數學外，則學儒家的學問，可是在學成以后沒有參加當時的科舉考試。年紀大了就出外做生意，“周游吳楚之墟”。 他把皖南地區盛產的桐油、茶葉、紙張、硯、墨用車船運出，再換回絲綢、布匹、五金等。他在經商期間，除了收集算書外，也同時收集文字方面的書籍。由于算盤是當時從商者的工具，但是缺少統一的珠算教科書，計算方法往往因人因地而異。程大位每到一地，都要觀察同行的計算方法，回到客店或床上就細心琢磨，歸納順口的口訣。聽到那里有好書，就或買或借，“齊心一志

22、，至忘寢食”。程大位在幾十年的經商期間，收集了很多數學書籍，以及積累了豐富的數學知識。 后來在寫算法統宗時，他除了從這些書籍中吸收其精華，同時也保留了許多重要的文獻。他在書中開列一個從北宋到明萬歷年間的數學書目，是研究中國數學史一項重要的參考資料。當時他所知所見的數學著作有51種，其中只有15種流傳至今。 他的同鄉吳宗儒在算法統宗和算法纂要的程大位“像贊”中（見圖八）稱贊他： “書擅八分，算窮九九，跡隱市衢，心超林藪。” 他晚年退居鄉下，用20年的時間寫了算法統宗。全書共17卷。（見圖九） 卷一是數學詞匯、度量衡單位以及珠算的基本方法、有整數運算、分數運算、開平方和開立方、定位方法、加法口訣及

23、九歸口訣。卷二是整數和份數的基本運算，主要是歸除法與留頭乘法。卷三至卷十按九章算術體例分方田、粟布、衰分，少廣、商功、均輸、盈肭、方程、勾股十章。其中少廣分為兩章。卷十三至卷十六仍按九章算術的章目，是用詩詞體例記述的難題。卷十七是雜詩包括寫算、一筆錦、縱橫圖等。 他的書中問題和解法匯編，所引起的題目很多出自南宋末年的楊輝詳日解九章算法。書中稱為“古題”，但解法是全新的珠算方法。 卷六和卷七把籌算的開帶從平方和開帶從立方（正系數數字二次方程和三次方程求根）用到珠算中。 例  算法統宗六卷： “今有直田積一千七百五十步，長比闊多一十五步，問該長、闊各若干？” 程大位提出兩種不同的解法：

24、解法1 設長為a，闊（寬）為b，則 ab=1750，a-b=15。 根據勾股算術的方法得 4ab+（a-b）2=（a+b）2=7225 用“歸除開平方”求得a+b=85，所以a=50，b=35。 解法2令x=b，x+15=a，據題意得 x2+15x=1750 x=b=9，a=x+3=12 這部書刊行之后，由于適應了時代的需要，只在短短五六年內，書坊就競相翻刻。 這本書的初刊本出現后十年，李之藻和意大利傳教士利瑪竇合作，以直指算法統宗和利瑪竇的老師，德國數學家克拉維斯的實用算術概論為底本，編釋出一部名為同文算指的書在1613年出版，是一本著名的教科書。 1659年李長茂編的算海說詳九卷，全部取材

25、于算法統宗。 梅文鼎（16331721），清初的天文學家和數學家，在他的方程論、勾股譽隅、幾何通解等著作也多處引用算法統宗。 清代完成的大型類書古今圖書集成將直指算法統宗全文輯入。到了清末，人們對這書的需求量很大，連主要翻譯出版西方著作的江南制造局也進行了翻刻。 明末日本豐臣秀吉命令毛利重作來華學習數學時帶回算法統宗和中國算盤。以后多八種不同的版本流入日本。毛利重作向他的弟子介紹程大位的工作，后來還著歸除濫觴二卷。在1627年他最得意的弟子吉田光由寫了一本塵劫記，以程大位的書為藍本改寫而成。隨后在日本出現上一珠下五珠的菱珠算盤，一直到今仍在使用。日本珠算普及情況，按人口密度，大大超過中國，對珠算的各個領域都有深廣的研究。 程大位的算法統宗在1592年出版之后，從明代到清代，各地書商紛紛翻刻，這書流傳的廣泛和長久，在中國數學史上是罕見的。 明末時，這書傳入日本、朝鮮、東南亞各國，對該地區的數學發展有很大的影響。 1716年（康熙五十五年），程大位的曾孫程先坤翻刻他的書，在序中說：“風行宇內，迄今蓋已百有數十年，海內握算持籌之士，莫不家藏一編，老業制舉者之于四子書、五經義，翕然奉以為宗。” 從清朝一直到民國初年，出現了算法統宗的各種翻刻本及改編本，民間還有各種手抄本流傳，對民間普及珠算和數學起了重要的作用。  一、數學史的研究對象