1、固定收益證券李磊寧李磊寧中央財經大學金融工程系中央財經大學金融工程系第五講第五講: :債券的定價債券的定價主講教師：李磊寧v 單位：中央財經大學金融工程系v 主講課程：金融工程學/固定收益證券v 聯系方式： 電子郵件：內容提要收益率曲線與利率期限結構收益率曲線與利率期限結構 1 債券價格的連續形式債券價格的連續形式2利率期限結構變動下債券價格波動的測量利率期限結構變動下債券價格波動的測量3收益率曲線和利率期限結構v基本概念 收益率曲線 利率期限結構v利率期限結構的構造v利率期限結構形狀及變化的幾種理論解釋 預期理論 流動性偏好理論 市場分割理論收益率曲線和利率期限結構v基本概念 收益率曲線在由

2、時間（橫軸）和到期收益率（縱軸）構成的坐標系中，把觀察到的品質相同、剩余時間不同的債券的到期收益率的點連成一條曲線收益率 到期期限 收益率 到期期限 收益率 到期期限 收益率 到期期限 收益率曲線和利率期限結構v基本概念 收益率曲線（移動方式）平行移動斜向移動正碟式移動負碟式移動到期時間 到期時間 收益率 到期時間 原曲線 新曲線 收益率 原曲線 新曲線 收益率 新曲線 原曲線 斜向移動 正 碟 式 移 動動 負 碟 式 移 動動 新曲線原曲線平行移動 收益率 到期時間 收益率曲線和利率期限結構v基本概念 利率期限結構零息國債收益率曲線被稱為利率期限結構，構成資本市場利率水平和結構的基石 收益

3、率曲線和利率期限結構v利率期限結構的構造 STEP 1:利用“息票剝離法”構造“主干點”剩余期限票息率到期收益率債券價格A15%4.05% 100.91B26%4.39% 103.02C37.5%4.745% 107.54D45.25%4.92% 101.18E58%5.06% 112.72債券的信息 5544332214433221332212211)1 (108)1 (8)1 (8)1 (81872.112)1 (25.105)1 (25. 5)1 (25. 5125. 518.101)1 (5 .107)1 (5 . 715 . 752.107)1 (1061602.103110591.

4、100RRRRRRRRRRRRRRR設定為Ri（i=1,2,3,4,5），Ri表示第i期的現金流所對應的利率，并構造下列方程組 收益率曲線和利率期限結構如何利用債券的信息“剝離”出利率期限結構？ R1=4.05%，R2=4.40%，R3=4.78%，R4=4.95%，R5=5.12%收益率曲線和利率期限結構v利率期限結構的構造 STEP 2:運用各類“插值法”將主干點之間的空隙“填充”，形成完整的利率期限結構所謂“曲線插值”，就是已知一批數據點（比如利率期限結構）是準確的，而這些數據點所表現出來的函數關系是未知的。人們在這種情況下要構造一個近似的函數關系，使得觀察到的每一個數據點都在這個近似的

5、函數關系所表現的曲線上。收益率曲線和利率期限結構v利率期限結構的構造“曲線擬合”，就是認為觀察到的數據點可能并不準確（債券收益率常常出現的異常值就是例子），人們在這種情況下要構造一個近似的函數關系，該函數關系能夠“宏觀地”反應出這些數據點背后所隱含的數量變化規律 11.522.533.544.550.040.0420.0440.0460.0480.050.0520.054 data 1 cubicnnnnnniBcicicicB)1 ()1 ()1 (1, 00,11, 022, 01 , 0, 01)1 (/1111, 0, 00, 0nnjjnnnicBBci設某一期限的即期利率為i0,n

6、，剩余期限為n的債券價格為B0,n，該債券的面值為Bn,0，則可以由v收益率曲線和利率期限結構有什么不同?v 設想有一只債券B*正在發行，該債券期限為2年，票息率為12%，發行價格為114.29，到期收益率為4.38%。簡單比較一下B與B*，人們起初會認為B*比B價格“昂貴”（yB YB*） 收益率曲線和利率期限結構v收益率曲線和利率期限結構有什么不同?v 但是,運用利率期限結構為B*定價的結果表明債券B*的市場價格符合當前的利率期限結構。收益率曲線和利率期限結構29.114)044. 01 (112)0405. 01 (122*B推論:其他方面相同，票息率不同的債券的到期收益率可以有所不同。

7、v貼現因子、債券現金流、債券價格v 假設手中有n只期限不同的債券，期限分別為T=1，2，n，B(t)代表剩余期限為t期的債券價格，用c1(t), c2(t), ct(t)分別代表t期債券的第1，第2，第t期的現金流，dt代表第t期的貼現因子，我們可以構造包含n個未知數的n元方程組收益率曲線和利率期限結構iiiRd)1 (nnnnnndcdcdcBdcdcdcBdcdcBdcB)(2)(21)(1)(3)3(32)3(21)3(1)3(2)2(21)2(1)2(1)1(1)1( B= C d d= C-1 B B債券價格矩陣，C債券現金流矩陣，d貼現因子矩陣 債券剩余期限票息率(%)債券價格A1

8、1099B21097.5C310967178. 08045. 09 . 0965 .979911010100110100011011BCd%7 .11%5 .11%1 .113 , 02, 01 , 0iii收益率曲線和利率期限結構v利率期限結構形狀及變化的幾種理論解釋 預期理論(The expectation theory)預期理論認為利率期限結構完全取決于市場對未來利率的預期 “上升”的利率期限結構表明市場預期短期利率在未來會上升；“平坦”的期限結構表明市場預期短期利率將不變“下降”的期限結構則表明市場預期未來的短期利率將下降。預期理論認為長期債券是短期債券的理想替代物，長短期債券取得相同

9、的收益率 收益率曲線和利率期限結構v利率期限結構形狀及變化的幾種理論解釋 預期理論(The expectation theory)如果以2年期和1年期利率分別代表長期利率與短期利率，它們之間應該存在如下關系：)(11 1 1 , 11 , 022, 0iEii收益率曲線和利率期限結構v利率期限結構形狀及變化的幾種理論解釋 預期理論(The expectation theory)假如當前1年期利率為6%，市場普遍預期1年后的利率為7%，那么，2年期的即期利率應該是（1+6%）（1+7%）1/2-16.5%。如果2年期市場利率低于這一水平，比如6.2%，即 （1+6%）（1+7%）1/2-16.2

10、%2年期借款利率便宜，1年期借款利率昂貴，借款者勢必放棄1年期借款而轉向2年期借款，而貸款者則愿意放棄2年期貸款轉向1年期貸款，結果是1年期貸款利率下降，2年期貸款利率上升，最后市場重新回到均衡。收益率曲線和利率期限結構v利率期限結構形狀及變化的幾種理論解釋 流動性偏好理論（liquidity preference theory）流動性偏好理論認為短期債券的流動性比長期債券要高，因為到期期限越長，利率變動的可能性越大，利率風險就越大，投資者為了減少風險，偏好于流動性較好的短期國債。而對于流動性相對較差的長期國債，投資者要求給予流動性報酬(或稱風除酬金)。 流動性偏好理論在預期理論的基礎上為預期

11、遠期收益率加上了流動性溢價，以改進預期理論忽視人們對不同期限產品流動性偏好的紕漏收益率曲線和利率期限結構v利率期限結構形狀及變化的幾種理論解釋 流動性偏好理論（liquidity preference theory）以1年期代表短期，2年期代表長期，兩者的關系應該是)(11 1 1 , 11 , 022, 0LiEiiL代表流動性溢價收益率曲線和利率期限結構v利率期限結構形狀及變化的幾種理論解釋 流動性偏好理論（liquidity preference theory）長期債券投資的資本利得或者損失滾動的短期債券投資的資本利得或者損失時間圖中橫軸代表時間，縱軸代表債券價格，虛線表示投資長期債券收

12、益，實線表示投資短期債券收益收益率曲線和利率期限結構v利率期限結構形狀及變化的幾種理論解釋 市場分割理論（market segmentation theory）市場分割理論認為債券市場由具有不同投資要求的投資者所組成的 。每類投資者都習慣于使其資產壽命和債務壽命相匹配的投資活動，因而每類投資者固定偏好于收益率曲線的特定部分，所以收益率曲線所代表的各個期限的利率之間沒有內在的聯系，各種利率都具有相對的獨立性。 長期利率只取決于長期資金的供求，短期利率只取決于短期資金的供求。利率期限結構則取決于短期資金市場供求狀況與長期市場供求狀況的比較，或者說取決于各類資金供求曲線交叉點利率之間的對比。 收益率

13、曲線和利率期限結構v利率期限結構形狀及變化的幾種理論解釋 市場分割理論（market segmentation theory）如果長期資金供求曲線交叉點利率中期資金供求曲線交叉點利率短期資金供求曲線交叉點利率，期限結構呈上升趨勢；反之，則呈下降趨勢；如果三者相等，則呈現平行形狀。 收益率收益率剩余期限剩余期限債券價格的連續形式 零息債券從遠期利率的觀點：從即期利率的觀點： 附息債券附息債券的價格是未來債券各次現金流按照各自的貼現因子貼現后加計的總和 TtduutfeTtB),(),()(,(),(tTTtReTtBdtetciBttiT), 0(0)()(浮息債券與逆浮息債券v票面利率隨著基準

14、利率的變動而正向變動的債券叫做浮息債券。v票面利率=基準利率+利差，假設三者的符號分別是yt、it、s，則yt=it+s。vyt就是各期市場要求的貼現率，因為浮息債券的票面利率的設定要求就是使得票面利率與市場要求的貼現率相等，該貼現率由基準利率與市場要求的利差組成。 浮息債券與逆浮息債券v 假設浮息債券有n期，令Bft代表在第t期時浮息債券的價格(t=1,2,n-1,n)，那么剛剛發行時債券價格的表達式為 浮息債券的現金流 t0t1t2t3tn-1tnnnnnnnfyyyyyyyyB)1 (100100)1 (100)1 (100)1 (100111222110浮息債券與逆浮息債券v 在第n期

15、期末，也就是浮息債券的期滿日，債券價格（包含累計票息）就是面值加上最后一次票面利息，即)1 (10010010011nnnfyyBv 在第n-1期期末，債券價格（扣除累計票息后）等于100)1/()1 (100221nnnfyyB 其全價格等于)1 (1002nyv 在第1期期末，債券價格（扣除累計票息后）等于100)1/()1 (100001yyBf 其全價格等于)1 (1000y浮息債券與逆浮息債券v 在第0期，債券價格等于 票息日浮息債券價格的決定 在所有的票息日（包括初始日和期滿日，以及中間的利率重設日），浮息債券的凈價格等于其面值，全價格等于面值加上本期的累計票息。 100)1/()

16、1 (100000yyBf浮息債券與逆浮息債券v 任意兩個票息日（t,t+1）之間的任意一個時間點s處（ tst+1 ）的價格自然由下式確定sttstsfyyB11)1/()1 (100tst+1Bfs100(1+yt)Syt+1 任意兩個票息日之間的浮息債券價格浮息債券與逆浮息債券v 可以把浮息債券的價格運動看作是周而復始的零息債券價格的運動。每當一個票息日來臨，都可看作是前一個零息債券即將結束，而另一個新的零息債券即將誕生。v 浮息債券的久期完全失去了久期的第二種含義，因為票息率隨著市場利率而變動的浮息債券并不存在利率風險。v 浮息債券的久期只是目前到下一個票息日的期限，其久期的最大值就是

17、兩個票息日之間的時間距離。比如，浮息債券的利率重設日為一年一次，那么久期最大值就是1年；如半年一次，浮息債券的久期就是0.5年。 浮息債券與逆浮息債券v 逆浮息債券是票面利息隨著基準利率的變動而反向變動的債券。逆浮息債券的票面利率=約定的固定利率-基準利率。 v 假設一只期限為3年的逆浮息債券，約定的固定利率為10%，選擇sibor利率為其基準利率，一年利率重設一次。如果第一年年初sibor=4.7%，那么第一年逆浮息債券的票面利率=10%-4.7%=5.3%；如果第二年年初確定sibor=5.4%，那么第二年逆浮息債券的票面利率=10%-5.4%=4.6%，等等。v 逆浮息債券的票面利率一般

18、都有上限和下限。本例中，其上限就是10%，此時基準利率達到最小值（名義最小值為零，不可能為負數）；下限為零。 浮息債券與逆浮息債券v逆浮息債券和浮息債券合在一起，可以構成一只固定利率的普通債券。 v假設前例中的逆浮息債券的面值為50元，我們另外找到一只面值50元的浮息債券，該浮息債券期限同樣是3年，票面利率=基準利率（sibor）+2%v那么這兩只債券加在一起的票面利率=（約定的固定利率-基準利率+基準利率+2%=10%-基準利率+基準利率+2%）/2=12%/2=6%。 浮息債券與逆浮息債券v我們用一只面值50元的浮息債券和一只面值50元的逆浮息債券“合成”了一只票面利率為6%，為期3年的固

19、定利率普通債券。v如果例中那個固定利率債券的市場價格當前是106元，而當前正好是例中浮息債券的票息日（前面提到過這一天其價格等于面值），那么今天面值為50元的逆浮息債券的價格就是106-50=56元，折算成面值為100元的逆浮息債券的價格就是256=112（元）。 浮息債券與逆浮息債券v 如果今天就是浮息債券的票息日，意味著此時其久期等于1，而市場上價格為106元，剩余期限為3年，票息率為6%的債券久期大約為2.8，用Dif代表逆浮息債券的久期，那么根據組合久期的算法，逆浮息債券的久期由下式確定41. 4106561106508 . 2ififDD浮息債券與逆浮息債券v利率變化通過兩個渠道強化

20、了逆浮息債券的價格波動效應 當利率上漲時，逆浮息債券的票面利率減少，減少了現金流的數量；另一方面隨著貼現率提高，現金流的數量進一步減少。 當利率下降時，一方面逆浮息債券的票面利率增加，進而增加了現金流的數量，另一方面隨著貼現率的下降，現金流的數量會有增加。 浮息債券與逆浮息債券v 逆浮息債券的久期已經失去久期的第一種含義（債券現金流發生的加權平均時間），而只能用久期的第二種含義解釋。 v 逆浮息債券的久期不僅大于浮息債券的久期，而且大于合成的固定利率債券的久期。 久期理論的局限久期理論建立在扁平期限結構和其平行移動的基礎上 剩余期限利率原來的期限結構新的期限結構利率期限結構變動下債券價格波動的

21、測量利率期限結構變動下債券價格波動的測量v關鍵利率基點值與關鍵利率久期 關鍵利率（key rate）在一個時點上，利率期限結構某些重要期限的利率品種對其他的利率品種有重要影響，這些利率品種被稱為“關鍵利率” 。利率剩余期限年年年年利率期限結構變動下債券價格波動的測量利率期限結構變動下債券價格波動的測量v關鍵利率基點值與關鍵利率久期 關鍵利率的變動（key rateshift）一個關鍵利率的變動以均勻遞減的方式影響相鄰的兩個關鍵利率點0510152025302y5y10y30y2利率期限結構變動下債券價格波動的測量利率期限結構變動下債券價格波動的測量v關鍵利率基點值與關鍵利率久期 關鍵利率基點值

22、：一個關鍵利率變動時百萬面值（或者百元面值）債券的價格變動量。 Key rate 01s:the key rate equivalent of DV01 關鍵利率久期：一個關鍵利率變動時債券價格的變動率。 key rate duration: the key rate equivalent of duration 關鍵利率風險暴露：債券所面臨的主要的利率風險。Key rate exposure例子: 年抵押貸款的關鍵利率暴露（萬）$Key rate 01sKey rate dur%of total貸款初始價值100453.13After 2-shift100452.150.980.100.9%

23、After 5-shift100449.363.770.383.3%After10-shift100410.7742.374.2237.0%After30-shift100385.8867.266.7058.8%Total114.3811.39當前利率期限結構水平形狀，。每個月支付元,利率上漲一個基點時債券價格的變動。dyMDPdPdydPPVBPPPVBPMD 基點價值與（修正）久期的關系Example: key rate exposure of 30y-nonpre.mortgage5-key rate 01 is -(100449.36-100453.13)=3.775-key rate

24、 duration is10*3.77/100.45313=0.38Key rate exposures decompose a sensitivity measure in to component sensitivities.關鍵利率風險暴露把總的利率敏感度分解到各個關鍵利率品種身上。 費雪威爾久期（Fisher and Weil Duration） 期限原有的利率期限結構平移后的利率期限結構v 考慮到各個期限的利率不同，我們需要對麥考利久期進行適當變形。費雪威爾久期（用DFW代表）考慮到這種情況，其表達式為v 式中B代表債券價格，i(0,t)代表一個利率期限結構，t=1,2,n。n是債券

25、剩余期限。Cn代表第n期的現金流。 ntttnnFWtiCtBBniCniCiCiCD133221), 0 (1 11), 0 (1 )3 , 0 (1 3)2 , 0 (1 2)1 , 0 (1 1 費雪威爾久期（Fisher and Weil Duration） v 當利率期限結構發生平行移動時，債券價格的變動率為), 0(1), 0(1 titidDBdBFW期限即 期 利率原有的期限結構新的期限結構比如：如何在費雪威爾久期中反映類似這樣變動呢？v 常見的辦法是用利率相對變化率這一變量來體現期限結構的這種變動。如果用K（t）代表利率相對變化率，它反映了第t期的利率相對于第1期的利率變化的

26、比例。比如，如果第1期利率上漲了10個基點，而第3期利率僅上漲了6個基點，則此時K（3）=0.6。由于第1期的K等于1，所以我們用Kt-1來代表第t期的K，即K（t）=Kt-1。K（t）可以是正數，負數，可以大于1，也可以小于1。這樣以來，當期限結構發生非平行移動時，費雪威爾久期的形式為nttttFWtiCKtBD11), 0(1 1利率期限結構變動下債券價格波動的測量利率期限結構變動下債券價格波動的測量v趨勢久期（ Directional duration ） 考慮了不同期限的利率的不同變動趨勢的久期。 趨勢久期是債券現金流發生時間的加權和，權數是各期現金流的趨勢權重。 將利率結構的變化可以

27、理解為由兩個部分組成：一是常態化的變化，二是趨勢性的變化 。Ttdadrtt, 1,0, 0這里d可以代表一個微小的常態化增量，at作為主觀預測的量（可以是正數，也可以是負數或者是零）構成一個n維向量，即aa1,a2,aT,利率期限結構變動下債券價格波動的測量利率期限結構變動下債券價格波動的測量v趨勢久期 趨勢久期公式Btrcwttt/ )exp(0, 0aTtattTtttawttwBtrxpectaD1000,01/ )(ttatwaw 利率期限結構變動下債券價格波動的測量利率期限結構變動下債券價格波動的測量v趨勢久期 債券價格變動率公式dDBdBa00利率期限結構變動下債券價格波動的測量

28、利率期限結構變動下債券價格波動的測量v 2006年為例，如果年初某機構持有10年期長期國債并且預計到國債收益率曲線的上述變化（1年期以下品種上移33個基點，7年期以下品種收益率平均上移20個基點，10年期以上品種收益率則平均下移10個基點），該機構在計算矢量久期時，不妨可以將趨勢向量設定為aa1,a2,aT=1,0.52, 0.52, 0.52, 0.52, 0.52,0.2,0,0.05,-0.33 v 把上述趨勢系數加入到久期計算式子中后，會大大縮小久期各個計算因子的代數和，結果計算出來的矢量久期遠遠小于麥考雷久期。這表明盡管短期利率上升劇烈，但由于收益率曲線屬于扁平化的變化，長期利率上漲

29、溫和，甚至有些區間還下降，所以持有長期債券有一定的風險，但風險程度不如按照一般久期理論計算出來的那樣大。利率期限結構變動下債券價格波動的測量利率期限結構變動下債券價格波動的測量修正久期、威爾久期和矢量久期 的比較案例v 本例所選取的評估日為2006年2月28日。通過Wind資訊或中國債券網等數據庫獲取當日的利率期限結構數據，當日的利率期限結構如圖所示。評估基準日（2006-2-28）的利率期限結構v （1）根據傳統久期進行債券價格的利率敏感性分析v 假設評估日的即期利率為各期即期利率的平均值2.4933%。預測利率期限結構將向上平移10個基點，如圖所示。 0000,1(1)115.7437TttttBci010(1)7.6411tTttciDtB*00,7.64117.54711/1 0.0249/2MtDDim根據利率期限結構貼現未來的現金流，加總后得到債券價值根據連續復利形式的麥考利久期計算公式，有則修正久期為即期利率變動后重新計算債券的價值為10114.8848B 本例采用計算相對誤差的方法衡量久期測度的準確性。 100000114.8848 115.74370.7421%115.7437BBBBB 本例采用