1、第2課時一元二次不等式的應用學 習 目 標核 心 素 養1.掌握一元二次不等式的實際應用(重點).2.理解三個“二次”之間的關系.3.會解一元二次不等式中的恒成立問題(難點).1.通過分式不等式的解法及不等式的恒成立問題的學習，培養數學運算素養.2.借助一元二次不等式的應用培養數學建模素養.1分式不等式的解法主導思想：化分式不等式為整式不等式類型同解不等式0(0)(其中a，b，c，d為常數)法一：或法二：(axb)(cxd)0(0)0(0)法一：或法二：k(其中k為非零實數)先移項通分轉化為上述兩種形式思考1：>0與(x3)(x2)>0等價嗎？將>0變形為(x3)(x2)&g

2、t;0，有什么好處？提示：等價；好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經熟悉的一元二次不等式2(1)不等式的解集為R(或恒成立)的條件不等式ax2bxc>0ax2bxc<0a0b0，c>0b0，c<0a0(2)有關不等式恒成立求參數的取值范圍的方法設二次函數yax2bxc若ax2bxck恒成立ymaxk若ax2bxck恒成立ymink3.從實際問題中抽象出一元二次不等式模型的步驟(1)閱讀理解，認真審題，分析題目中有哪些已知量和未知量，找準不等關系(2)設出起關鍵作用的未知量，用不等式表示不等關系(或表示成函數關系)(3)解不等式(或求函數最值)(4)回扣實際問題思考2：解

3、一元二次不等式應用題的關鍵是什么？提示：解一元二次不等式應用題的關鍵在于構造一元二次不等式模型，選擇其中起關鍵作用的未知量為x，用x來表示其他未知量，根據題意，列出不等關系再求解1若集合Ax|12x13，B，則AB等于()Ax|1x<0Bx|0<x1Cx|0x<2 Dx|0x1BAx|1x1，Bx|0<x2，ABx|0<x12不等式5的解集是_原不等式0解得0<x.3不等式x2ax40的解集不是空集，則實數a的取值范圍是_a4或a4x2ax40的解集不是空集，即不等式x2ax40有解，a24×1×40，解得，a4或a4.4.在如圖所示的銳

4、角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是_x|10x30設矩形高為y，由三角形相似得：，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy300，整理得yx40，將y40x代入xy300，整理得x240x3000，解得10x30.分式不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)<0；(2)1.解(1)<0(x3)(x2)<02<x<3，原不等式的解集為x|2<x<3(2)1，10，0，即0.此不等式等價于(x4)0且x0，解得x<或x4，原不等式的解集為.1對于比較簡單

5、的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零2對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解1解下列不等式：(1)0；(2)<3.解(1)根據商的符號法則，不等式0可轉化成不等式組解這個不等式組，可得x1或x>3.即知原不等式的解集為x|x1或x>3(2)不等式<3可改寫為3<0，即<0.可將這個不等式轉化成2(x1)(x1)<0，解得1<x<1.所以，原不等式的解集為x|1<x<1一元二次不等式的應用【例2】國家原計劃以

6、2 400元/噸的價格收購某種農產品m噸按規定，農戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點，即8%)為了減輕農民負擔，制定積極的收購政策根據市場規律，稅率降低x個百分點，收購量能增加2x個百分點試確定x的范圍，使稅率調低后，國家此項稅收總收入不低于原計劃的78%.思路點撥將文字語言轉換成數學語言：“稅率降低x個百分點”即調節后稅率為(8x)%；“收購量能增加2x個百分點”，此時總收購量為m(12x%)噸，“原計劃的78%”即為2 400m×8%×78%.解設稅率調低后“稅收總收入”為y元y2 400m(12x%)·(8x)%m(x242x400

7、)(0<x8)依題意，得y2 400m×8%×78%，即m(x242x400)2 400m×8%×78%，整理，得x242x880，解得44x2.根據x的實際意義，知x的范圍為0<x2.求解一元二次不等式應用問題的步驟2某校園內有一塊長為800 m，寬為600 m的長方形地面，現要對該地面進行綠化，規劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍解設花卉帶的寬度為x m(0<x<600)，則中間草坪的長為(8002x)m，寬為(6002x)m.根據題意可得(8002x)(600

8、2x)×800×600，整理得x2700x600×1000，即(x600)(x100)0，所以0<x100或x600，x600不符合題意，舍去故所求花卉帶寬度的范圍為0x100.不等式恒成立問題探究問題1若函數yax22x2對一切xR，f(x)>0恒成立，如何求實數a的取值范圍？提示：若a0，顯然y>0不能對一切xR都成立所以a0，此時只有二次函數yax22x2的圖象與直角坐標系中的x軸無交點且拋物線開口向上時，才滿足題意，則解得a>.2若函數yx2ax3對3x1上恒有x2ax3<0成立，如何求a的范圍？提示：要使x2ax3<0

9、在3x1上恒成立，則必使函數yx2ax3在3x1上的圖象在x軸的下方，由y的圖象可知，此時a應滿足即解得a<2.故當a2時，有f(x)<0在3x1上恒成立3若函數yx22(a2)x4對任意3a1時，y<0恒成立，如何求x的取值范圍？提示：由于本題中已知a的取值范圍求x，所以我們可以把函數f(x)轉化為關于自變量是a的函數，求參數x的取值問題，則令y2x·ax24x4.要使對任意3a1，y<0恒成立，只需滿足即因為x22x4<0的解集是空集，所以不存在實數x，使函數yx22(a2)x4對任意3a1，y<0恒成立【例3】已知yx2ax3a，若2x2，x

10、2ax3a0恒成立，求a的取值范圍思路點撥對于含參數的函數在某一范圍上的函數值恒大于等于零的問題，可以利用函數的圖象與性質求解解設函數yx2ax3a在2x2時的最小值為關于a的一次函數，設為g(a)，則(1)當對稱軸x<2，即a>4時，g(a)(2)2(2)a3a73a0，解得a，與a>4矛盾，不符合題意(2)當22，即4a4時，g(a)3a0，解得6a2，此時4a2.(3)當>2，即a<4時，g(a)222a3a7a0，解得a7，此時7a<4.綜上，a的取值范圍為7a2.1(變結論)本例條件不變，若yx2ax3a2恒成立，求a的取值范圍解若2x2，x2ax

11、3a2恒成立可轉化為：當2x2時，ymin2或或解得a的取值范圍為5x22.2(變條件)將例題中的條件“yx2ax3a，2x2，y0恒成立”變為“不等式x22xa23>0的解集為R”，求a的取值范圍解法一：不等式x22xa23>0的解集為R，函數yx22xa23的圖象應在x軸上方，44(a23)<0，解得a>2或a<2.法二：令yx22xa23，要使x22xa23>0的解集為R，則a滿足ymina24>0，解得a>2或a<2.法三：由x22xa23>0，得a2>x22x3，即a2>(x1)24，要使該不等式在R上恒成立，必

12、須使a2大于(x1)24的最大值，即a2>4，故a>2或a<2.1不等式ax2bxc>0的解是全體實數(或恒成立)的條件是：當a0時，b0，c>0；當a0時，2不等式ax2bxc<0的解是全體實數(或恒成立)的條件是：當a0時，b0，c<0；當a0時，3解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數1解分式不等式時，一定要等價變形為一邊為零的形式，再化歸為一元二次不等式(組)求解當不等式含有等號時，分母不為零2對于某些恒成立問題，分離參數是一種行之有效的方法這是因為將參數分離后，問題往往會轉化為函數問

13、題，從而得以迅速解決當然，這必須以參數容易分離作為前提分離參數時，經常要用到以下簡單結論：(1)若f(x)有最大值f(x)max，則a>f(x)恒成立a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，則a<f(x)恒成立a<f(x)min.3在某集合A中恒成立問題設yax2bxc(a0)若ax2bxc0在集合A中恒成立，則集合A是不等式ax2bxc0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數的取值(范圍).1思考辨析(1)不等式>1的解集為x<1.()(2)求解m>ax2bxc(a0)恒成立時，可轉化為求解yax2bxc的最小值，從而求出m的范圍()提示(1)>11>0<0x|0<x<1故(1)錯(2)m>ax2bxc(a0)恒成立轉化為m>ymax，故(2)錯答案(1)×(2)×2不等式>0的解集為_x|4<x<3或x>1原式可轉化為(x1)(x2)2(x3)(x4)>0，根據數軸穿根法，解集為4<x<3或x>1.3對于任意實數x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，則實數a的取值范圍是_2a2當a20，即a2時，40恒成立；當a20，即a2時，則有解得2a2.綜上，實數a的取值范圍是2