1、1二二.留數留數0z00zz)(zf0z設設 為為 的孤立奇點的孤立奇點,在在 的去心鄰域的去心鄰域)(zf內內 ， 的的Laurent 展式為展式為: nnnzzCzf)()(0對對上上式式兩兩邊邊積積分分得得的的任任一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線，內內包包含含為為000zzzL 12)( iCdzzfL 10001)(21),(Res,),(Res)()(21 CdzzfizzfzzfzzfdzzfiCLL 即即的的留留數數，記記為為在在為為稱稱20),(Res0 zzf)()(lim),( sRe000zfzzzzfzz )()(lim)!1(1),( sRe01100zfzzdzdmzz

2、fmmmzz 留數計算法：留數計算法：則則的的可可去去奇奇點點為為若若,)()1(0zfz則則級級極極點點的的為為若若,1)()2(0zfz則則級級極極點點的的為為若若,)()3(0mzfz ,0)(,0)(,0)()()(,)()()()4(0000則則解解析析，且且在在及及設設 zQzQzPzzQzPzQzPzf)()(),(zRes 000zQzPzf 1m3 0),(Re12)0(13) 1()0(021)!1(lim)!1(1)()0(11lim)!1(100zzfsCzzCmzzCmCmzzmzfmzzmdzmdzzm 于是證明,)()3(0級級極極點點的的為為若若mzfz的的去去

3、心心鄰鄰域域內內則則在在0z )()()( )(0101010zzCCzzCzzCzfmm,)()()()(001010 mmmmzzCzzCCzfzz0 mC4）；即即得得（）中中取取（注注：2, 13. 1 m2.從證明過程不難看出，即使極點的級數小于從證明過程不難看出，即使極點的級數小于m,也可也可當作級數為當作級數為m 來計算。這是因為表達式來計算。這是因為表達式)0(01)0(1)0(1()0()( zzCmzzCzzmCmCmzzzf這不影響證明結果。這不影響證明結果。的系數的系數 中可能有一個或幾個為零而已中可能有一個或幾個為零而已，1,mmCC5 2111( )()fzzz 解

4、0( ),1zfzz為的 二 級 奇 點為 一 級 奇 點2/20210211R e(),lim ()!()zsfzzzz 201 =-11lim()zz 2111111Re ( ), lim()()zs f zzzz 例2 求下列函數的有限奇點并計算留數：662sin( ) ( )zzf zz 00001|zzz,cosz / /z z- -s si in nz z( (z z- -s si in nz z) )= =0 00000010sinsin,zzzzzz /(z-sinz)(z-sinz)(z-sinz)(z-sinz)|( )f z分子的三級零點，為的三級零點。3/002Res

5、( ),0lim( )(3 1)!zzf zz f z01125/sinlim()!zzz 3z6解：有限孤立奇點z=0, z=0為分母的 級零點7(3) ( )coszf zz cos0,(0, 1, 2)2zzkk 解解：令令22(cos )sin0,2z kz kzzk 為為一一級級極極點點121222Re ( ),()()sin()kks f z kkk (0, 1, 2)k 81)(21),(Re CdzzfizfsL 無窮遠點處的留數無窮遠點處的留數內內解解析析的的去去心心鄰鄰域域在在無無窮窮遠遠點點設設 zRzzf)(處處的的留留數數定定義義為為在在則則簡簡單單閉閉曲曲線線，內內

6、任任一一條條逆逆時時針針方方向向的的為為 )(zfzRL的的系系數數中中展展式式內內的的在在為為其其中中11Laurent)( zzCzRzfCnnn21 1 Res (z),Res ( ),0z zff 9例3 求下列函數在無窮遠處的留數：23212( ) ( )()zf zz z lim( )zf zz 解：存在且有界，為可去奇點221 13 2z Res (zRes (0 Res00z z1 2z), ), , ff 21( )( )zf zz 1z 解：時102111 ()zz 11Re ( ),.s f zC 1111( )zf zzz 21 1 Res (z),Res ( ),0z

7、 zff 另另法法：22111Res,0Res,01(1)1zzzzz 112414( )zef zz 例 ：求的所有奇點及對應的留數。244401111212( )()!znnnnnefzzzzznn .340),(Re1 Czfs341lim!310),(Re)3(4240 zezzfszz解法法1)(zf所以，所以，0為為 的三級極點，且的三級極點，且法2因為因為0是分子的一級零點，是分母的四級零點是分子的一級零點，是分母的四級零點，)(zf所以所以0是是 的三級極點，取的三級極點，取 m=4,由公式由公式 2 得.34),(Re1 Czfs12 Lnkkzzfsidzzf1),(Re2

8、)( 三三.留數定理留數定理)(zf定理定理1 設函數設函數 在區域在區域D內除有限個孤立奇點內除有限個孤立奇點nzzz,21外處處解析，外處處解析，L是是D內包圍諸奇點的內包圍諸奇點的一條逆時針方向簡單閉曲線，那么條逆時針方向簡單閉曲線，那么由復合閉路定理由復合閉路定理,得得利用這個定理，可將求沿封閉曲線利用這個定理，可將求沿封閉曲線L的積分的積分，轉化為求被積函數在轉化為求被積函數在L中的各孤立奇點處的留數中的各孤立奇點處的留數。130),(Re),(Re1 nkkzzfszfs)(zf定理定理2 如果函數如果函數 在擴充的復平面內除有限在擴充的復平面內除有限個點總和必等于零點總和必等于零

9、, ）的留數的）的留數的即)(zf孤立奇點外解析，那么孤立奇點外解析，那么 在所有各奇點（包括在所有各奇點（包括14222211d112:( )() ():(),LIzzzL xyxy 例1逆時針。222211111112( ),() (),:()().f zzzizzzziLxy 解：的奇點為在內I2 i(Res1Res ( ), ( ), )f zf z i 由留數定理一：2112 ilim(1)( )lim() ( )(2 1)!zzizf zz i f z 112242()ii 15515(2)d:,(3)(1)2LIzLzzz逆 時 針 。5100 1 2 3 43( )(, , ,

10、 , ),.kLf zzzkzL 解： 在 內奇點為的五個根奇點在 外511 22Re ( ), kkIis f z z由留數定理 、 ，得：2( Re ( ),3Re ( ), )is f zs f z12(0)242121ii31Res33242 ( ), lim() ( ),zf zzf z 其中163z 時55511313111()()()()zzzzzz 625101391111()()zzzzz10Re ( ),.s f zC 21 1Res (zRes (0 z z ),), ff 41 Res00(1-3z)(1-z ), 17四四.利用留數計算某些實積分利用留數計算某些實積分

11、,)sin,(cos) 1 (20型dR2220111(cos ,sin)(,)22iz ezzzdzRdRziziz22001,daaa 計算1-2 cos例4.2 , 0cossin)sin,(cos 上上連連續續的的有有理理函函數數，在在，為為其其中中 R18201=2 10(cos )iaaaaaze 2解：，1-2 cos（1- )積分是常義的，令2221121122()()zdzdzIzi zazaa zizaaz 111( )()()zzdzf z dzi zaazza在1內，僅有一奇點z=一級211Res=11 ( ), lim()()()()zaf z azai zaazia

12、22122Res211 ( ), ()Iif z aiiaa 19,)()2(型型 dxxR滿滿足足：),0, 0(1010)()()( nbmanxnbxbbmxmaxaaxnQxmPxR則則在在實實軸軸上上無無奇奇點點，即即在在實實軸軸上上)(,0)()2(,2)1(zRzQmnn ),(Re2)(kzzRsidxxR 點點。在在上上半半平平面面內內的的所所有有奇奇為為其其中中)(zRzk其中20.),0,0()22222bababxaxdx （計計算算 )1)(2222222222bxaxdxbzazzf（232222223222)(2)2()(21)(432)()(lim) )()(l

13、im2),(Re),(Re2abbaababbiabiaabizfbizzfaizibizfsaizfsibizaiz 例5解21.)1032 xdx（計計算算dxxdxxzzf3232032)1121)11)11)( （163)(12lim21 )()(lim)!13(1),(Re22133 izizfiziizfsiiziz例6解22,)0()()3(型型 adxexRiax滿滿足足：),0,0(1010)()()( nbmanxnbxbbmxmaxaaxnQxmPxR ,)(Re2)(kiaziaxzezRsidxexR 則則在在實實軸軸上上無無奇奇點點，即即在在實實軸軸上上)(,0)()2(,1)1(zRzQmn 。在在上上半半平平內內的的所所有有奇奇點點為為其其中中)(zRzk其中23. )0