1、第二章第二章:直流電路及電阻電容網絡直流電路及電阻電容網絡一、穩恒電流一、穩恒電流電流強度電流強度: 假設假設t 時間內流過任一面積時間內流過任一面積的電荷為的電荷為q, 則定義電流強度則定義電流強度2.電流密度電流密度: 垂直流過單位面積的電流強度垂直流過單位面積的電流強度 。 I 是是S的電流的電流, n 是是 j 方向上的單位方向上的單位矢矢 3. 穩恒電流穩恒電流: 一般一般I 和和j 都隨時間變化都隨時間變化. 若若I 和和j 不隨不隨時間變化時間變化, 則稱為穩恒電流則稱為穩恒電流 0,tItq0, nSjSIjS二、二、 直流電路基本規律直流電路基本規律1.歐姆定律歐姆定律: (

2、1) 一段無源電路的歐姆定律一段無源電路的歐姆定律: R 是電路的電阻是電路的電阻, 是材料的電阻率是材料的電阻率, 是是材料的電導率材料的電導率. (2) 歐姆定律的微分形式歐姆定律的微分形式: 是是穩恒電場穩恒電場1,SlRURI,EjE(3) (3) 簡單閉合電路的歐姆定律簡單閉合電路的歐姆定律: : ,)(ilirRI電流電流I 從電源正極流出時從電源正極流出時, 取電動勢為取電動勢為+? (4) (4) 一段含源電路的歐姆定律一段含源電路的歐姆定律: :計算電勢降落的順向計算電勢降落的順向: AB: AB)()()()(22221111BAABrRIrRIIRUUU約 定約 定 :

3、I : I 與 順 向 同與 順 向 同 , , 取取“+IR +IR ”; ; ? 與順向同與順向同, , 取取“- -?” 。2. 2. 焦耳焦耳楞次定律楞次定律: : 電功電功: A=I U t, : A=I U t, 電功率電功率: P=I U: P=I U 焦耳熱功率焦耳熱功率: Q=I 2R (: Q=I 2R (純電純電阻阻) )3. 3. 基爾霍夫定律基爾霍夫定律 (1)(1)節點定律節點定律: : 對任一節點電流的代數和等于零對任一節點電流的代數和等于零, , 即即 I i=0. I i=0.(2) (2) 回路定律回路定律: : 對任一閉合回路電勢的降落等于零對任一閉合回路

4、電勢的降落等于零, , 即即 ( (I R)+(I R)+(?)=0 )=0 注意注意: : 一復雜電路若共有一復雜電路若共有p p條支路條支路, n, n個節點個節點, , 則則只有只有(n-1)(n-1)個節點方程和個節點方程和m=p- n+1m=p- n+1個回路方程是個回路方程是獨立的獨立的, , 由此構成基爾霍夫方程組由此構成基爾霍夫方程組( (共共p p個方程個方程).).三、二端電阻三、二端電阻( (電容電容) )網絡的等效電阻網絡的等效電阻( (電容電容) )1. 1. 基本串并聯接時的等效電阻基本串并聯接時的等效電阻( (電容電容):):串聯電阻串聯電阻: R=R1+R2+,

5、 : R=R1+R2+, ( (電流相等電流相等) )并聯電阻并聯電阻: 1/R=1/R1+1/R2+, : 1/R=1/R1+1/R2+, ( (電壓相等電壓相等) )串聯電容串聯電容: 1/C=1/C1+1/C2+, : 1/C=1/C1+1/C2+, ( (電荷相等電荷相等) )并聯電容并聯電容: C=C1+C2+. : C=C1+C2+. ( (電壓相等電壓相等) )2. 2. 等勢簡化方法等勢簡化方法: : 利用對稱性將復雜電路中等電勢點做利用對稱性將復雜電路中等電勢點做“短路或短路或“斷路處置斷路處置, , 又不影響各支路電又不影響各支路電流分布流分布, , 從而使電路化為簡單電路

6、從而使電路化為簡單電路. . 就可方就可方便地求出等效電阻便地求出等效電阻. . 方法二方法二: : 由上下左右對稱性由上下左右對稱性, , 故故按右圖短接各等勢點后按右圖短接各等勢點后, , 不改不改變電流的分布變電流的分布, , 即它的等效電阻即它的等效電阻與原電路的相等。與原電路的相等。 方法一方法一: 由上下對稱性由上下對稱性, 故故 將將a點點和和b點按右圖斷開后點按右圖斷開后, 仍保證仍保證a點點和和a點點, b點和點和b點點 等電勢等電勢, 即它即它的等效電阻與原的等效電阻與原 電路的相等。電路的相等。 例例: 將將20個相同電阻個相同電阻R 如如右圖連接右圖連接, 求求AB間的

7、電阻。間的電阻。3. 支路電流法支路電流法: (利用對稱性利用對稱性)分析各支路電流分布分析各支路電流分布, 結合節點結合節點定律、含源電路歐姆定律和電勢差等概念定律、含源電路歐姆定律和電勢差等概念, 列方列方程解得各支流與總電流的比例關系程解得各支流與總電流的比例關系, 從而求出網從而求出網絡等效電阻。絡等效電阻。 例例: 求圖中求圖中A, B兩點間的等效兩點間的等效電阻。由對稱性和節點定律分析電阻。由對稱性和節點定律分析, 可知各支路電流分布如圖所示可知各支路電流分布如圖所示. RIIRIIRIU)2()(2111ACII521IRRIIRIU5711AB)(2RIUR57ABAB（1）形

8、聯接變換為）形聯接變換為Y形聯接形聯接: 已知已知R12, R23和和R13, 可得：可得： R1=R12R13/(R1+R2+R3)R2=R12R23/(R1+R2+R3) R3=R23R13/(R1+R2+R3) 4. Y-4. Y-變換法：變換法：（2 2Y Y形聯接變換為形聯接形聯接變換為形聯接: : 已 知已 知 R 1 , R 2R 1 , R 2 和和 R 3 , R 3 , 可 得 ：可 得 ： R12=R1+R2+R1R2/R3R12=R1+R2+R1R2/R3 R 2 3 = R 2 + R 3 + R 2 R 3 / R 1 R 2 3 = R 2 + R 3 + R 2

9、 R 3 / R 1 R13=R1+R3+R1R3/R2 R13=R1+R3+R1R3/R2 四四. . 無窮網絡的等效電阻無窮網絡的等效電阻( (電電容容):):1.無窮網絡無窮網絡: 一維網絡一維網絡, 二維網絡二維網絡, 三維網絡三維網絡2. 方法方法: 等效變形等效變形, 對稱性對稱性, 歸納法歸納法, 逼逼近法近法例例: 網絡元由阻值均為網絡元由阻值均為r的電阻組成的電阻組成, 由此構成一維無窮網絡由此構成一維無窮網絡, 求等效電阻求等效電阻解：此一維無窮網絡可等效化為下一張解：此一維無窮網絡可等效化為下一張幻燈片圖中的電路幻燈片圖中的電路, 結合逼近法和支路電結合逼近法和支路電流法

10、等方法流法等方法求網絡等效求網絡等效電阻電阻 RAB 此一維無窮網絡可等效化為下列電路此一維無窮網絡可等效化為下列電路, 結合逼近法和支路電結合逼近法和支路電流法等方法求網絡等效電阻流法等方法求網絡等效電阻RAB。整理上述方程，得)when (,1ABkRRRkk,xkkRrRrRrIIrIIRrIrIIrIrIIrIIrIIUx)()()()(2)()(2)(2122211121AB電路變形后有右下圖：設各支路的電流如右下圖，得方程,),11151321AB1115)(621115791ABrRIIIIrRrRIUrRrRrRrRkkkkkk因而，可得等效電阻rRR155525kAB五、例題

11、五、例題 例例1:三個相同的金屬圓圈三個相同的金屬圓圈(每個圓圈的電阻為每個圓圈的電阻為R )同同心正交連成如圖網絡心正交連成如圖網絡, 試求試求A、B兩點間的等效電阻兩點間的等效電阻RAB 解: 完成變形后，由簡單電路的電阻串并聯公式得 作變形處理 o1、o2點等勢 Do、oC等流Ao、oB等流RrRrrrr485125252252AB4Rr 例例2: 如下圖如下圖, 四個電池四個電池, 四個電阻四個電阻, 四個電容分別四個電容分別接入立方體骨架各條棱上接入立方體骨架各條棱上, C1=C2=C3=C4=1F, 電阻電阻均均為為R, 電池均無內阻電池均無內阻, 電動勢分別為電動勢分別為 , ,

12、 , , 求各電容器充電后具有總能量求各電容器充電后具有總能量. 假假設設將將H和和B二頂點短路二頂點短路, C2上將會有多少電荷上將會有多少電荷?V41V123V164V82 由于C, E兩點只與電容器和電源相連，且電容的阻直作用使得無電流通過, 故電路電流的流向為解：（1先變形平面電路，4 RGH1A RBDF 4, RR由此可見電流沒有分支，其大小為,3414RRI則電阻R上的電壓為大小為),V(3 IRUR由回路定律求各電容的電壓ABCDA回路: BFGCB回路: HDAEH回路: ABFEA回路:),V(1, 01112CCRUUU),V(5, 02224CCRUUU),V(5, 0

13、3331CCRUUU),V(1, 02434CCCRUUUU則各電容器蓄存的能量及總能量分別為(2) B、H短接后,電路等效于右圖簡單電路中的B、H兩點短路，故有, ) J (106 . 2,5221221iiCiiCiiUCWWUCW0, 0, ,2224221824CRCRRRRQUUII 例例3:兩個均勻金屬圓圈和四根均勻金屬短兩個均勻金屬圓圈和四根均勻金屬短直桿聯成圖示網絡直桿聯成圖示網絡, 1/4大圓弧大圓弧, 1/4小圓弧和短小圓弧和短直桿的電阻均為直桿的電阻均為r, 求求A, C兩點間的等效電阻兩點間的等效電阻. 解：解： 等效變形 設電流I由A點 流入 C點流出 對稱點D與B,

14、 D與B等勢 又因B點與B點等勢, 其間電阻上無電流, 可做斷路處理, 所以43)( /)(2222ACrrrRrrrr例例4: 求圖中電阻網絡求圖中電阻網絡A, B間的等效電阻。間的等效電阻。 (每小段的電阻為每小段的電阻為R)。 解解: : 設電流設電流I I從從A A點流入點流入, B, B點流出點流出, , 初看此電路沒有對稱初看此電路沒有對稱性性, , 但仔細分析可發現它可分解為兩個對稱網絡但仔細分析可發現它可分解為兩個對稱網絡( (如圖如圖), ), 利利用電流分布法和電流疊加原理就可求得等效電阻用電流分布法和電流疊加原理就可求得等效電阻. . ;,)(3,8221221IIIRI

15、IRII245 224 1 3 1 5 2 3 4 1 5 4 2 2 3 1,2,2,2,2,IIIIRIRIRIRIRIRIIIIIIIII電流疊加, 得 RRIRRIRIUIIIIIIIIIUAB2429AB242921AB31 2222413 111,2, 例例5: 求下圖所示無窮方格電阻網絡中求下圖所示無窮方格電阻網絡中A, B兩點之間的等效電阻兩點之間的等效電阻(每段電阻阻值均為每段電阻阻值均為R).解解:設設A, B間接有電流間接有電流I , 通過最短路徑由通過最短路徑由A流向流向B的的電流為電流為I1, 原網絡電流分布可等效于由原網絡電流分布可等效于由A流向無窮遠時和由流向無窮

16、遠時和由無窮遠無窮遠流向流向B時的電流分布之疊加時的電流分布之疊加, 那么那么 而而214 141,IIIIII2AB1ABRIRIIUR 111III 例例6: 用伏特計來測量某分壓電路各部用伏特計來測量某分壓電路各部分的電壓分的電壓, 分壓電路接在分壓電路接在U=12V的直流電源的直流電源上上(見圖見圖), 如果圖如果圖(1)中伏特計讀數中伏特計讀數為為U2= 2.4V, 那么圖那么圖(2)中其讀數為中其讀數為多少多少? (R1=200k, R2=100k)解法一解法一: 設伏特計的電阻為設伏特計的電阻為RV, 由圖由圖(1), 有有 由圖由圖(2), 有有),k(100),k(50,V6

17、 . 922211121VIURRRRabRURRIIUUUVV,V8 . 4),k(,V12132002111212URUUUVVbcRRRRbcRRUU解法二解法二: 不具體求伏特計的電阻為不具體求伏特計的電阻為RV, 由圖由圖(1), 有有 由圖由圖(2), 有有,212122122/VVVVVRRRRRRRRRRRRRUU,212111211/VVVVVRRRRRRRRRRRRRUU,212122121121VVVVVVRRRRRRRRRRRRRRRRUU,V8 . 4,212121URRUU 例例7: 某電路兩端某電路兩端(M和和N)的開路端電壓的開路端電壓恰好為于恰好為于100W燈

18、泡的額定電壓燈泡的額定電壓, 但實際接但實際接上上100W燈泡時功率卻為燈泡時功率卻為81W, 若將兩個相若將兩個相同的燈泡并接兩端則此兩燈泡的總功率為同的燈泡并接兩端則此兩燈泡的總功率為多少多少?解解: 所給電路是一個有源二端網絡所給電路是一個有源二端網絡, 可用一可用一等效的電源等效的電源替代如圖）替代如圖）, 由第一個條件由第一個條件, 有有由第二個條件由第二個條件, 有有所以，兩個相同的燈泡并接時所以，兩個相同的燈泡并接時, ,2RR 并,)(21RPU額額9)(22,2RrRrRRIP實,W88.1332121162)(222RrRRRIP并并實并 例例8: 求如圖所示無窮電容網絡中求如圖所示無窮電容網絡中A, B間的等效電容間的等效電容.解解: 設設M, N間的電容為間的電容為CMN=Cn, A, B間的電容為間的電容為CAB=Cn+1, 那么那么 當當n時時, 有方程有方程所以所以,)(1nnCCCCCCnC, 022CCCCnn.62.0215ABCCCC