1、2015-2016學年高中三年級第二次統一考試數學（理）試卷一、 選擇題：1. 設復數z滿足 （i為虛數單位），則|z|A.1 B.5 C. D. 2. 若命題 ，命題，則下列命題為真命題的是A. B. C. D. 3. 若 為奇函數，則的解集為A. B. C. D. 4. 執行如圖所示的程序框圖，則輸出i的值為A.4 B.5 C.6 D. 555. 已知 滿足，則在區間上的最大值為A.4 B. C.1 D. 26. 在矩形ABCD中，AB=3,BC=,，點F在邊CD上，若，則的值為A.4 B. C.0 D. 47. 設D為不等式組 表示的平面區域，圓C: 上的點與區域D上的點之間的距離的取值

2、范圍是A. 1, ) B., C., D. 1, 18. 如圖所示是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為A.57+24 B. 57+15 C. 48+15 D. 48+249. 已知雙曲線C：的左右焦點分別是，過的直線與C的左右兩支分別交于A,B兩點，且，則=A. B.3 C.4 D. 10. 設等比數列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：給出下列結論：（1）；（2）（3）的值是中最大的（4）使成立的最大自然數等于4030.其中正確的結論為A.（1）,（3） B.（2）,（3） C. （1）,（4） D. （2）,（4）11. 已知正四面體的外接球的半徑為，過中點作球的截面，則截面面積的最

3、小值為A. B. C. D. 12. 若函數有極值點，且，則關于的方程的不同實根個數為A.0 B.3 C.4 D.5二、 填空題1. 的展開式中常數項為_.2. 已知F為拋物線的焦點，是該拋物線上的動點，點A是拋物線的準線與x軸的交點，當最小時，點P的坐標為_.3. 如圖所示，若在邊長為e（e為自然對數的底數）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為_.4. 對于數列，若，都有成立，則稱數列具有性質若數列的通項公式為 ，且具有性質，則實數a的取值范圍是_.三、 解答題（本小題滿分12分）1. 在中，角所對的邊分別為， （1）求角的大小；（2）求的最大值.（本小題滿分12分）2. 如圖

4、1，在邊長為4的正方形中，、分別為、的中點，沿將矩形折起使得二面角的大小為（如圖2），點是的中點（1）若為棱上一點，且，求證：平面；（2）求二面角的余弦值（本小題滿分12分）3. 已知某水庫近50年來年入流量（單位：億立方米）的頻數分布如下表：年入流量年數將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.現計劃在該水庫建一座至多安裝3臺發電機組的水電站，已知每年發電機組最多可運行臺數受當年年入流量的限制，并有如下關系：年入流量最多運行臺數（1）求隨機變量的數學期望；（2）若某臺發電機組正常運行，則該臺發電機組年利潤為5000萬元；若某臺發電機組未運行，則該臺發電機組年虧

5、損800萬元為使水電站年總利潤的期望達到最大，應安裝發電機組多少臺？（本小題滿分12分）4. 已知橢圓C:的左右頂點分別為A,B，右焦點為，離心率，點是橢圓C上異于A,B兩點的動點，APB的面積最大值為（1）求橢圓的方程；（2）若直線AP與直線交于點，試判斷以為直徑的圓與直線的位置關系，并作出證明（本小題滿分12分）5. 設函數，為函數的極值點（1）若為函數的極大值點，求的單調區間（用表示）；（2）若函數恰有一個零點，求實數的取值范圍四、 選做題（本小題滿分10分）1. 選修41：幾何證明選講MNPDBCAO如圖所示，已知圓O外有一點P，作圓O的切線PM，M為切點，過PM的中點N，作割線NAB

6、，交圓于A、B兩點，連接PA并延長，交圓O于點C，連接PB交圓O于點D，若MCBC（1）求證：APMABP；（2）求證：四邊形PMCD是平行四邊形2. 選修44：坐標系與參數方程已知曲線C的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是.求曲線C的直角坐標系方程與直線l的普通方程.設點P(m,0)，若直線l與曲線C交于A,B兩點，且|PA|·|PB|=1，求實數m的值.3. 選修45：不等式選講設函數(1)解不等式f(x)>0;(2)若，使得，求實數m的取值范圍.2015-2016學年高中三年級第二次統一考試數學（理）試卷

7、解析五、 選擇題：1. 設復數z滿足 （i為虛數單位），則|z|A.1 B.5 C. D. 【答案】C【考點】復數運算，復數的模【解析】因式展開得從而復數，分母實數化得到因此，故選C【點評】：分式形式的復數運算，注意分母實數化的步驟，分子分母要求同乘分母的共軛復數；求模運算注意正確選取實部和虛部；本題屬于基本題型2. 若命題 ，命題，則下列命題為真命題的是A. B. C. D. 【答案】A【考點】命題的邏輯運算，基本不等式，對數運算，二次函數【解析】命題p，由基本不等式可判定為真命題關于命題q，使用配方法可得，故為假命題綜上可知，選項A為正解【點評】：命題的邏輯運算并不難，但首先要對命題做出基

8、本判斷；本題屬于基本題型3. 若 為奇函數，則的解集為A. B. C. D. 【答案】D【考點】函數奇偶性和單調性的綜合運用【解析】根據奇函數特性得 即a=1得到，因此這是單調遞減函數， 故 即x>0【點評】：嚴格按照定義挖掘已知條件，注意觀察函數特殊值；本題屬于中檔題4. 執行如圖所示的程序框圖，則輸出i的值為A.4 B.5 C.6 D. 55【答案】B【考點】流程圖，平方數列前n項和公式【解析】本程序作用是對平方數列求和容易得到，故輸出5【點評】：注意識記典型數列前n項和公式；本題屬于基本題型5. 已知 滿足，則在區間上的最大值為A.4 B. C.1 D. 2【答案】B【考點】三角函

9、數的頻率、相位及初相，誘導公式【解析】由f(0)確定三角函數的初相，由誘導公式可知因此且故【點評】：考查三角函數相關知識，屬于基本題型6. 在矩形ABCD中，AB=3,BC=,，點F在邊CD上，若，則的值為A.4 B. C.0 D. 4【答案】D【考點】平面向量，建系知識【解析】如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，AD為x軸，AB為y軸，則B(0,3)，F(,1)，E(, 3)，因此【點評】：平面解析幾何問題，可以使用三角函數，也可以使用建系方法，利用平面向量的坐標運算，統一處理；屬于中檔題型7. 設D為不等式組 表示的平面區域，圓C: 上的點與區域D上的點之間的距離的取值范圍是A. 1,

10、 ) B., C., D. 1, 1【答案】B【考點】簡單線性規劃，點與圓位置關系【解析】首先求解平面區域的頂點，確定各頂點到圓心的距離最后求出最小距離減半徑和最大距離加半徑，即為所求范圍交點(0,0)(0,3)(1,1)距離d5所求范圍 , 【點評】：鎖定目標函數，完成線性規劃；本題屬于中檔題型8. 如圖所示是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為A.57+24 B. 57+15 C. 48+15 D. 48+24【答案】D【考點】三視圖，簡單空間組合體【解析】本題為圓錐與直四棱柱的組合體注意表面積分為三部分，圓錐側面展開圖，即扇形面積圓錐底面圓，直四棱柱側面積，總面積為48+24【點評】：

11、簡單空間組合體，注意表面積可用投影法求得，不易誤算；本題屬于基本題型9. 已知雙曲線C：的左右焦點分別是，過的直線與C的左右兩支分別交于A,B兩點，且，則=A. B.3 C.4 D. 【答案】：C【考點】：雙曲線的概念【解析】：由雙曲線定義可知：，; 兩式相加得： 又，式可變為=4 即=4【點評】：屬于基本題，考查學生的轉化能力10. 設等比數列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：給出下列結論：（1）；（2）（3）的值是中最大的（4）使成立的最大自然數等于4030.其中正確的結論為A.（1）,（3） B.（2）,（3） C. （1）,（4） D. （2）,（4）【答案】：C【考點】：等比數列

12、性質【解析】：由可知：或如果，那么，若，則；，又因為，所以應與異號，即，這假設矛盾，所以若，則且，與退出的結論矛盾，所以，故（1）正確，故（2）錯誤由結論（1）可知，所以數列從2016項開始小于1，所以最大故（3）錯誤由結論（1）可知數列從2016項開始小于1，而，所以當時，求得對應的自然數為4030，故（4）正確【點評】：本題難度中等，解題的關鍵是熟練等比數列的性質11. 已知正四面體的外接球的半徑為，過中點作球的截面，則截面面積的最小值為A. B. C. D. 【答案】：A【考點】：正四面體的特征，圓的面積公式以及空間想象能力【解析】：由正四面體的外接球的半徑R與棱長關系可知：即=，所以正

13、四面體的棱長=4因為過作球的截面，當截面與垂直時，截面圓的半徑最小，此時截面圓的面積有最小值此時截面圓的半徑，截面面積【點評】：本題屬于基礎題目，正四面體外接球的半徑與棱長關系是解題的關鍵12. 若函數有極值點，且，則關于的方程的不同實根個數為A.0 B.3 C.4 D.5答案：B【考點】：導數、解一元二次方程、分析轉化與數形結合能力【解析】：函數有兩個不相同的極值點，即=0有兩個不相同的實數根，也就是方程有兩個不相同的實數根，所以由于方程的判別式，故此方程的兩個解為或由于函數的圖像和直線的交點個數即為方程的解的個數，函數的圖像和直線的交點個數即為方程的解的個數根據函數的單調性以及，我們作出函

14、數的大致圖像由圖可知的圖像和直線的交點個數為2，的圖像和直線的交點個數為1.所以或共有三個不同的實數根，即關于的方程的不同實根個數為3【點評】：本題難度中等偏上，是導數單調性、極值點與解一元 二次方程的綜合題目，求解的關鍵是判斷出函數的單調性，畫出大致圖像，并將方程解的個數問題轉化為函數圖像的交點個數問題六、 填空題1. 的展開式中常數項為_.【答案】141【考點】二項式定理【解析】將原式看做，由二項式定理可得展開式的通項為又的展開式通項為，則取常數項時，由題可知，則m的可能取值為0,1,2,3，對應的r分別為0,2,4,6時，常數項為1；時，常數項為30；時，常數項為90；時，常數項為20；

15、故原式常數項為【點評】：利用已知的二項式定理，將多項式合理組合，變形為二項式，進而再用公式逐步分析2. 已知F為拋物線的焦點，是該拋物線上的動點，點A是拋物線的準線與x軸的交點，當最小時，點P的坐標為_.【答案】【考點】拋物線焦半徑公式，基本不等式【解析】由題可知焦半徑，則，則，因為點在拋物線上，所以，則(當且僅當時取等號)，則，且取最小值時，此時點P的坐標為【點評】：會利用焦半徑公式將幾何意義轉化為函數運算，分式型最值要善于變形，聯想基本不等式3. 如圖所示，若在邊長為e（e為自然對數的底數）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為_.【答案】【考點】定積分，幾何概型【解析】由圖可

16、知正方形關于直線對稱，又與圖象也關于直線對稱，如下圖，則，正方形面積為，則概率為【點評】：遇到較難的指數或對數函數問題，可以先聯系反函數，被積函數為對數函數時不好求，可根據圖象特征等價轉化為指數函數4. 對于數列，若，都有成立，則稱數列具有性質若數列的通項公式為 ，且具有性質，則實數a的取值范圍是_.【答案】【考點】全稱命題，推理運算【解析】由數列通項公式且數列具有性質可知，則恒成立，則數列為單調遞增數列，則有恒成立，化簡得，由數軸標根法作圖觀察可知時最值成立，則帶入可得【點評】：恒成立問題一般轉化為求最值，構造新的數列形式后要利用遞推關系建立不等式七、 解答題（本小題滿分12分）1. 在中，

17、角所對的邊分別為， （1）求角的大小；（2）求的最大值.【答案】（1） （2）【考點】正弦定理，三角恒等變換【解析】 【點評】：正確使用正弦定理和三角恒等變換是解決問題的關鍵，解題時要注意三角形內角和的應用本題考查學生邏輯推理能力和靈活運用知識的能力（本小題滿分12分）2. 如圖1，在邊長為4的正方形中，、分別為、的中點，沿將矩形折起使得二面角的大小為（如圖2），點是的中點（1）若為棱上一點，且，求證：平面；（2）求二面角的余弦值【考點】：（1）線面垂直；（2）空間向量求二面角余弦值【解析】：解法一（幾何法）： （1）證明：在矩形中，由得：又由勾股定理得：，所以：，所以：，即：為正方形，二面角

18、為直二面角，、為中點所以：面；所以：故有：，所以，面解法二（坐標法）（略）（2）以F為坐標原點，分別以FD,FC,FE為x,y,z軸，如圖所示構建空間直角坐標系，則：，設面EFG的法向量為，面BFG的法向量為，則有：，即：，故可取：，【點評】：（1）本小題考察巧妙，打破一部分同學認為證明題無需計算的思維誤區，同互余角三角函數關系證明垂直；（2）常規向量法求二面角余弦值，同學們在備考中要注意：圖形中二面角銳鈍不明顯的情況（本小題滿分12分）3. 已知某水庫近50年來年入流量（單位：億立方米）的頻數分布如下表：年入流量年數將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.現

19、計劃在該水庫建一座至多安裝3臺發電機組的水電站，已知每年發電機組最多可運行臺數受當年年入流量的限制，并有如下關系：年入流量最多運行臺數（1）求隨機變量的數學期望；（2）若某臺發電機組正常運行，則該臺發電機組年利潤為5000萬元；若某臺發電機組未運行，則該臺發電機組年虧損800萬元為使水電站年總利潤的期望達到最大，應安裝發電機組多少臺？【答案】（1）1.9 （2）2臺【考點】離散隨機變量的分布【解析】（1）依題意，隨機變量的分布列為隨機變量的數學期望為 記水電站總利潤為（單位：萬元） 安裝臺發電機的情形.由于水庫年流入量總大于40，故一臺發電機運行的概率為1，對應的年利潤 安裝臺發電機的情形.依

20、題意，當時，一臺發電機運行，此時因此；當時，兩臺發電機運行，此時 因此.由此 的分布列如下： 安裝臺發電機的情形. 依題意，當時，一臺發電機運行，此時 因此；當時，兩臺發電機運行，此時 因此.當時，三臺發電機運行，此 因此由此的分布列如下：綜上，欲使水電站年總利潤的期望達到最大，應安裝發電機臺【點評】正確理解題意是基礎，準確寫出各分布列是關鍵本題考查學生邏輯推理能力和離散隨機變量的分布（本小題滿分12分）4. 已知橢圓C:的左右頂點分別為A,B，右焦點為，離心率，點是橢圓C上異于A,B兩點的動點，APB的面積最大值為（1）求橢圓的方程；（2）若直線AP與直線交于點，試判斷以為直徑的圓與直線的位

21、置關系，并作出證明【考點】（1）橢圓基本量；（2）聯消判韋，點線距離，線圓位置關系，分類討論【解析】（1）由題意得，解得：所以，橢圓方程為：.（2）以為直徑的圓與直線相切證明：設直線：，則：，的中點為為聯立，消去整理得：設，由韋達定理得：，解得：，故有：又，所以當時，此時軸，以為直徑的圓與直線相切當時，所以直線，即：，所以點到直線的距離而，即知：，所以以為直徑的圓與直線相切【點評】：解法常規，難度適當（本小題滿分12分）5. 設函數，為函數的極值點（1）若為函數的極大值點，求的單調區間（用表示）；（2）若函數恰有一個零點，求實數的取值范圍【點評】：本題屬于導數問題的中檔題，主要考查導數和函數單

22、調性、零點問題，涉及的主要思路是對參數范圍的分類討論，其中的正負問題用到構造函數再求導分析，難度不大【解析】：由題意可得：定義域為且為極值點，故 且 （）（1）為函數的極大值點 當時，的單調遞增；時，的單調遞減；時，的單調遞增.（2）若時，在的單調遞減；在時單調遞增恰有一個零點，若時，在單調遞增；在單調遞減；在單調遞增.為極大值點 為極小值點又 恰有一個零點若時，在單調遞增；在單調遞減；在單調遞增.為極大值點 為極小值點設 則，故 又 恰有一個零點綜上所述：若函數恰有一個零點，則實數八、 選做題（本小題滿分10分）1. 選修41：幾何證明選講MNPDBCAO如圖所示，已知圓O外有一點P，作圓O

23、的切線PM，M為切點，過PM的中點N，作割線NAB，交圓于A、B兩點，連接PA并延長，交圓O于點C，連接PB交圓O于點D，若MCBC（1）求證：APMABP；（2）求證：四邊形PMCD是平行四邊形【考點】與圓有關的比例線段；相似三角形的判定【解析】（1）PM是圓O的切線，NAB是圓O的割線，N是PM的中點，MN2PN2NA·NB，又PNABNP，PNABNP，APNPBN，即APMPBAMCBC，MACBAC，MAPPAB，APMABP(2)ACDPBN，ACDPBNAPN，即PCDCPM，PMCD，APMABP，PMABPA，PM是圓O的切線，PMAMCP，PMABPAMCP，即MCPDPC，MCPD，四邊形PMCD是平行四邊形【點評】本題考查的知識點是和圓有關的切