1、會計學1常微分方程奇解與包絡常微分方程奇解與包絡 奇解奇解包絡和奇解包絡和奇解克萊羅方程（克萊羅方程（Clairant EquationClairant Equation）本節要求：本節要求： 1 了解奇解的意義； 2 掌握求奇解的方法。主要內容主要內容第1頁/共33頁2(0)0dyydxycxcxycxydxydy,)(22xy120cxcxcxy,)(, 020c 第2頁/共33頁21d yyd x例 2 ： 求 方 程的 所 有 解 。sin()yxc解：該方程有通解此外還有兩個特解y=1和y=-1第3頁/共33頁xy第4頁/共33頁定義定義 如果方程存在某一解，在它所對應的如果方程存在

2、某一解，在它所對應的積分曲線上每點處，解的唯一性都被破壞，積分曲線上每點處，解的唯一性都被破壞，則稱此解為微分方程的則稱此解為微分方程的奇解奇解。奇解對應的積。奇解對應的積分曲線稱為分曲線稱為奇積分曲線奇積分曲線 第5頁/共33頁一一 包絡和奇解的定義包絡和奇解的定義曲線族的包絡：曲線族的包絡：是指這樣的曲線，它本身并不包含在曲線族中，但過這條曲線上的每一點，有曲線族中的一條曲線與其在此點相切。奇解：奇解：在有些微分方程中，存在一條特殊的積分曲線，它并不屬于這個方程的積分曲線族，但在這條特殊的積分曲線上的每一點處，都有積分曲線族中的一條曲線與其在此點相切。這條特殊的積分曲線所對應的解稱為方程的

3、奇解奇解。 注注：奇解上每一點都有方程的另一解存在。第6頁/共33頁第7頁/共33頁例 單參數曲線族222Rycx )(R是常數，c是參數。xyo顯然，Ry是曲線族 的包絡。 222Rycx )(一般的曲線族并不一定有包絡，如同心圓族，平行線族等都是沒有包絡的。第8頁/共33頁注:并不是每個曲線族都有包絡.例如: 單參數曲線族:222cyx(其中c為參數)表示一族同心圓. 如圖從圖形可見, 此曲線族沒有包絡.第9頁/共33頁 二、不存在奇解的判別法二、不存在奇解的判別法假設方程(1.9)的右端函數在區域上有定義，如果在D D上連續且在D D上有界(或連續)，那么由本章定理，方程的任一解是唯一的

4、，從而在D D內一定不存在奇解。有定義的區域D D內成立，那么奇解只能存在于不滿足解的存在唯一性定理條件的區域上.進一步如果再能表明在這樣的區域上不存在方程的解，那么我們也可以斷定該方程無奇解。 如果存在唯一性定理條件不是在整個第10頁/共33頁222()()2d yaxyd xd ybyxd x例：判斷下列方程是否存在奇解第11頁/共33頁( ,),(1.9)dyfx ydx證明：證明： 應用定理積分曲線與線素場的關應用定理積分曲線與線素場的關系的充要條件系的充要條件第12頁/共33頁三三 求奇解（包絡線）的方法求奇解（包絡線）的方法l C-判別曲線法判別曲線法l P-判別曲線法判別曲線法設

5、一階方程0),(yyxF的通積分為。0),(Cyx1 C-判別曲線法判別曲線法結論結論：通積分作為曲線族的包絡線（奇解）包含在下列方程組00),(),(CyxCyxC消去 C 而得到的曲線中。第13頁/共33頁00),(),(CyxCyxC設由能確定出曲線為)(),(:CyyCxxL 則0),(),(CCyCx對參數 C 求導數0),(),()(),(),()(),(),(CCyCxCyCCyCxCxCCyCxCyx從而得到恒等式0)(),(),()(),(),(CyCCyCxCxCCyCxyx第14頁/共33頁0)(),(),()(),(),(CyCCyCxCxCCyCxyx當),(),(C

6、yxCyxyx至少有一個不為零時有,),(),(),(),()()(CCyCxCCyCxCxCyyx或,),(),(),(),()()(CCyCxCCyCxCyCxxy這表明曲線 L 在其上每一點 (x(C), y(C) ) 處均與曲線族中對應于C的曲線 相切。0),(Cyx注意：注意： C-判別曲線中除了包絡外，還有其他曲線，尚判別曲線中除了包絡外，還有其他曲線，尚需檢驗。需檢驗。第15頁/共33頁例例1 求直線族0pyxsincos的包絡，這里 是參數，p 是常數。解：解：對參數 求導數0cossinyx聯立0pyxsincos0cossinyx022222cossincossinxyyx

7、222222pxyyxcossinsincos相加，得222pyx，經檢驗，其是所求包絡線。xyop第16頁/共33頁例例2 求直線族03232)()(cxcy的包絡，這里 c 是參數。解：解：對參數 c 求導數02)(cxcy聯立03232)()(cxcy02)(cxcy得0323)()(cxcx從 得到0cxxy 從 得到92 xy032 )(cx因此， C-判別曲線中包括了兩條曲線，易檢驗， 是所求包絡線。92 xy第17頁/共33頁xyoxy 92 xy第18頁/共33頁2 p-判別曲線判別曲線結論結論：方程 的奇解包含在下列方程組00),(),(pyxFpyxFp0),(yyxF消去

8、 p 而得到的曲線中。注意：注意： p-判別曲線中除了包絡外，還有其他曲線，尚需判別曲線中除了包絡外，還有其他曲線，尚需檢驗。檢驗。第19頁/共33頁例例3 求方程0122ydxdy的奇解。解：解： 從消去 p，得到 p-判別曲線經檢驗，它們是方程的奇解。020122pyp1y因為易求得原方程的通解為)sin(cxy而 是方程的解，且正好是通解的包絡。1y第20頁/共33頁例例4 求方程22dxdydxdyxy的奇解。解：解： 從消去 p，得到 p-判別曲線經檢驗， 不是方程的解，故此方程沒有奇解。02222pxpxpy2xy 注意：注意： 以上兩種方法，只提供求奇解的途徑，所得以上兩種方法，

9、只提供求奇解的途徑，所得p-判判別曲線和別曲線和C-判別曲線是不是奇解，必需進行檢驗。判別曲線是不是奇解，必需進行檢驗。第21頁/共33頁 3 克萊羅方程克萊羅方程形式)(pfxpy其中)(,pfdxdyp 是 p 的連續函數。解法解法ppfpxpp)(0ppfx)(0 pcp )(cfcxy)()()(pppfypfx通解奇解第22頁/共33頁結果結果:Clairaut方程dxdyfdxdyxy的通解)(cfcxy是一直線族,此直線族的包絡)(0)( pfxpypfx或)(0)( cfxcycfx是Clairaut方程的奇積分曲線, 所對應的解是奇解.第23頁/共33頁例例5 求解方程pxp

10、y1解：解： 這是克萊羅方程，因而其通解為消去 c，得到奇解xy42cxcy1cxcycx1012從第24頁/共33頁xyOxy42.42xy 如圖:此方程的通解是直線族:,1ccxy而奇解是通解的包絡:第25頁/共33頁例例6 求一曲線，使在其上每一點的切線截割坐標軸而成的直角三角形的面積都等于2。解解 設要求的曲線為)(xyy 過曲線任上一點 的切線方程為),(yxyxXxyY)(其與坐標軸的交點為),(yyxxyy 切線截割坐標軸而成的直角三角形的面積為2 21)(yyxxyy第26頁/共33頁2 21)(yyxxyyyyxy42)(yyxy2yyxy2這是克萊羅方程，因而其通解為112cxcyxcc22 消去 c，得到奇解1xy從02222cxxccy這是等腰雙曲線，顯然它就是滿足要求的曲線。第27頁/共33頁第28頁/共33頁2222( )2 909,22190,221903,3229,22x yyyxxxpyp ypdppxpdxpyxpdppcxpcxydxxc 例7 求方程 的解.解 令 求導后整理得由得由得即第29頁/共33頁第30頁/共33頁本節要點本節要點：1.奇解的定義。2.不存在奇解的判別方法。（1）全平面上解唯一（2）不滿足解唯一的區域上沒有方程的解3.