1、田佳 王伊 陳鵬數學建模入門練習題練習題1：發現新大陸！發現新大陸！人人都能做到，可是最終哥倫布做到了。為什么哥倫布能做到呢？(參考答案： 有興趣、能想到、去做了、堅持到底。) 答： 1）從其主觀條件分析： 他具有一個優秀水手的素質：對大海的熱愛，具有寶貴的航海經驗，接觸過航海所必不可少的宇宙學和數學，并且學會了繪制地圖和使用各種航海工具。更為重要的事，在航海強國葡萄牙，哥倫布在思想上為遠航做好了準備。他閱讀了馬可·波羅游記，對東方的富饒遐想無限，使他產生了到東方區的想法；他接觸了學者托斯勘內里，接受了“地圓學說”，堅定了從海上到達東方的信念。2）從客觀條件分析： 出于共同的對黃金的

2、追求，哥倫布與西班牙王室達成了一致（簽訂圣塔菲協定），西班牙為其提供了自己的船隊、自己的船員。當時中國的指南針也已傳到航海界，這一發明對其也有及其重要的作用練習題2：棋盤問題有一種棋盤有64個方格，去掉對角的兩個格后剩下62個格（如下圖），給你31塊骨牌，每塊是兩個格的大小。問能否用這些骨牌蓋住這62個方格？答：這個問題涉及到數學上的一個典型排列：完美覆蓋 31張不重疊的多米諾牌則蓋住31個白方格和31個黑方格。因此，這副被剪過的棋盤沒有完美覆蓋，上述推理可總結為：31黑 白 32黑30白更一般地可以將 棋盤上的方格交替徐成黑色和自色，切除一些方格，得到一塊切過的棋盤什么時候能有一個完美覆蓋？

3、為使完美覆蓋存在，這塊被切過的棋盤必須又有相等的黑方格數和白方格數 但是，這個條件卻不是充分的，最后是不能夠用這些骨牌蓋住其余方格的練習題3：硬幣游戲如果你和你的對手準備依次輪流地將硬幣放在一個長方形桌子上，使得這些硬幣不重疊。最后放上硬幣的人為勝者，在開始時你有權決定先放還是后放。為了能贏得這場比賽，你決定先放還是后放呢？ 答：決定先放。首先將硬幣放在長方形桌子的中心，然后根據對手所放的硬幣，找一桌子中心為對稱中心的位置，直至對手沒有地方放硬幣為止，由于長方形的對稱性，只有中心不存在對稱位置，故先放者贏。練習題4：高速問題 一個人從 A 地出發，以每小時30公里的速度到達 B 地，問他從 B

4、 地回到 A 地的速度要達到多少？才能使得往返路程的平均速度達到每小時60公里？答：模型假設：假設A、B兩地距離為S，從B地到A地的速度為V,往返的評速度均為 。模型建立：從A地到B地所用的時間t = ，從B地回到A地時間為t = ，往返路程時間為t + t = + ，則往返A、B的平均速度 = = 。模型求解：由于往返路程的距離為2S，平均速度要達到60km每小時，而從A地到B地的速度為每小時30km，所以v>60。 令v=60， =4 ，繼續增大v，發現只有v + 時，才可能有 =60.練習題5：登山問題某人上午八點從山下的營地出發，沿著一條山間小路登山，下午五點到達山頂；次日上午八

5、點又從山頂開始下山（沿同一條小路）返回，下午五點又到達了山下的營地。問：是否能找到一個地點來回時刻是相同的？答：A能否在同一地點來回的時間相同可以等價于在同一天A,B兩人的相遇問題。模型假設：1、在這兩天中除了A的出發地點與終點不同外，其他因素相同。2、從山頂到山底和從山底到山頂定的距離相同，A、B兩人除了出發點與終點不同外，其他因素相同。3、山頂到山底之間路程是連續的。4、在登山與下山過程中無意外發生。 模型建立：t為A在路上的某時刻， 為t時刻A離山底距離， 為t時刻B離山頂的距離， 為t時刻A離山底和B離山頂的距離之和，s為從山底到山頂的距離。模型求解：在t=8:00時， ， ；在t=1

6、7:00時， ，所以有 。 由連續函數介值定理可知：存在某一時刻 使 ，即 ，綜上所述，存在某一時刻是A、B在同一時刻同一地點相遇。可知，A必在這兩天中同一時刻經過同一地點。練習題6：兄弟三人戴帽子問題 解放前，在一個村子里住著聰明的三兄弟，他們除惡殺了財主的兒子，犯了人命案。縣太爺有意想免他們一死，決意出一個難題測測他們是否真的聰明，如果他們能在一個時辰內回答出來，就免他們一死，否則就被處死。題目如下： 兄弟三人站成一路縱隊(老三選擇了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分別被蒙住了眼睛，縣太爺說我這里有兩頂黑帽子和三頂紅帽子，接著分別給他們頭上各帶了一頂帽子，然后又分別把被蒙

7、住的眼睛解開。此時，老大只可以看見老三和老二頭上的帽子,老二只可以看見老三頭上的帽子，老三看不見帽子。 只有一個時辰的時間，看誰能說出自己頭上帽子的顏色，第一句聲音有效。現在開始！ (縣太爺有多少種帶帽子的方案，那一種最難？你能回答嗎？)答：全紅1種，2紅1黑3種，1紅2黑3種。共7種不同的戴法。給老三戴紅帽最難了。從最簡單的開始看起。首先肯定是老大猜，因為他能看到老二老三的帽子顏色，如果老二老三帽子都是黑的，那么老大馬上就能判斷自己帽子是紅的，這就是1紅2黑的3種中的一種情況。共1種，這種情況最簡單。但是萬一老大猜不出來呢？那就是老二老三帽子要么1黑1紅， 要么2紅，這個時候，該讓老二猜了，

8、如果老二看到老三的帽子是黑的，他馬上就可以猜到自己帽子是紅的。（因為老大不能猜出來，則肯定老二老三的帽子1紅1黑或2紅）如果讓老二猜，并且猜出來，這是較難的戴帽方法，包括2紅1黑3種中的一種，1紅2黑3種中的一種。共2種，這2種較難。但是萬一老二也猜不出來呢？那就是老三的帽子是紅的，老二不能猜出來，老三要經過老大老二都不能猜出來分析來判斷自己的帽子是紅的。包括3紅情況下的1種，2紅1黑3種情況下中的2種，1紅2黑3種情況中的一種，共4種。這4種是最難的。 這只是理論上分析，實際應用中，我們還要考慮人的心理研究。俗話說“最危險的地方就是最安全的地方”，也許選用看起來最簡單的方案會得到意想不到的結

9、果。練習題7：做出空間圖形做出由曲面與相交的空間曲線和所圍成的立體的圖形。答：程序:syms x y zx=-3:0.1:3;y=-3:0.1:3;x y=meshgrid(x,y);z1=x.2+2*y.2;z2=6-2*x.2-y.2;nx=length(x);ny=length(y);for i=1:nx; for j=1:ny; if (isreal(z1(i,j) z1(i,j)=0; end endendmesh(x,y,z1)hold onmesh(x,y,z2)hold off圖像：改編自變量取值范圍syms x y zx=-1.5:0.1:1.5;y=-1.5:0.1:1.5

10、;x y=meshgrid(x,y);z1=x.2+2*y.2;z2=6-2*x.2-y.2;nx=length(x);ny=length(y);for i=1:nx; for j=1:ny; if (isreal(z1(i,j) z1(i,j)=0; end endendmesh(x,y,z1)hold onmesh(x,y,z2)hold off練習題8：網球比賽問題？n個男網球運動員進行網球單打比賽，要決出冠軍，至少要打多少場比賽？思路：冠軍只有一個，必然要淘汰n-1個選手才能產生冠軍，又因為是單敗淘汰賽，淘汰n-1個選手必然有n-1場比賽。練習題9：身高和年齡的關系你不認為“身高和年齡

11、之間有關系嗎？”請你們三個人分別按照每人從出生到現在每年的身高和對應的年齡記錄下來（在你本人的寶寶成長紀念冊中），制成表（注明：男生、女生，籍貫），然后分別找到它們之間的關系，用數學（函數和圖形）的方法表示出來。 該資料從網上所得 性名 年 齡身高 A BC178757428785863969391410510310151141091106120114117712612312581301291309136134135101421391411115214615012157151158131611571611416316016515165162167161661641691716816617118

12、1691671741917016817420170169174籍貫河南河南河南由圖可得，在一定一年齡段內，身高與年齡的關系為：y = 36.348Ln(x) + 61.81附錄：1、男性身高=出生時身長(厘米)÷0.2949;女性身高=出生時身長(厘米)÷0.3109。用此公式要注意：只適用于正常足月新生兒;測量身長數據時如能精確到0.1厘米，身高的預測將更準確。2、男性身高=3歲時身高×0.545 父母平均身高×0.544 37.69(厘米);女性身高=3歲時身高×0.545 父母平均身高×0.544 25.63(厘米)，人體標準身

13、高預測公式(遺傳法則)男性身高=(父親身高+母親身高)×1.08÷2(厘米)女性身高=(父親身高×0.923+母親身高)÷2(厘米)上述公式大體上符合“高加高生高，高加矮生高，矮加矮生矮”的遺傳學原則。練習題10：過三峽大壩請你說明船舶是如何從上游通過長江三峽大壩去下游的，又是如何從下游通過長江三峽大壩去上游的。 換句話說，船舶是如何通過長江三峽大壩的。 答：三峽大壩蓄水后，上下游水位落差高達幾十米，從壩下60多米的水面，要上升到壩上135米的江面簡單地說,船閘是連接大壩上下游水位的高低差的媒介.即利用連通器原理使船閘內水位變化的裝置,利用這個裝置可使船

14、順利通過船閘進入上游或下游. 實現原理: 當船需從上游的高水位進入下游低水位時,關閉下游閘門,開啟上游閘門,使船閘內的水位和上游一致,這時上游的船可順利進入船閘內. 再關閉上游閘門,開啟下游閘門,使船閘內的水位下降至壩下游水位,以便船閘內的船順利從下游閘門開往大壩的下游. 水漲船高,水落船低.三峽船閘分五級，為五級船閘。三峽大壩113米的落差，這猶如高臺跳水，不可能一次完成，只能分級“接力”轉換，就要考慮多級船閘。船從下游駛來，需過大壩上行，先將五閘室水位降到與下游水位一致，打開下閘門，船舶進入閘室；關閉下閘門，輸水系統充水抬高閘室水位，船舶隨閘室水位上升而上升，當水位與四閘室水位齊平時，打開

15、五閘首人字閘門，船舶就好像爬過一級階梯，輕松駛入上一級閘室。如此上升，直至駛出一閘室，如同攀登五級臺階，進入高峽平湖。如船舶是從上游往下游走，過程正好相反。另外一種船舶過壩方式，是通過升船機完成，相當于人坐電梯。升船機將在未來的6年內完成。屆時，噸位較小的船只將通過升船機一次性提升過壩，通過時間比走雙線五級船閘要少。練習題11：你如何解釋？首都博物館里有一個展品是一個出土的石盒子容器（見下圖），它的外側表面的石刻畫中，有一個佛的頭像是一個方形的洞，這如何解釋呢？仔細看那幾個佛像的頭部，好象和身體并不是一體雕刻成的，也就是說頭部是單獨雕刻然后安裝上去的，那么這個洞就是安裝佛頭用的，現在這個佛頭丟

16、失了，就露出了這個洞。如果把其它幾個佛像(特別是頭部后面帶圓圈的那幾個佛像)的頭也去悼，后現很可能也會有洞。 看下面那尊龍門石窟中的大佛，頭后面也有洞，那是當初為了保護佛像，在佛像外面安裝了一個木制檔棚，那個方孔就是固定支架用的。練習題12：海盜分金幣有五個海盜在海上搶得了100枚金幣，上岸后他們要分贓。 他們五個人排了個順序，第一個人先制定一個分配方案，如果第一個人的方案被通過并執行，此次分金幣的事結束，如果第一個人的方案被否決，把第一個人殺掉。 100枚金幣由其余的四個人分，再由第二個人制定一個分配方案，依次類推，直到金幣被分完。 請你替第一個人制定一個合適的分配方案。（注：分配方案被通過

17、是指同意的人數大于反對的人數，否則方案被否決。）答：分配方案可寫成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。推理過程是這樣的：99哦， 從后向前推，如果1至3號強盜都喂了鯊魚，只剩4號和5號的話，5號一定投反對票讓4號喂鯊魚，以獨吞全部金幣。所以，4號惟有支持3號才能保命。 3號知道這一點，就會提出“100，0，0”的分配方案，對4號、5號一毛不拔而將全部金幣歸為已有，因為他知道4號一無所獲但還是會投贊成票，再加上自己一票，他的方案即可通過。 不過，2號推知3號的方案，就會提出“98，0，1，1”的方案，即放棄3號，而給予4號和5號各一枚金幣。由于該方案對于4號和5號來說比在3號分配

18、時更為有利，他們將支持他而不希望他出局而由3號來分配。這樣，2號將拿走98枚金幣。 同樣，2號的方案也會被1號所洞悉，1號并將提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放棄2號，而給3號一枚金幣，同時給4號（或5號）2枚金幣。由于1號的這一方案對于3號和4號（或5號）來說，相比2號分配時更優，他們將投1號的贊成票，再加上1號自己的票，1號的方案可獲通過，97枚金幣可輕松落入囊中。這無疑是1號能夠獲取最大收益的方案了！答案是：1號強盜分給3號1枚金幣，分給4號或5號強盜2枚，自己獨得97枚。分配方案可寫成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。練習題13：學會管

19、理工作你的公司需要確定五名員工值一個月（30天）的班，每天只需要安排這五名員工中的二名值班。請你們安排一個公平、合理、科學的值班表。答：30 天可以分成6 組，每5 天一組，這樣循環值班。每輪值班情況如下：將5 個人假設為A,B,C,D,E. 天數值班安排1（A,B）2(C,D)3(E,A)4(B,C)5(D,E)注：員工順序可以調換，但是還是每5 天保證2 天班。這樣每個員工在五天內都可以值兩天班，這樣公平，合理又科學練習題14：近幾年北京市空氣質量好多了!你不認為“近幾年北京市空氣質量好多了嗎？”請你們尋找近10年北京市空氣質量的數據，并用得到的數據找出年份和對應的藍天數之間的關系，用數學

20、模型的方法表示出來。再用你們建立的數學模型預測今年、明年北京市空氣質量(主要指藍天數)。再用你們建立的數學模型預測一下，到那年北京市空氣質量全達標(主要指藍天數等于全年的天數)。解：年份20022003200420052006200720082009空氣質量指數219219229234238246274285直接由圖得出在一定范圍內，對應的年份與藍天數的關系： 藍天數y 與年份x 的關系為： 當x=9,10 時，帶入公式得 y=287,298。所以今年，明年的藍天數分別為287 天,298 天。當 y=365 時，可得x=15.3 ,所以藍天數達到去年天數時的時間是2017練習題15：為什么要

21、更改名字？我校為了慶祝建校30周年，在校園內立了幾個雕塑，其中一個（見下圖）剛立時名字叫“麥比烏斯環”，可是過了一段時間后就把名字改了，為什么要更改名字呢？答：環分為兩側，內側與外側，若放一螞蟻在環的外側，則螞蟻一直在外側爬行，若把螞蟻放在內側，則螞蟻一直在內側，則螞蟻一直在內側爬行。故，螞蟻在環上爬行的時候，不能達到環的所有位置。而麥比烏斯環的特點是，若放一螞蟻在環上，螞蟻爬行可達到環的任意一個位置，即環沒有內外側之分。這樣的環才稱為麥比烏斯環。而上圖中的環有內外側之分，故不是麥比烏斯環。所以要更正名字。真正的麥比烏斯環如下圖：練習題16：椅子能在不平的地面上放穩嗎？考慮椅子的四腳呈長方形的

22、情形。答：模型假設：假設1 椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一個點，四個椅腳的連線為長方形。假設2 地面高度是連續變化的，沿任何方向都不會出現間斷(沒有像臺階那樣的情況)，即地面可視為數學上的連續曲面。假設3 對于椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。模型建立： 首先，引入合適的變量來表示椅子位置的移動。 要把椅子挪動放穩，通常可以拖動和轉動，即為數學中的平移和旋轉。然而，平移椅子后問題的條件沒有發生本質的變化，所以用平移的辦法是不能解決問題的。于是可嘗試將椅子就地旋轉，并試圖在旋轉過程中找到一種能放穩的情形。注意到椅腳連線成長方形，長方形

23、為中心對稱圖形，繞他的對稱中心旋轉后，椅子仍在原地。把長方形繞它的對稱中心旋轉可以表示為椅子位置的改變。于是，旋轉角表示了椅子的位置。為此，在平面上建立直角坐標系來解決問題。設椅腳連線為長方形ABCD，以對角線AC所在直線為x軸，對稱中心O為原點，建立平面直角坐標系。椅子繞O點沿逆時針方向旋轉后，長方形ABCD旋轉至的位置，則可以用旋轉角（0）表示出椅子繞點O旋轉后的位置。其次，把椅子腳是否著地用數學形式表示出來。 當椅腳與地面的垂直距離為零時，椅腳就著地了，當距離大于零是，椅腳不著地。由于椅子在不同位置是函數，則椅腳與地面的垂直距離也是函數。由于椅子有四只腳，因而椅腳與地面的垂直距離有四個，

24、它們都是函數，椅子在任何時刻至少有三支腳著地，即對于任意的，其函數值至少三個同時為零。考慮到長方形ABCD是對稱中心對稱圖形，饒其對稱中心O逆時針轉后，長方形位置不變，但A，C和B，D對換了。因此，記A，B兩腳與地面的豎直距離之和為,C,D兩腳與地面的豎直距離之和為其中。則可以化為求解數學問題。和都是關于的連續函數，和中至少有一個為零，即， 。證明存在，使得。模型求解：如果，那么結論成立。如果與不同時為零，不妨設>0, =0.這是，將長方形ABCD繞O逆時針旋轉后，點A,B與點C,D互換，但長方形ABCD在地面上所處的位置不變，由此可知，而由>0, =0,得。令，由于和都是關于的連續函數，因此也是關于的連續函數。又根據介值定理，必存在，使，又所以 。椅子四只腳著地，放穩了。練習題17：商人們怎樣安全過河？四名商人各帶一個隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行。隨從們密約，在河的任一岸，一旦隨從的人數比商人多，就殺人越貨。但是如何乘船渡河的大權掌握在商人們手中。商人們怎樣才能安全渡河呢?答：記第次渡河前此岸的商人數為，隨從數為.將二維向量定義