1、整理ppt1二、幾個初等函數的麥克勞林公式二、幾個初等函數的麥克勞林公式 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應用三、泰勒公式的應用 用多項式近似表示函數用多項式近似表示函數理論分析理論分析近似計算近似計算5.3 泰勒泰勒 ( Taylor ) 整理ppt2特點特點:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分應用中已知近似公式在微分應用中已知近似公式 :需要解決的問題需要解決的問題如何提高精度如何提高精度 ?如何估計誤差如何估計誤差 ?

2、xx 的一次多項式的一次多項式整理ppt31. 求求 n 次近似多項式次近似多項式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令令)(xpn則則)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xf

3、xpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201整理ppt4)0(之間與在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 余項估計余項估計)()()(xpxfxRnn令令(稱為余項稱為余項) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn則有則有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之間與在xx)102(之間與在x整理ppt5)()()(xpxfxRnn10)()(nnx

4、xxR! ) 1()()1(nRnn)0(之間與在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn時時的某鄰域內的某鄰域內當在當在Mxfxn )()1(0)0(之間與在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn整理ppt6公式公式 稱為稱為 的的 n 階泰勒公式階泰勒公式 .)(xf公式公式 稱為稱為n 階泰勒公式的階泰勒公式的拉格朗日余項拉格朗日余項 .泰勒中值定理泰勒中值定理 :內具有的某開區間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導數階的導數 ,),(bax時時, 有有)(xf)(0 x

5、f)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當則當)0(之間與在xx整理ppt7公式公式 稱為稱為n 階泰勒公式的階泰勒公式的佩亞諾佩亞諾(Peano) 余項余項 .在不需要余項的精確表達式時在不需要余項的精確表達式時 , 泰勒公式可寫為泰勒公式可寫為)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到注意到* 可以證明可以證明: 階階的的連連續續導導數數有有直直到到在在點點nxxf0)( 式成立式

6、成立整理ppt8特例特例:(1) 當當 n = 0 時時, 泰勒公式變為泰勒公式變為)(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 當當 n = 1 時時, 泰勒公式變為泰勒公式變為給出拉格朗日中值定理給出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 誤差誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx整理ppt9稱為稱

7、為麥克勞林（麥克勞林（ Maclaurin ）公式）公式 ., ) 10(,00 xx則有則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn則有誤差估計式則有誤差估計式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區間上若在公式成立的區間上由此得近似公式由此得近

8、似公式整理ppt10二、幾個初等函數的麥克勞林公式二、幾個初等函數的麥克勞林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中其中)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe整理ppt11)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm整理ppt12! )2(2mxmxxf

9、cos)()3(類似可得類似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx整理ppt13) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n整理ppt14) 1()1ln()()5(xxxf已知已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 1

10、0(1) 1(n類似可得類似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k整理ppt15三、泰勒公式的應用三、泰勒公式的應用1. 在近似計算中的應用在近似計算中的應用 誤差誤差1! ) 1()(nnxnMxRM 為為)() 1(xfn在包含在包含 0 , x 的某區間上的上界的某區間上的上界.需解問題的類型需解問題的類型:1) 已知已知 x 和誤差限和誤差限 , 要求確定項數要求確定項數 n ;2) 已知項數已知項數 n 和和 x , 計算近似值并估計誤差計算近似值并估計誤差;3) 已知項數已知項數 n 和誤差限和誤差限 , 確定公式中確定公式中 x 的適用范圍的適用

11、范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(整理ppt16已知已知例例1. 計算無理數計算無理數 e 的近似值的近似值 , 使誤差不超過使誤差不超過.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令令 x = 1 , 得得e) 10(! ) 1(!1!2111nen) 10(由于由于, 30ee欲使欲使) 1 (nR!) 1(3n610由計算可知當由計算可知當 n = 9 時上式成立時上式成立 ,因此因此e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為的麥克勞林公式為整理ppt17說明說明: 注意舍入誤差對計算結果的影響注意舍入誤差

12、對計算結果的影響. .本例本例若每項四舍五入到小數點后若每項四舍五入到小數點后 6 位位, ,則則 各項舍入誤差之和不超過各項舍入誤差之和不超過,105 . 076總誤差為總誤差為6105 . 076106105這時得到的近似值這時得到的近似值不能保證不能保證誤差不超過誤差不超過.106因此計算時中間結果應比精度要求多取一位因此計算時中間結果應比精度要求多取一位 . .e!91!2111整理ppt18例例2. 用近似公式用近似公式!21cos2xx計算計算 cos x 的近似值的近似值,使其精確到使其精確到 0.005 , 試確定試確定 x 的適用范圍的適用范圍.解解: 近似公式的誤差近似公式

13、的誤差)cos(!4)(43xxxR244x令令005. 0244x解得解得588. 0 x即當即當588. 0 x時時, 由給定的近似公式計算的結果由給定的近似公式計算的結果能準確到能準確到 0.005 .整理ppt192. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限例例3. 求求.43443lim20 xxxx解解:由于由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法則用洛必塔法則不方便不方便 !2x用泰勒公式將分子展到用泰勒公式將分子展到項項,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1

14、(x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 整理ppt2011)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式證明不等式例例4. 證明證明).0(82112xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx整理ppt21內容

15、小結內容小結1. 泰勒公式泰勒公式其中余項其中余項)(0nxxo當當00 x時為時為麥克勞林公式麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之間與在xx整理ppt222. 常用函數的麥克勞林公式常用函數的麥克勞林公式,xe, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的應用泰勒公式的應用(1) 近似計算近似計算(3) 其他應用其他應用求極限求極限 , 證明不等式證明不等式 等等.(2) 利用多項式逼近函數利用多項式逼近函數 , xsin例如整

16、理ppt234224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多項式逼近泰勒多項式逼近整理ppt2412! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多項式逼近泰勒多項式逼近整理ppt25思考與練習思考與練習 計算計算.3cos2lim402xxexx)(!2114

17、422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式原式整理ppt26, 1 ,0)(上具有三階連續導數在設函數xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff.24)(, f使使一一點點)(xf)(21之間與在其中x, 1,0 x由題設對由題設對證證:備用題備用題 1.321)(!31 xf)(21f221)( x)(! 2121f )(2121xf有有)(21f221)( x)(!2121f 321)(!31 xf內至少存在證明) 1,0(且且得分別令, 1,0 x整理ppt27), 0(211)(21f)1 ,(2123211)(! 3)( f3212)(! 3)(f )0(1f)(21f22121)(! 2)( f) 1 (2f22121)(! 2)(f 1下式減上式下式減上式 , 得得 )()(48112 ff )()(48