1、x正弦、余弦、正切函數圖象和性質函 數正弦函數 y sinx,x R余弦函數 y cos x, x R正切函數y tan x, x k2有界性有界有界無界疋義域(,)(,)x | x k , k Z2值 域1,1當 x 2k (k Z)時，ymax12當 x- 2k (k Z)時，2ymin11,1當 x 2k (k Z)時，ymax1當 x2k (k Z)時，ymin1(,)周 期性是周期函數，最小正周期T 2是周期函數，最小正周期T 2T奇 偶性奇函數，圖象關于原點對稱偶函數，圖象關于y軸對稱奇函數，圖象關于原點對稱單 調性在2k，一 2k ,(k Z)2 2上是單調增函數在一 2k ,2

2、k , (k Z)2 2上是單調減函數在2k ,2 2k , (k Z)上是單調增函數在2k ,2k , (k Z)上是單調減函數在(一k , k ),(k Z)2 2上是單調增函數對 稱軸x k,(k Z)2x k ,(k Z)對 稱中 心(k ,0) (k Z)(k-,0) (k Z)2kCy,0) (k Z)正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像-5372 ”-丁1T Vx2*伽-4-7-3 、一-2-3-1o253 J. 4222y=ta nxJJJ1Jrjr yy；11/ /I r / /yy=cotx111i1!iI13f-21fJ1Jffo2fIIi1I LoIIX21三角函數的性質

3、1 定義域與值域2、奇偶性(1)基本函數的奇偶性奇函數：y = sinx , y= tanx ；偶函數：y= cosx.八黒 -型三角函數的奇偶性（i）g（x丄 丁（xR）(x)為偶函數-U 山呂 in（曲+ 訓+ e二匕T +七W E）由此得-同理 或勸=丿血(阪+呦肚丘)為奇函數u 如卩二 0 呂貯=匕吋上亡)丘） Q.I 二一 L : C 2. 為偶函數；.匚 一一.S 為奇函數O 爐=Rr+ (he 7)3、周期性1)基本公式(i)基本三角函數的周期y= sinx , y= cosx 的周期為; y = tanx , y = cotx的周期為；T(ii) ，：型三角函數的周期尹=幻 n

4、(購 + 朝 +匕尸=+爐)+上的周期為同y=cosxP =tan（處: + &） +匕尸二（處卄洞+& 的周期為 91 .（2）認知（i） 卜巳-，?|型函數的周期y = pisin(伽+ 劍| j = A cos(d&r+ 4?)|的周期為7Ty = |j4tan(dft + 訓,y=血 ot伽 + 訓的周期為 = |了（曲+卩）+円往無0）的周期=|血（血工+朝胡=|1（：0（處+上|y = |tan(&r + ) +円 j =兇訶(你+昉+刈的周期為；7T的周期為均同它們不加絕對值時的周期相同，即對 數的周期不變注意這一點與（i）的區別（ii）若函數為-

5、二 型兩位函數之和，則探求周期適于“最小公倍數法”.（iii）探求其它“雜”三角函數的周期，基本策略是試驗一一猜想一一證明（3）特殊情形研究y 二門 彳J的解析式施加絕對值后，該函JT(i)y=tanxcotx 的最小正周期為；y = sin z|+|co5z|7T的最小正周期為二；7T（iii）y = sin4X + cos4x 的最小正周期為 二.由此領悟“最小公倍數法”的適用類型，以防施錯對象 .4、單調性（1） 基本三角函數的單調區間（族）依從三角函數圖象識證“三部曲”：1選周期：在原點附近選取那個包含全部銳角，單調區間完整，并且最好關于原點對稱的 一個周期；2寫特解：在所選周期內寫出

6、函數的增區間（或減區間）；3獲通解：在中所得特解區間兩端加上有關函數的最小正周期的整數倍，即得這一函數 的增區間族（或減區間族）循著上述三部曲，便可得出課本中規范的三角函數的單調區間族.揭示：上述“三部曲”也適合于尋求簡單三角不等式的解集或探求三角函數的定義域（2）丁 型三角函數的單調區間2，此類三角函數單調區間的尋求“三部曲”為1換元、分解：令 u=，將所給函數分解為內、外兩層：y 二 f (u), u ;2套用公式：根據對復合函數單調性的認知，確定出f (u)的單調性，而后利用(1)中公式寫出關于 u 的不等式；3還原、結論：將 u=A 代入中 u 的不等式，解出 x 的取值范圍，并用集合

7、或區間 形成結論正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的性質:/y si nxy cosxy tanxycotxy(A、As in x 0)定義域RRx | x R且x k 1 ,k Zx|xR 且 x k ,k ZR值域1, 11, 1RRA, A周期性222奇偶性奇函數偶函數奇函數奇函數當0,非奇非偶當0,奇函數2k 1 ,k , k2 2k,k1 上為減函2 2k ,2k ;數 (kZ )2k2(A),2k 上為增函上為增函數2數(k Z )2k1上為增函2k ,2( A(A)數；2k 1 單調性上為減函上為增函數；【22k ,數2k3(k Z )2(A),2k 22k3上為減函2_ / A數

8、(k Z )(A)上為減函數(kZ )注意：ysinx與y sinx的單調性正好相反；y cosx與y cosx的單調性也同樣相反.一般sin x與y COS x的周期是.y sin( x )或y cos( x )的周期為2(T2(k Z)，對稱中心(k ,0) ;y cos( x )的對稱軸方o) ；y tan( x )的對稱中心(,0).,o2地，若y f(x)在a,b上遞增(減)，則y f (x)在a,b上遞減(增).2，20)的周期T .如圖，翻折無效).y sin( x )的對稱軸方程是程是x k(k Z)，對稱中心(k-2關于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數:f(

9、x)f (x)，奇函數：f( x) f (x)奇偶性的單調性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函數,tan(x1）是非奇非偶.（定義域不3關于原點對稱）奇函數特有性質：若 0 x 的定義域，則f （x）一定有f（0）0.(0 x 的定義域，貝 U 無此性質）y sinx不是周期函數；ysin x為周期函數（T）;cosx是周期函數（如圖）；ycos x為周期函數（T）；1的周期為 （如圖），并非所有周期函數都有最小正周期,例如:y f(x) 5f (x k), kR.y a cosb sin.a2 2b sin() cos二、形如yA sin( x）的函數：11、幾個物理量：A振幅；f頻率T

10、2、函數yAsin( x）表達式的確疋：定，如f（x）A sin( x)(A0,0,|相位;|2）的圖象如圖所示，則f（x）1/2y=| cos2x+1/21 圖象初相;由圖象上的特殊點確3 .函數y A sin( x)B (其中 A 0,0）最大值是 A B，最小值是 B A，周期是J 最小正周期Tn頻率是f廠相位是x，初相是其圖象的對稱軸是直線xk2(k Z)，凡5當tan tan 1,k y（k Z）;tan tan 1,kfk Z）.6y cosx與y sin x 2k是同一函數，而y （ x）是偶函數，貝 U21y （ x ） sin（ x k ） cos（ x）.27函數 y ta

11、nx 在 R 上為增函數.（為只能在某個單調區間單調遞增.若在整個定義域,y tanx 為增函數，同樣也是錯誤的.定義域關于原點對稱是f （x）具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件:y cos 2 x原點對稱cos( 2x) cos 2x是定義域y= cos|x|圖象y(答: f(x)A 由最值確定；由周期確定;cos2x2（周期的倒數）;x2sin(15x -);b有a2b2y.a22是該圖象與直線y B的交點都是該圖象的對稱中心4、研究函數y Asin（ x ）性質的方法：類比于研究y sin x的性質，只需將y Asin（ x ）中的 x 看成y sinx中的x，但在求y As

12、in（ x ）的單調區間時，要特別注意 A 和 的 符號，通過誘導公式先將 化正。如A。，。）的簡圖，是將x看著一個整體，先令x忖牛2列表求出對應的x的值 與y的值，用平滑曲線連結各點，即可得到其在一個周期內的圖象。圖象變換法： 這是作函數具體變換方法：三角函數圖象的平移和伸縮函數y Asin（ x ） k的圖象與函數y sin x的圖象之間可以通過變化A， ，k來相互轉化.A影響圖象的形狀，k影響圖象與x軸交點的位置.由A引起的變換稱振幅變換，由 引起的變換稱周期變換，它們都是伸縮變換；由 引起的變換稱 相位變換，由k引起的變換稱上下平移變換，它們都是平移變換.既可以將三角函數的圖象先平 移

13、后伸縮也可以將其先伸縮后平移.（一）先平移后伸縮向左（0）或向右（0）ysin x的圖象平移1|個單位長度得ysin (x)6.函數y Asin(x )k的圖象與y si nx圖象間的關系：圖象變換（1）振幅變換 ysin x, xR所有點的縱坐標伸長（A 1）或縮短（0 A 1）到原來的 A 倍y A sinx,x R所有點的橫坐標縮短（11）或伸長（0 1）到原來的倍（2）周期變換 ysin x, xRysin x, x R（3）相位變換 ysin x, xR所有點向左（0）或向右（0）平移 1 1 個單位長度ysin (x),x R簡圖常用方法=由ysin x圖象推y Asin( x）k

14、的圖象上下平移（縱向平移變換）:是由 k 的變化引起的.k 0,上移；kv0,下移（1）函數y sin（ 2x ）的遞減區間是3（2）y logicos（-一）的遞減區間是_234一一(答: k（答：6k51234,k,6k5、函數y Asin（ x ）圖象的畫法：（1 ）利用“五點法”作函數(k123T(kAsin( xZ）；Z）；),x R(其中ysin (x）的圖象橫坐標伸長（0 1）1到原來的一（縱坐標不變）得ysin( x )ysin( x）的圖象縱坐標伸長（A 1）或縮短（0A1）為原來的 A 倍（橫坐標不變）得yAsin( x)yAsi n(向上（k 0）或向下（k 0）x）的圖

15、象平移 k 個單位長度得yAsin(x )k圖象（二）先伸縮后平移縱坐標伸長（A 1）或縮短（0 A 1）y sin x的圖象為原來的A倍（橫坐標不變）得yAsinx.橫坐標伸長（01）或縮短（1）- . .yAsinx的圖象到原來的丄（丄（縱坐標不變）得ysin（x）向上（k 0）或向下（k 0）y Asinx（ x ）的圖象平移|k|個單位長度得y Asin（ x ） k圖象無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x 而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。 特別注意，若由 y sin x 得到 y sin x的圖象，則向左函數 y 2si n（2x -） 1 的圖象

16、經過怎樣的變換才能得到-）1向上平移 1 個單位得y 2sin（2x -）的圖象，再向橫坐標擴大到原來的 2 倍得y2sinx的圖象，最后將縱1坐標縮小到原來的丄即得y sin x的圖象）;2三、正切函數 y tanx 的圖象和性質：（1 ）定義域：x|x k ,k Z。（2）值域是 R,在上面定義域上無最大值也無最小值；2（3）周期性：是周期函數且周期是，它與直線 y a 的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期 絕對值或平方對三角函數周期性的影響：一般說來，某一周期函數解析式加絕對值或平方，其 周期性是：弦減半、切不變既為周期函數又是偶函數的函數自變量加絕對值，其周期性不變，k - k k Z內都2 2；上質具有單調性。三角函數圖象幾何性質,0k Z2對稱中心有兩類：一類是圖象與x軸的交點，另一類是漸近線與（4）奇偶性與對稱性：是奇函數，對稱中心是，特別提醒：正（余）切型函數的x軸的交點，但無對稱軸，這是y Asin( x)的圖象向左（0）或向右（0）平移個單位得y Asinx( x或向右平移應平移| |個單位，例如:y sinx的圖象？（答：y 2sin