1、第29課時解直角三角形考點一解直角三角形考點一解直角三角形【主干必備【主干必備】1.1.直角三角形中的邊角關系直角三角形中的邊角關系關系關系摘要摘要圖示圖示兩銳角之間兩銳角之間的關系的關系a+b=_a+b=_ 三邊之間三邊之間的關系的關系_9090a a2 2+b+b2 2=c=c2 2關系關系摘要摘要圖示圖示邊與角之間的邊與角之間的關系關系sin a=cos b=sin a=cos b=_cos a=sin b=cos a=sin b=_tan a= =tan a= =_ 面積關系面積關系s sabcabc=_= ch=_= ch acbcsin acos aab1ab2122.2.解直角三

2、角形的類型及解法解直角三角形的類型及解法已知條件已知條件圖形圖形解法解法一條直角邊一條直角邊a a及其對角及其對角a a 由由b=90b=90-a-a求得求得b;cb;c= ,b= = ,b= ( (或或b= ) b= ) asin aatan a22ca已知條件已知條件圖形圖形解法解法斜邊斜邊c c及其及其一角一角a a 由由b=90b=90-a-a求求得得b;a=cb;a=csin a,sin a,b=cb=ccos a(cos a(或或b=b= ) ) 22ca已知條件已知條件圖形圖形解法解法兩條直角邊兩條直角邊a,ba,b 由由c= c= 求得求得c;c;由由tan a= tan a=

3、 求得求得a,a,再由再由b=90b=90-a-a求得求得b b 22abab已知條件已知條件圖形圖形解法解法斜邊斜邊c c和一條和一條直角邊直角邊a a 由由b= b= 求得求得b;b;由由sin a= sin a= 求得求得a,a,再由再由b=90b=90-a-a求求得得b b 22caac【微點警示【微點警示】 解直角三角形時解直角三角形時“兩選擇兩選擇”(1)(1)運算選擇運算選擇: :當所求元素可用乘除時當所求元素可用乘除時, ,應選擇乘法運算應選擇乘法運算. .(2)(2)數據選擇數據選擇: :當所求元素可用原始數據和中間數據時當所求元素可用原始數據和中間數據時, ,應取原始數據應

4、取原始數據. .【核心突破【核心突破】命題角度命題角度1:1:解直角三角形解直角三角形【例【例1 1】(2019(2019梧州中考梧州中考) )如圖如圖, ,在在rtrtabcabc中中,c=,c=9090,d,d為為bcbc上一點上一點,ab=5,bd=1,tan b= .,ab=5,bd=1,tan b= .(1)(1)求求adad的長的長. .(2)(2)求求sin sin 的值的值. .34【自主解答【自主解答】(1)tanb= ,(1)tanb= ,設設ac=3x,ac=3x,得得bc=4x,bc=4x,又又acac2 2+bc+bc2 2=ab=ab2 2, ,(3x)(3x)2

5、2+(4x)+(4x)2 2=5=52 2, ,解得解得,x=-1(,x=-1(舍去舍去),),或或x=1,x=1,ac=3,bc=4.ac=3,bc=4.bd=1,bd=1,34cd=bc-bd=3,cd=bc-bd=3,ad= .ad= .22cdac3 2(2)(2)過點過點d d作作deabdeab于點于點e,e,tanbtanb= ,= ,設設de=3y,de=3y,則則be=4y,be=4y,dede2 2+be+be2 2=bd=bd2 2, ,(3y)(3y)2 2+(4y)+(4y)2 2=1=12 2, ,解得解得,y=- (,y=- (舍舍),),或或y= ,y= ,de

6、= ,de= ,sin = .sin = .3415de12ad103515命題角度命題角度2:2:解非直角三角形解非直角三角形【例【例2 2】(2019(2019鹽城中考鹽城中考) )如圖如圖, ,在在abcabc中中,bc= ,bc= ,c=45c=45,ab= ac,ab= ac,則則acac的長為的長為_._.2 2622【明【明技法技法】解非直角三角形的方法解非直角三角形的方法1.1.分割分割: :將非直角三角形的邊分成兩段將非直角三角形的邊分成兩段, ,分別在直角三分別在直角三角形中去研究角形中去研究. .2.2.計算計算: :在含有特殊角的直角三角形中利用特殊角的三在含有特殊角的

7、直角三角形中利用特殊角的三角函數分別計算角函數分別計算. .【題組過關【題組過關】1.(20191.(2019涼山州中考涼山州中考) )如圖如圖, ,在在abcabc中中,ca=cb=4,cosc,ca=cb=4,cosc= ,= ,則則sinbsinb的值為的值為( ( ) )d d141015610a. b. c. d.23442.2.如圖如圖, ,已知已知rtrtabcabc中中, ,斜邊斜邊bcbc上的高上的高ad=4,cos b= ,ad=4,cos b= ,則則ac=_.ac=_.5 5453.(20193.(2019上海浦東新區期中上海浦東新區期中) )如圖如圖, ,在在abca

8、bc中中,b,b為為銳角銳角,ab=3 ,ac=5,tan c= ,ab=3 ,ac=5,tan c= ,求邊求邊bcbc的長的長. .世紀金世紀金榜導學號榜導學號234【解析【解析】作作ahbc,ahbc,在在rtrtachach中中,tan c= ,tan c= , , ,設設ah=3x,ch=4x,ac= =5x,ah=3x,ch=4x,ac= =5x,ac=5,x=1,ah=3,ch=4,ac=5,x=1,ah=3,ch=4,ahhc2216x9xah3hc4在在rtrtabhabh中中,ab,ab2 2=ah=ah2 2+bh+bh2 2,ab=3 ,ab=3 ,bh=3,bc=7.

9、bh=3,bc=7.2考點二解直角三角形的實際應用考點二解直角三角形的實際應用【主干必備【主干必備】實際問題中的常見術語實際問題中的常見術語仰角仰角俯角俯角 視線在水平線視線在水平線_的叫做的叫做仰角仰角.視線在水平線視線在水平線_的叫做的叫做俯角俯角上方上方下方下方方位方位角角 一般指以觀測者的位置為中心一般指以觀測者的位置為中心, ,將正北或正南方向作為起始方將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標方向所成的角向旋轉到目標方向所成的角( (一一般指銳角般指銳角),),通常表達成北通常表達成北( (南南) )偏東偏東( (西西) )度度. .坡度坡度坡角坡角 (1)(1)坡度坡度: :坡面的鉛

10、直高度坡面的鉛直高度h h和水平和水平寬度寬度l的比叫做坡度的比叫做坡度( (或叫坡比或叫坡比).).用字母用字母i i表示表示, ,即即i=_.i=_.(2)(2)坡度與坡角的關系坡度與坡角的關系: :若坡角為若坡角為,則則i=_. i=_. tan tan hl【微點警示【微點警示】 1.1.仰角和俯角是相對于水平線而言的仰角和俯角是相對于水平線而言的, ,不同位置的仰角和俯角是不同的不同位置的仰角和俯角是不同的, ,可記為可記為“上仰下俯上仰下俯”. .2.2.坡度是比值坡度是比值, ,坡角為度數坡角為度數. .【核心突破【核心突破】【例【例3 3】(2019(2019成都中考成都中考)

11、2019)2019年年, ,成都馬拉松成為世成都馬拉松成為世界馬拉松大滿貫聯盟的候選賽事界馬拉松大滿貫聯盟的候選賽事, ,這大幅提升了成都市這大幅提升了成都市的國際影響力的國際影響力. .如圖如圖, ,在一場馬拉松比賽中在一場馬拉松比賽中, ,某人在大樓某人在大樓a a處處, ,測得起點拱門測得起點拱門cdcd的頂部的頂部c c的俯角為的俯角為3535, ,底部底部d d的俯的俯角為角為4545, ,如果如果a a處離地面的高度處離地面的高度ab=20ab=20米米, ,求起點拱門求起點拱門cdcd的高度的高度.(.(結果精確到結果精確到1 1米米; ;參考數據參考數據:sin35:sin35

12、0.57,0.57,cos35cos350.82,tan350.82,tan350.70)0.70)世紀金榜導學號世紀金榜導學號【自主解答【自主解答】作作ceabceab于點于點e,e,則四邊形則四邊形cdbecdbe為矩形為矩形, ,ce=db,cd=be,ce=db,cd=be,在在rtrtadbadb中中,adb=45,adb=45,ab=db=20,ab=db=20米米, ,ce=20ce=20米米. .在在rtrtaceace中中,tanace,tanace= ,= ,ae=ceae=cetanace20tanace200.70=14(0.70=14(米米),),cd=be=ab-a

13、e=6(cd=be=ab-ae=6(米米).).aece答答: :起點拱門起點拱門cdcd的高度約為的高度約為6 6米米. .【明【明技法技法】運用解直角三角形解決實際問題的一般步驟運用解直角三角形解決實際問題的一般步驟(1)(1)審明題意審明題意, ,畫出圖形畫出圖形, ,將實際問題抽象為數學問題將實際問題抽象為數學問題. .(2)(2)分析圖形分析圖形, ,找到或通過作輔助線構造出直角三角形找到或通過作輔助線構造出直角三角形. .(3)(3)解直角三角形解直角三角形, ,必要時列出方程必要時列出方程, ,得到與實際問題有得到與實際問題有關的線段長度或角的度數關的線段長度或角的度數. .(4

14、)(4)結合題意結合題意, ,寫出實際問題的答案寫出實際問題的答案. .【題組過關【題組過關】1.(20191.(2019蘇州中考蘇州中考) )如圖如圖, ,小亮為了測小亮為了測量校園里教學樓量校園里教學樓abab的高度的高度, ,將測角儀將測角儀cdcd豎直放置在與教學樓水平距離為豎直放置在與教學樓水平距離為18 m18 m的地面上的地面上, ,若測角儀的高度為若測角儀的高度為1.5 m,1.5 m,測得教學樓的頂部測得教學樓的頂部a a處的仰角為處的仰角為3030, ,則教學樓的高度是則教學樓的高度是( ( ) )c c3a.55.5 ma.55.5 mb.54 mb.54 mc.19.5

15、 mc.19.5 md.18 md.18 m2.(20192.(2019寧波中考寧波中考) )如圖如圖, ,某海防哨某海防哨所所o o發現在它的西北方向發現在它的西北方向, ,距離哨所距離哨所400400米的米的a a處有一艘船向正東方向航行處有一艘船向正東方向航行, ,航行一段時間后航行一段時間后到達哨所北偏東到達哨所北偏東6060方向的方向的b b處處, ,則此時這艘船與哨所則此時這艘船與哨所的距離的距離obob約為約為_米米.(.(精確到精確到1 1米米, ,參考數據參考數據: : 1.414, 1.732)1.414, 1.732)世紀金榜導學號世紀金榜導學號566566323.(20193.(2019天津中考天津中考) )如圖如圖, ,海面上一艘海面上一艘船由西向東航行船由西向東航行, ,在在a a處測得正東方向處測得正東方向上一座燈塔的最高點上一座燈塔的最高點c c的仰角為的仰角為3131, ,再向東繼續航行再向東繼續航行30 m30 m到達到達b b處處, ,測得該燈塔的最高點測得該燈塔的最高點c c的的仰角為仰角為4545, ,根據測得的數據根據測得的數據, ,計算這座燈塔的高度計算這座燈塔的高度cd(cd(結果取整數結果取整數).).參考數據參考數據:sin31:sin310.52,c