1、 線性調頻小波變換：物理因素 Steve Ma nn 和 Sim on Hayk in 摘要 我們考慮對于任意待分析信號的可參數化的線性調頻函數族內積形式的多維參數空間。 采用平方調頻函數（我們簡稱為 q-調頻），并引出可兼顧時間頻率域和時間尺度域作為二維 子空間的參數空間。其包含了一個“時間 -頻率-尺度體”，因而囊括了短時傅里葉變換（作 為在時間頻率軸上的投影）和小波變換（時間尺度軸上的投影） 。 另外，關于頻率和尺度，變換空間內有兩個額外的坐標軸：時間域切變（由和 q-調頻 函數的卷積獲得）和頻率域切變（由和 q-調頻函數的乘積獲得）。信號在該多維空間內可以 通過一個被我們稱為“ q-調

2、頻小波變換”，或稱“線性調頻小波變換”的新方法捕獲。 這里提出的線性調頻小波是小波的廣義形式， 兩者通過時頻平面上的二維仿射變換 （平 移、伸縮、旋轉和剪切）聯系起來，與之形成對照的是小波變換，通過時間域的一維仿射變 換（平移、伸縮）相聯系。 1. 引言 大部分傳統的信號處理理論都是基于正弦波的，借助于現代計算機和 FFT 算法的優勢， 頻域信號處理大行其道。 不過，近些年的研究發現了頻域方法的局限性。 盡管傅里葉變換可 以完美重構多種信號，但還不足以對缺乏全局穩定性的信號提供有意義的解釋。 比如，考慮 由一段音樂構成的時間序列。對其功率譜估計可以告訴我們存在哪些音符 （每個頻點附近能 量的強

3、弱），但不能獲知這些音符在何時出現。 最近的大量研究圍繞信號的時頻分析展開， 我們可以借此觀察功率譜隨時間的變化。 其 中一類方法稱作短時傅里葉變換（STFT，已經被廣泛應用于語音、音樂和其他非平穩信號 的分析中。 假設我們要進行 STFT 分析，但不能確定時窗的大小。因而我們對信號 s（t）做 STFT 寸先 采用相對較短的時窗，然后逐漸加寬，并計算不同時窗寬度值下相應的 STFT 將這些值一 層層堆疊起來形成一個對應于信號 s 的數據體， 是一個關于時間、 頻率和時窗寬度的函數 （圖 1 （a） ） o我們將其稱為“時間-頻率-尺度（TFS 變換”。 另一個時頻表征方法（更準確地說應該稱作

4、時間 -尺度表征）是著名的小波變換。小波 變換可由待分析信號和一個基函數的一族平移伸縮因子的內積獲得。該基函數稱作母小波。 一個小波族中的某個成員通過某一特定的作用于母小波時間軸上的一維仿射坐標變換來獲 得；這一幾何變換由兩個參數來控制（平移量和伸縮量） 這些小波內積得到的。連續小波變換，通過適當的時窗長度 中 TFS數據體中的時間-尺度切片（圖 1（a）o 我們發現，即便不從計算效率和數據存儲角度看，時間 失為一種有效的概念。尤其是，當我們只需要 TFS 數據體的絕對值的話，我們可以根據 Wigner 分布，利用適當的坐標變換和均勻平滑，從中提取這些信息。通過對 Wigner 分布適當的平。

5、連續小波變換則是由信號和很多 /母小波的選擇，其實就是前文 -頻率-尺度空間在理論層面仍不 滑可以實現時間-頻率（TF）平面（時頻譜圖）到時間 -尺度（TS）平面（尺度譜圖）的連續 變換。 現在假設將信號 s（t）乘上一個線性調頻（FM）信號ej2t，然后計算 STFT 如果連續 地改變變頻的速率 c,并重復若干次，依次堆疊這些結果，就能得到一個不同的三維數據體 （圖 1（b）。此時，我們得到的是一個關于時間、頻率和調頻速率的函數。 當然我們的選擇并不限于這兩類參數空間。 但為引出下文，我們證明一個四維參數 “時 間-頻率-尺度-調頻速率” （TFSC 空間的有效性。 圖 1 1 STFTST

6、FT 不同長度時窗構造的數據體。（a a）無時窗長度連續伸縮變化的無窮多 STFTSTFT 構成一個“時間- -頻率- -尺度” 波變換。這里我們僅僅給出了數據體的第一卦限。也注意到平面 1s = 0尚未定義，其對應于無窮大尺度。 （b b） 具有變化的調頻速率的切變 STFTSTFT 時頻面的剪切通過信號與一個調頻速率為 c c 的線性調頻信號相乘實現。如果我 們將這無窮多時頻面堆疊起來，讓 c c 連續變化，那么就可以得到一個“時間 - -頻率- -調頻速率” （TFCTFC）變換。 1.1 歷史記錄 1946 年，Gabor （后因發明全息影像而榮獲諾貝爾獎）在他的那篇有關信息論的原創性

7、 論文中提供了關于一維 Gauss 窗 STFT 的種新的解釋角度， 并檢驗了二維鑲嵌的時頻平面。 盡管 Gabor 的工作不是很嚴密（并且，實際上，他的表征方法后來被證實是不穩定的） ，但 他所提出的時頻鑲嵌的概念卻是貢獻巨大的。 Gabor 將他的鑲嵌元素稱為 logo ns。 大約在 1956 年，Siebert 開始用公式表達雷達監測中規律，其中就有很多有關時頻的特 別有用的想法。他的很多見解來自于 Woodward 的不確定函數，又被稱為雷達模糊函數， Fourier-Wigner 變換。Siebert 還考慮了脈沖壓縮雷達的調頻函數，并對此做了詳細研究，觀 測到時間域調頻引起了時頻

8、面上的切變效應（或者換句話說，時頻面上的二維 Fourier 變換 中的切變）。 1985 年, Grossman和 Paul 用公式嚴格論證了從標準仿射坐標變換到相干空間表征方面 的一些重要概念。他們也考慮了這些仿射坐標變換的雙參數子集。 Papoulis 在他的著作中描述了線性調頻信號作為一個普通 Fourier 分析算子的基的作用， 同時提出其可作為時頻面上的切變算子。為線性調頻小波變換的提出埋下了伏筆。 （TFSTFS）變換。如果 2 g L IR 是一個合適的母小波，那最底部的平面 fc =0的時間尺度面就是一個連續小 1 Frequency (a) 1987 年，Jones 和 P

9、arks 論證了時頻泄漏中時窗選擇的問題。他們將 Szu和 Blodgett 的 通過乘上線性調頻函數實現頻域切變的工作和 Jan ssen證明了任何面積守恒仿射變換都會給 別的信號產生一個有效的時頻面，盡管他們并不知道早年 Siebert 的未曾發表的相關成果。 Jones 和 Parks 在一個簡單而深刻的例子中展示了 Hamming 窗和線性調頻 Hamming 窗的時頻 分布，后者是前者的切變版。 Berthon提出基于兩類重要群的半直積的雷達模糊函數的廣義形式： 特殊線性群，SL（2, IR）體現了時頻面上的切變效應，以及 Heisenberg 群，包含了時間和頻率變換。 1989

10、年和 1990 年初，我們論證了線性調頻小波變換， 是一種坐標軸對應于時頻面的二 維仿射變換純參數的多維參數空間。 （該論證緣起于該資深作者和他的研究副手們的一項發 現，即 Doppler 雷達來自海洋上小塊浮冰的反射信號具有線性調頻特征。 ）我們同樣論證了 一系列有效的新變換方法，即作為該多維參數空間的二維子空間。另外，我們認為借助 Lan dan的介紹扁長橢球波函數的有關工作，我們注意到他們在時頻面中的切變現象，因為 它們構成了平面內理想的平行四邊形鑲嵌。 后來，我們將線性調頻小波變換和幾種新的二維子空間變換方法應用于海上雷達問題的 研究，發現結果要優于之前的方法， 因此我們發表了我們的這

11、些結果。 獨立于此，幾乎是同 時（其實是幾天以后），Mihovilovic 和 Bracewell 也發表了一個相關的想法（而且，還共用線 性調頻這個名字），但是不是一個層面的多維參數空間的廣義性。后來，他們也發表了有關 線性調頻的應用的文章。 這里需要強調的一點是， 線性調頻小波變換遠不僅僅是可以切變效應。 實際上，時域切 變和頻域切變是從一個時頻面到另一個時頻面的仿射坐標變換的實例一一當線性調頻小波 變換是從一個一元連續函數變換到一個五元（或六元）連續函數的時候。 1991 年，Torresani 檢驗了聯系仿射變換群和 Heisenberg 群的一些關聯媒介。 Segman和 Schem

12、pp 的工作將尺度概念并入 Heise nberg 群，Wils on則檢驗了 TFS 表征方法的效果，他 們稱之為多重分辨率 Fourier 變換。 Baraniuk 和 Jones 研究了若干“子空間的線性調頻小波變換” 。并對二維子空間線性調 頻小波變換中的一些數學方面的細節做了推敲。 他們同時提供了線性調頻小波變換的另一種 基于 Wigner 分布的推導方法。該方法和我們的分析沒有任何關聯，它將線性調頻小波變換 的解析空間中的每一點對應于時間域的一個特定算子。 該時間域算子作用于解析基函數（“調 頻母函數”）并與一個時頻面上的二維面積守恒仿射坐標變換有關。 Baraniuk 和 Jon

13、es 還做 了離散化的工作。 最近，研究人員還考慮了分數階 Fourier 域及其與線性調頻小波和小波變換之間的關系。 1.2 相關工作 早前，我們的對于線性調頻解析函數的興趣源自于一種不同的調頻現象： 因視角不同引 起的調頻。我們的城區或室內空間包含了過剩的周期信號， 周而復始的建筑磚瓦聲， 窗戶開 合聲，諸如此類。然而對這些建筑的拍照無法捕捉這些周期信號的本質。 若拍照時采用一個 傾斜的角度（膠片平面和平面區域不平行） ，當我們經過圖像平面時，這些平面會引起圖像 空間頻率的改變。遠處的磚塊會隨著我們向消失點的移動而越來越小， 這里的消失點可定義 為空間頻率無窮大的點。我們對小波變換的第一個

14、推廣是將小波的 “放大”效應擴展為平移 和傾斜，用以模擬攝像機的運動。對于雷達的興趣使我們轉向于借助線性調頻小波的精確分 析。我們發現海上雷達信號、汽車交通雷達信號等都存在一個較強的“線性調頻”現象，因 此，常規的 Fourier Doppler 方法不能適用。尤其是，小型冰山碎塊反射的聲音信號產生的顫 頻效應說明需要考慮替代諸如加窗諧波振蕩等的方法（即，替代波和小波的方法） 。 在所有可能的線性調頻分析基函數中，我們將之分為具有實用意義的兩族： “投影線性 調頻小波” （p-chirplet）和“平方線性調頻小波” （q-chirplet ）。后者是本文要討論的。這兩 種形式的線性調頻小波已

15、被聯立成 “時頻角度”的一種流行形式，具有更為廣義的 8 參數信 號表征方法，包括：5 參數子空間的“投影線性調頻小波”和另一個 5 參數子空間的“平方 線性調頻小波”，兩子空間共用時頻和伸縮軸。盡管重點基于 FFT 硬件并致力于解決特定目 的的硬件已經存在，但計算實例還未給出。 我們還構造了其他類型的線性調頻小波變換， 例如三參數 Doppler 線性調頻小波當沿著 直線（比如火車汽笛）運動時，可以模擬正弦波震源。三個參數分別為中心頻率、最大調頻 速率和頻率蕩限。同樣，給出了對數頻率的線性調頻小波的表達式， 其中調頻函數在時間尺 度剖面上變為直線。 基于調頻解析函數的 STFT 和小波變換的

16、廣義形式，已有很多相關的研究。傳統的時頻 方法和線性調頻小波的對比也有文章發表，在雷達信號處理和地球物理學領域都有應用實 例。 1.3 概述 本文致力于研究線性調頻小波變換的物理（直覺）因素，全文組織如下： 首先介紹線性調頻解析函數，或可稱為廣義的小波（ “線性調頻小波”）； 接著對 Gabor 關于 Gauss 窗時頻鑲嵌的工作進行推廣。 引出了四維的時間-頻率-尺度-調頻 速率（TFSC 參數； 然后考慮非 Gauss 解析函數，引出五維參數空間； 再然后考慮了多元解析小波 /時窗，先將 Thomson譜估計方法推廣到時頻面，再將該結果 進一步推廣到線性調頻小波變換。這些多元解析小波 /時

17、窗（在隨后的章節中，我們稱之為 “多元線性調頻母小波”）共同作用定義了時頻面上一個簡單的 “覆蓋”，對應于線性調頻小 波變換參數空間每一個點。 這樣的一個覆蓋具有平行四邊形的時頻分布， 其形狀由那 6 個二 維仿射坐標參數決定。 接下來利用信號本身和別的信號作為“線性調頻母小波”推廣了自相關和互相關。換句話 說，我們分析了原始信號及其線性調頻狀態下的信號和別的信號； 最后，我們考慮了線性調頻小波變換的子空間，引出了一系列新的變換。 2. 線性調頻小波 STFT 包含了具有波的相同部分的信號間的相互關系，而小波變換則包含了 Q 值恒定函 數族之間的聯系。但這兩種變換都有一些共性， 盡管前者通常被

18、認為是時頻方法， 后者是時 間-尺度方法，兩者都試圖在時頻面對信號進行定位。從非嚴格意義上來講， STFT 的時窗調 制還有小波變換的小波函數可能會被認作“波動的一部分” 。線性調頻小波，類似的，可以 看做是“線性調頻信號的一部分”。我們一般采用復線性調頻小波，以避免 f=0 軸上因為只 保留實值線性調頻小波而產生的鏡像問題。 圖 2 給出了波動、小波、線性調頻信號和線性調頻小波的時頻分布的實部虛部對比。 圖 3 中，我們給出了 3D 形態下的對比，其中三個坐標軸分別對應函數的實部、虛部和時間。 四類線性調頻小波的離散采樣如圖：上面兩個線性調頻速率為 0，左側兩個采用了任意大時 窗。 2.1

19、Gauss 線性調頻小波 圖 2 和圖 3 中的線性調頻小波都是通過簡單的數學方法采用 Gauss 窗生成。該時窗可看 做生成線性調頻小波族的基函數， 就像小波變換中的母小波一樣。 因此， 我們將此基函數 （不 論是 Gauss的還是其他）稱作“線性調頻母小波” ，用字母 g 表示。 Gauss 波包（物理學家也簡稱做“波包”）是具有 Gauss 包絡線的波。數學表達式為： 其中，j - -1， tc R是能量中心對應時間， fc R是中心頻率，二，R堤脈沖的展布 時長，：？ ：= R為波的相位，我們不將其作為控制參數。 g 的下標代表自由度，構成了參數列(1) 表。 圖 2 2 時間域和時頻

20、域，波、小波、線性調頻信號和線性調頻小波的關系。小波給出了平行于時頻軸的時頻面鑲 嵌方法，而線性調頻小波則允許我們在時頻面上進行更為一般的鑲嵌，因為可以旋轉和剪切。例如，波是線性調 頻小波的特殊情況（調頻速率為 0 0，時窗長度無窮大）。注意到雙邊頻率軸，因為我們常常期望區分正負頻率分量。 我們傾向于波包具有歸一化的能量， 所以，我們給出 Gauss 包絡線的數學表達式 （利用 Gauss 函數的任意次幕還是 Gauss 函數的特點，這里我們選擇 1/2 次幕，乘上一個適當的歸 一化常數）： o -5 HM + l2 JIME ktrAELLI IL lurAVE o Awmn* - CHIR

21、P CHIRPLET 圖 3 3 還是波、小波、線性調頻信號和線性調頻小波。 X X 軸對應函數的實部，y y 軸對應虛部。盡管是連續函數，還 是進行了粗略的采樣以改善 3D3D 效果。每個采樣點都是（x,y,zx,y,z）三維空間中的一個粒子。 （WAVEWAVE）波呈現 3D3D 螺旋 形態。相鄰兩個粒子間旋轉的角度恒定，故而，頻率，相位隨時間變化的速率，是常數。 （WAVELETWAVELET 小波是一個 加窗的波，沿時間軸振幅的衰減明顯。相鄰樣點間旋轉的角度仍然恒定。 （CHIRPCHIRP）線性調頻信號中樣點之間旋轉 的角度是線性增加的。注意到粒子密度從初始逐漸變大。 （CHIRPL

22、ETCHIRPLET 線性調頻小波也是旋轉角度線性增大，但 振幅也先增大后減小。 理論上，帶限信號在時域無限長，但通常是在電氣工程領域采用 3 dB 帶寬，即頻譜中 峰值兩側能量減弱到一半時的頻率范圍。 該定義并沒有理論上的依據， 在我們這里也不是特 別有意義。因此，對于本文的波包，我們定義時延即為（ 2）式中.訂?？紤]到和互為 倒數，我們也指定了帶寬。 （2）式中，可以看出 Gauss 函數是一個包絡，并有諧振項進行調制。 Gauss 線性調頻 小波族通過將諧振項（波）替換為一個線性調頻信號得到： WAVE WAVELET g tc.fci diblrRiriJiEi epnumil 怙il

23、h Idliu; ispjl 0 -2A dl -AS IJt 概念上將， FF 面上的每一個點都對應于原始信號的一個線性調頻信號分量， 也對應于 時頻面 （TF）上的一個線性部分。 Radon變換（或稱作 Hough變換）的表達式是二維函數的 一族線積分。其功能在于可以提取圖像中的直線。關于 Radon變換的出色研究，可參看 Illingworth和 Kittler 的工作。這一性質使其可以作為一種計算線性調頻小波變換中 FF 面的 替代方法，以時頻面作為輸入圖像。 Radon變換為計算自動線性調頻小波變換的 FF 面提供了一種簡單的方法，利用 Wigner 分布得到一個變換空間，可以獲知基

24、本和 FF 線性調頻小波變換平面一樣的信息，但我們這 里還可以利用 Wigner 分布更高分辨率的優勢。眾所周知 Wigner 分布的交叉項具有振蕩性質， 而自動分量的凈貢獻是正的。因此，鑒于 Radon變換做線積分， Wigner 分布的交叉項在每 條直線上都被抵消了，故而 Wigner 分布的 Radon變換上的點只會看到” Wigner 分布的自 動分量（圖 11（a）。 Radon變換通常由直線的標準方程計算： xcosi； i亠ysin （18） 作為原始平面上沿著每條直線的積分。參數空間沿軸均勻采樣。如果不考慮能量耗散， 然后，將fbeg和fend規范化到-12到12之間，再將 T

25、F 分布的時間和頻率也規范到同樣的 圖 8 8 TFTF 實例：勻加速物體（下落球體）的實際數據。由于雷達的非線性和輕度限幅作用，可見三次諧波。 （a a） 圖 1010 自由落體雷達記錄數據的頻率 - -頻率（FFFF）線性 調頻小波平面，勻加速物體在 FFFF 線性調頻小波平面上 的特征顯示得更清楚。注意缺失了負頻率分量（下方 象限）。 3.3 FF 面和 Radon 變換的關系 Beginning Frequency 圖 9 9 勻加速物體雷達數據做線性調頻小波變換得到 的頻率- -頻率（FFFF）平面。注意到峰值的位置，表明非 零初速度，以及更高的最終速度。 r 1 區間，這樣 Wig

26、ner 分布的 Radon變換和線性調頻小波的 CF 面之間就好比較了。這樣，可 以做如下替換: Sin V -廠 favg = V fbeg fend 2 （19） 及 tan V - fdiff 二門 fend - fbeg （20） Radon變換更簡單的一個形式（可能也是更出名的）就是以直線的斜率和截距為參數。 這一參數組合的優點在于其可以由點繪線也可以由線繪點， 缺點則是當直線斜率無窮大 （豎 直線）時，會出現奇異。由于存在 Nyquist 頻限，當 Radon變換的輸入是 TF 分布時，并不 會出現這個問題。因此，這促使我們采用 Radon變換的斜率-截距形式，除非我們更傾向于 和

27、 FF 面匹配的參數組合， 而不是 CF 面的時候，這在前文已經討論過。 如果我們簡單地考慮 一個非零單位矩陣的離散 Radon變換（圖 12），前面提到的“ Nyquist 邊界”就很顯著了， 其中，我們可以觀測到同樣的方塊狀區域， 促使我們開始就采用 fbeg和fend，而不是favg和 通過定義一個新的 Radon變換，可以克服和邊界有關的問題，我們選取如下參數: 起始截距fbeg:直線最左側的縱坐標（橫坐標 -1/2 處的縱坐標）。 圖 11（b）中，展示了落體數據的自動線性調頻小波變換 FF 面，采用新的 Radon變換計算。 終止截距fend :直線最右側的縱坐標（橫坐標 +1/2

28、 處的縱坐標） Ji, rhu +.7U7 L Kadku o Anheca m (b) 圖 11 11 （a a）雷達記錄的勻加速（下落）物體 TFTF（ WignerWigner）分布的 RadonRadon 變換。因為連續波雷達的 DopplerDoppler 反射是 一個調頻脈沖信號，從而 TFTF 分布具有一個簡單的線性分量?？梢?RadonRadon 空間中尖銳的局部特征（除了一些更小 的峰值，由于雷達的非線性特征，主要是三次諧波失真） ；（b b）自動線性調頻小波變換的 FFFF 面：RadonRadon 變換新的參 數化過程，當輸入“圖像”是時頻面時，這些參數具有了新的物理意義

29、。橫坐標表示起始頻率，縱坐標表示終止 頻率。注意到沿對角線傾斜的蝴蝶結形狀，以及和圖 1010 中蝶形圖像的相似性。(亂 圖 1212 再遇“ NyquistNyquist 問題”：非零單位陣圖像的 RadonRadon 變換。RadonRadon 變換常用的斜率- -截距參數方程得到了類似 CFCF 平面中“ NyquistNyquist 邊界”的方塊狀區域。 3.4 無拉伸線性調頻小波變換 本文中我們沒有討論離散化問題。然而， 值得注意的是，實際中，我們一般希望計算一 個離散時間信號的線性調頻小波變換， 有時線性調頻母小波也是時域離散的， 且數學上沒有 封閉描述。因此，拉伸需要重采樣，而收

30、縮要考慮抗混疊。這種情況下，最大的子空間可能 是忽略了拉伸和鑲嵌覆蓋尺寸，僅保留四維的參數空間： Sc,fc,0,c,d =Ctc,fc,0,c,dg s） （21） 3.5 顫音線性調頻小波：振蕩頻率信號的分析 假設選擇了加窗的正弦調頻信號作為我們的線性調頻母小波， 該信號的頻率周期性漲落 （很像樂器的顫音或者警笛聲）。 在時頻空間內，常規 Doppler 雷達時頻譜認為物體運動速度（ Doppler 頻率）分段恒定 （每一小段時間內為常數），而線性調頻小波變換的優勢在于將其推廣到分段勻加速模型。 原先，我們將線性調頻小波基擴展到分段二次、三次調頻一一 Doppler 反射頻率演變的 分段多

31、項式近似。然而，仔細考慮空中物體背后的物理意義，也正是我們發現 CCT 的主要 驅動力，我們看到 Doppler 信號的有些正弦曲線化。 如果曾經看過海邊一個軟木塞在水面沉浮， 就會注意到其實是在做明顯的周期性似圓周 運動。木塞上下運動，同時也在水平方向上運動。例如，用雷達觀測一個目標，可以看到運 動的水平分量（本質上是垂向運動的一定比例下的 Hilbert 變換）。該正弦水平分量在 Doppler 反射信號中顯示為正弦波形變化的頻率。 _hp5=- 我們最后以下面基函數的瞬時頻率結束討論： f = - cos 2 二 fmt p fc 其中，fc 是中心（載波）頻率， P （在 0 到 2n

32、之間變化）是關于初相位的頻率次數峰值之(22) 一的相對位置, fm 是調制頻率。若分析一個離散信號 snT，注意到B + fc必須小于1/2, 否則調制頻率將超過 Nyquist 頻限的邊界。 積分得到相位： 借此定義的線性調頻小波族為： j色f空加庇t gfm，骯二 Ae m （24） 可以適當加窗，如（3）式中那樣采用高斯窗。 圖 13 中，給出了線性調頻小波的四個例子，這些小波來自一個顫音線性調頻母小波。 我們同時給出了時域和時頻域圖像，其圖注這些和現在要討論的擺球模型有關。 1 sin 2二 Jt p fm 2 二 fct (23) PENDULUMS SHORT PFNDIXUMS

33、 豈FENDI LI M -Ji 一的相對位置, fm 是調制頻率。若分析一個離散信號 snT，注意到B + fc必須小于1/2, 擺球在雷達前面來回擺動（假設擺動的幅度遠小于線長）產生了一個和空中的物體反射非常 類似的信號。假定擺的速度是時間的函數: v cos 2- fmt (25) （位置由 5 2 二 fmt P 給出) fm 申 則解調的雷達 Doppler 信號變為 j -sin 2 二 fmt 亠 p e 可以通過（24）式給出的線性調頻小波族來分析。 線較長的擺在雷達前會產生一個時間信且 B高） 。 信號該變換的密度圖像左上方顯示了一個很強的尖峰， 該尖峰位于特定的擺動頻率 和

34、振幅坐標處。擺長較短的小幅度擺的能量則集中在參數空間右下角。 圖 14 顯示了四個擺峰值出現的位置。 這 4 個空間中的每個點都對應于圖 號, fm (26) 子。 其大部分能量位于左手空間的上部 (fm 低, 13 中的四個例 圖 15 給出了一個單擺的實際雷達反射信號的 STFT PENDULUM MODE OF WARBLING C1URPLET Modulation Frequency 圖 14 414 4 類擺動在圖示位置對應的拉伸- -拉伸線性調頻小波變換平面上顯示為最大能量 乂二* Au 匚：亠 g 一-7 圖 1515 鐘擺反射的雷達信號的時頻分布（由提及的矩形鑲嵌方法計算得到

35、） 面上呈現近乎純正弦波形態 注意到（除了少量的衰減）在時頻 D FneqmKy of Moduhlmn (b) 圖 1616 基于一個顫音線性調頻母小波計算得到的線性調頻小波變換的拉伸 - -拉伸( t f )面 利用顫音線性調頻母小波，我們也計算了單擺數據的線性調頻小波變換“拉伸 -拉伸” (fm B)面(圖 16)。 如果借用瞬時頻率更為抽象的概念， (24)式給出的線性調頻小波族成員則可以通過時頻 面仿射變換彼此相關?？紤]來自 (24)式的四個函數，用 A、B、C、D 表示，對應于圖 13 中的 四個信號，在時間和瞬時頻率構成的平面內。 當沒有辦法實際計算該平面時， 可以將這些函 參考

36、沿著 fm 和B軸定義的子空間（圖 16） “拉伸-拉伸”平面，或者 厶仁卄平面。 4. 結論 我們提出了線性調頻小波變換， 可以認為是短時 Fourier 變換（STFT 和小波變換（WT） 的一般形式。這一推廣基于 STFT 和 WT 均可以看做待分析信號和不同算子下簡單解析基函 數（窗函數或小波）的內積的事實。小波變換中，這些算子是時間軸上的一維仿射變換。對 于線性調頻小波變換，這些算子變為時頻面（如果更傾向于在時間軸操作，則為時間域函數） 上的二維仿射坐標變換。線性調頻小波函數族是時頻面內一族仿射變換算子作用于一個簡單 的窗函數/小波（“線性調頻母小波”）上得到的。線性調頻小波變換是信號在線性調頻小波 函數族中的表達。 1. 眾所周知的，對一個一維函數進行 Fourier 變換會得到一個單變量的復函數。 2. 同樣出名的，STFT 得到的是一個二元函數：時間和頻率。小波變換得到的是一個二元復 變函數：時間和尺度。 3. 聯合 TFS