1、第二章跟蹤濾波與自適應技術2.1 卡爾曼濾波與預測所謂卡爾曼濾波就是從混合在一起的諸多信號中提取出所需要的信號。卡爾曼濾波從被提取信號有關的量測量中通過算法估計出所需信號。 其中被估計信號是由白噪聲激勵所引起的隨機響應，激勵源與響應之間的傳遞結構（系統方程）已知，量測量與被估計量之間的函數關系（量測方程）也已知。估計過程中利用了如下信息：系統方程、量測方程、白噪聲激勵的統計特性、量測誤差的統計特性。由于所用信息都是時域內的量，所以卡爾曼濾波是在時域內設計的 ，且適用于多維情況，這就完全避免了維納濾波器在頻域內設計遇到的限制和障礙， 適用范圍遠比維納濾波器廣泛。卡爾曼濾波有如下特點：(1)卡爾曼

2、濾波處理的對象是隨機信號；(2)被處理信號無有用和干擾之分，濾波的目的是要估計出所有被處理信號；(3)系統的白噪聲激勵和量測噪聲并不是需要濾除的對象， 它們的統計特性正是估計過程中需要利用的信息。所以確切的說， 卡爾曼濾波應稱作最優估計理論， 此處所謂的濾波與常規濾波具有完全不同的概念和含義。隨著現代微處理技術的發展， 卡爾曼濾波的計算要求與復雜性已不再成為其應用的障礙，并且越來越受到人們的青睞， 尤其在機動目標跟蹤系統中更顯出其獨特的優點。對于單機動目標跟蹤情形，其跟蹤的基本原理如圖 2.1 所示。圖中目標跟蹤動態特性由包含位置、速度和加速度的狀態向量 X 表示，量測（觀測） Y 被假定為含

3、有量測噪聲 V 的狀態向量的線性組合 (HX+V) ；殘差（新息）向量 d 為量測 (Y)與狀態預測?(k1/ k ) ）之差。量 (HX一般情況下，單機動目標跟蹤為一自適應濾波過程。首先由量測量Y 和狀態預測量?(k1/k) 構成殘差（新息）向量，然后根據d的變化進行機動檢測或者機(HXd動辨識，其次按照某一準則或邏輯調整濾波增益與協方差矩陣或者實時辨識出目標機動特性，最后由濾波算法得到目標的狀態估計值和預測值， 從而完成單機動目標跟蹤功能。1動態特性目標增益確定量測Y=HX+VX?輸出d Y HX (k 1/ k)機動檢測與目濾波標辨識-?HX (k1/ k)X (k / k)?X ( k

4、1/ k )變換H預測圖 2.1 單機動目標跟蹤基本原理框圖單機動目標跟蹤基本要素主要包括量測數據形成與處理、機動目標模型、 機動檢測與機動辨識、 濾波與預測以及跟蹤坐標系和濾波狀態變量的選取。下面將介紹卡爾曼濾波及其預報方程。卡爾曼濾波與預測基本方程濾波與預測是跟蹤系統的最基本要素， 也是估計當前和未來時刻目標運動參數如位置、速度和加速度的必要技術手段。當目標做非機動運動時，采用基本的濾波與預測方法即可很好地跟蹤目標。這些方法主要有線性回歸法、維納濾波、或濾波以及卡爾曼濾波等。卡爾曼濾波的基本方程濾波的目的是估計當前和未來時刻目標的運動狀態，包括位置、速度和加速度等。假定目標狀態方程和量測方

5、程為下列形式X(k+1)= (k+1, k)X(k)+G(k)W(k)（21）Y(k)=H(k)X(k)+V(k)（22）式中 X(k) Rn 1 為目標狀態向量， Y(k) Rm 1 為量測向量， W ( k)R p 1 和 V ( k) Rm 1分別為狀態噪聲和量測噪聲， 且為互不相關的高斯白噪聲向量序列，其協方差矩陣分2（ ）和 R(k)； ( k 1, k)Rn n， G(k)Rn p和 H (k ) Rm n分別為狀態轉移矩別為 Q k陣、輸入矩陣和觀測矩陣。設目標狀態方程和量測方程分別為（ 21）和（ 22）。其中 X(k)為 n 維目標狀態向量，Y(k)為 m 維量測向量，狀態噪

6、聲 W(k)和量測噪聲 V(k)為互不相關的高斯白噪聲序列，其統計特性為EW (k)0, EW (k )W T ( j )Q(k) kjEV (k)0, EV ( k)V T ( j )R(k ) kj并且初始狀態 X 0 與 W(k)，V(k)獨立，即E X 0W T (k )0, E X 0V T (k )0卡爾曼濾波基本方程為 ：？?1)X ( k / k ) X (k / k1) K ( k) Y(k) H (k) X (k / k?1)(k?1 / k1)X ( k / k1) X (kK (k)P( k / k1) H T (k ) H ( k) P(k / k1)H T (k )

7、R( k)1P( k / k1)( k1, k) P(k1/ k1)T (k1,k )G(k1)Q(k 1)G T (k 1)P( k / k) IK (k) H (k ) P(k / k1)其中，殘差（新息）向量被定義為?d (k )Y(k)H (k ) X (k / k1)其協方差矩陣為S(k )H ( k) P(k / k1)H T ( k)R( k)卡爾曼一步預測基本方程在機動目標跟蹤， 特別是機動多目標跟蹤中， 濾波預測量極為重要。 下面給出卡爾曼一步預測基本方程：?1/ k)(k?1)X (k1/ k) X (k / k 1) K p (k) Y(k )H (k ) X (k /

8、kK p (k )(k1/ k )P(k / k1)H T (k) H T (k ) P( k / k1)H T (k)R(k) 1P(k1/ k )( k1, k)K p (k )H ( k)P(k / k 1)G( k)Q(k )G T (k)式中 K p (k) 為一步預測增益矩陣。3卡爾曼濾波與預測在機動目標跟蹤中的作用卡爾曼濾波與預測的準則是均方差最小 。除此之外， 它在機動目標跟蹤中還有許多其他優點，這些優點或作用包括以下幾個方面：（1）基于目標機動和量測噪聲模型的卡爾曼濾波與預測增益序列可以選擇。這意味著通過改變一些關鍵性參數，相同的濾波器可以適應于不同的機動目標和量測環境。（2

9、）卡爾曼濾波與預測增益序列能自動的適應檢測過程的變化，包括采樣周期的變化和漏檢情況。（3）卡爾曼濾波與預測通過協方差矩陣可以很方便地對估計精度進行度量。同時，在機動多目標跟蹤中，這種度量工具還可以用于跟蹤門的形成，以及門限大小的確定。（4）通過卡爾曼濾波與預測中殘差向量 d(k)的變化，可以判斷原假定的目標與實際目標的運動特性是否相符。 因而， d(k)可用來作為機動檢測與機動辨識的一種手段。同時，還可用于一致性分析等；（5）在密集多回波環境下的多機動目標跟蹤方面，通過卡爾曼濾波與預測方法的使用，可以部分地補償誤相關的影響，可以通過增大協方差矩陣來反映不確定性相關誤差的影響。2.2 目標跟蹤中

10、的自適應濾波很多控制對象的數學模型隨時間和工作環境的改變而改變，其變化規律事先往往不知道。當控制對象的數學模型參數在小范圍內變化時， 可用一般的反饋控制、 最優控制或補償控制等方法來消除或減小參數變化對控制品質的有害影響。 如果控制對象的參數在大范圍內變化時， 這些方法就不能圓滿地解決問題。 為了解決控制對象參數在大范圍內變化時， 系統仍能自動地工作于最優或接近最優工作狀態， 就提出了自適應控制問題。自適應控制可簡單地定義如下：在系統工作中，系統本身能不斷地檢測系統參數或運行指標，根據參數的變化或運行指標，改變控制參數或改變控制作用， 使系統運行于最優或接近于最優工作狀態。自適應控制也是一種反

11、饋控制 ，但它不是一般的系統反饋或系統輸出反饋，而是一比較復雜的反饋控制，自適應控制系統很復雜，即使對于線性定常的控制對象，其自適應控制亦是非線性時變反饋控制系統。 所以自適應控制系統比一般反饋系統復4雜。機動檢測與機動辨識的基礎是殘差過程的利用，因此所有跟蹤算法都是以卡爾曼濾波為出發點的。檢測自適應濾波的基本思想是：機動的發生將使原來的模型變差，從而造成目標狀態估計偏離真實狀態，濾波殘差（新息）特性發生變化，于是，人們可以根據殘差過程的變化， 設計出機動檢測準則， 一旦檢測到機動發生或消除，立即進行模型轉換或方差調整。 此類算法的關鍵在于設計出合理的檢測方式，包括檢測門限的選擇以及恰當的模型

12、轉換與調整等。以下將介紹2 自適應卡爾曼濾波 。考慮如下的線性系統：(k1)(k1, k )X (k)(k )W (k )Y(k)H (k ) X (k ) V ( k)式 中 X (k )Rn 1，通常包括目標位置、速度，有時包括加速度；(k 1, k )Rn n ,( k)Rn p 和H ( k)Rm n分別為狀態轉移矩陣 、輸入矩陣和量測矩陣；W (k )R p 1和V (k)Rm 1 分別為互不相關的零均值高斯白噪聲，其協方差矩陣分別為 ) Q(k)和 R(k)。對系統方程應用卡爾曼濾波，并且設初始狀態X(0)與 W(k)和 V(k)互不相關，那么，由“新息理論”可知，新息向量?d(k

13、)Y( k)H ( k) X (k / k1)也是零均值高斯白噪聲過程，且其協方差矩陣為：S(k )H ( k) P(k / k 1)H T ( k) R( k)?1) 為狀態一步預測估計， P( k / k1) 為預測協方差矩陣。式中 X（ k / k定義距離函數D(k )d T ( k)S 1 (k )d ( k)由新息序列的統計性質可知，D(k) 服從自由度為 m 的2 分布。如果目標發生機動，新息 d(k)將會不再是零均值高斯白噪聲，D(k) 將會變大，因而可用下述方法檢測機動的發生與消除：5取 D(k)大于某一門限M 的概率為 a，即PD(k)>M=a式中 a 為允許的虛警概率

14、。此時自適應濾波過程為：當 D(k)>M 時，機動發生，增大 Q(k) 矩陣；當 D(k) M 時，機動消除，減小 Q(k) 矩陣。上述自適應濾波過程的目的是，保持并恢復新息過程的白高斯性質，并降低狀態估計誤差。檢測自適應濾波類方法側重于非機動模式，機動時性能有所下降， 同時由于需要機動檢測，不可避免地存在著虛警率和估計時間延遲，影響濾波器的跟蹤性能。2.3 跟蹤精度影響跟蹤精度的因素機動目標跟蹤的主要問題之一是建立未知的目標加速度模型。顯然，影響跟蹤精度最直接和最重要的因素是模型和算法。然而，盡管模型和算法已事先選定，但在系統設計中仍有一些參數需要分配與確定。第一個因素是目標機動時間常

15、數的倒數，機動頻率a。由于目標怎樣機動和機動時間多長是目標 （如飛機）駕駛員的主觀決策， 當邊掃描邊跟蹤系統用作多目標跟蹤目的時，要預測 a 值有多大無疑是一件十分困難的事。因此，在系統設計中最好是將a 設計成可調參數而不是從實際情況所得到的參數。 a 包含在狀態轉移矩陣 中并通過卡爾曼濾波增益矩陣來影響系統跟蹤誤差的。影響估計結果的另一個參數是采樣周期 。一般的說，采樣周期越小，跟蹤濾波器進入穩態越快。 然而，由于采樣周期 T 是狀態轉移矩陣中的一個參數， 因此它也影響著跟蹤精度。狀態噪聲 的協方差是與目標加速度方差a2 相聯系的，因此，a2 將直接影響估計誤差的協方差矩陣。如果采用加速度方

16、差自適應算法，那么a2 將取決于最大機動加速度 amax 。機動頻率對跟蹤精度的影響6圖 2.2、圖 2.3 和圖 2.4 分別給出了位置、速度和加速度估計誤差的均方根值隨機動頻率 a 變化的計算結果。圖 2.2圖 2.3圖中曲線表明，跟蹤精度隨 a 的變化還與采樣周期 T 有關，當 T=0.1s 時，位置、速度和加速度的估計誤差隨 a 的增大而減小；當 T=0.5s 和 T=1s 時，估計誤差隨 a 的增大而增大；當 T=5s 時，估計誤差在某一a 值處取最大值。通常， T=0.1s 表示很高的數據采樣速率，只有相控陣雷達才能達到這一要求；T=5s 表示較低的數據采樣速率，這種情況不適合于跟

17、蹤高度機動圖 2.4目標；對一般情況， 即 T=0.52s，較低的 a 將給出較好的跟蹤精度。采樣周期對跟蹤精度的影響圖 2.2、圖 2.3 和圖 2.4 表明，在大多數情況下，位置、 速度和加速度的估計誤差隨采樣周期 T 的增大而 增大 。因此，根據跟蹤系統的任務， 最后是盡可能小地選擇采樣周期 T。加速度方差對跟蹤精度的影響狀態噪聲 w 的協方差是與目標加速度方差a2 相聯系的，因此，a2 將直接影響估計誤差的協方差矩陣。 如果采用加速度方差自適應算法， 或者考慮非零加速度均值，即應用如下方程：7x(t )010x(t)00x(t )001x(t)0a0w(t )x (t )00ax(t)

18、a1那么 2 將取決于最大機動加速度amax。圖、圖2.6是在不同的加速度情況下，a2.5速度和加速度估計的均值誤差隨加速度方差a2 的變化曲線；圖 2.7、圖 2.8 是速度和加速度估計的均方誤差隨a2 的變化曲線。圖 2.5圖 2.6圖 2.7圖 2.8圖 2.7 和圖 2.8 表明，當目標機動加速度減小， 速度和加速度的均方誤差隨a2 的增大而單調增加； 對于高速機動加速度來說， 結果與較小機動加速度情況相反。 就速度和加速度估計的均值誤差而言， 除機動加速度接近于零外， 均值誤差隨加速度方差a2 的增高而減小。8參考書周宏仁etc. ?機動目標跟蹤 ?，國防工業出版社，1994作業對于單機動目標跟蹤情形，請采用下述目標運動模型之一進行2 自適應卡爾曼濾波跟蹤。假定目