1、1會計學北師大版高中數學選修北師大版高中數學選修22數學歸納法數學歸納法1、問題情境一問題 1:大球中有5個小球，如何證明它們都是綠色的？ 完全歸納法 不完全歸納法 ,1, 1,211nnnnaaaaa已知：觀察數列問題nan1: 猜想歸納通項公式猜想歸納通項公式,212 a,313 a,414 a 1、問題情境二費馬（Fermat）是17世紀法國著名的數學家，他曾認為，當nN時， 一定都是質數，這是他觀察當n0，1，2，3，4時的值都是質數，提出猜想得到的半個世紀后，18世紀偉大的瑞士科學家歐拉（Euler）發現 4 294 967 2976700417641，從而否定了費馬的推測沒想到當n

2、5這一結論便不成立 122n1252歸納法：由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法（結論一定可靠，但需逐一核對，實施較難）（結論不一定可靠，但有利于發現問題，形成猜想）（1）完全歸納法：考察全體對象，得到一般結論的推理方法（2）不完全歸納法，考察部分對象，得到一般結論的推理方法歸納法分為 完全歸納法 和 不完全歸納法1、問題情境三 多米諾骨牌課件演示 1、問題情境三 如何解決不完全歸納法存在的問題呢？ 如何保證骨牌一一倒下？需要幾個步驟才能做到？（1）處理第一個問題；（相當于推倒第一塊骨牌）（2）驗證前一問題與后一問題有遞推關系；（相當于前牌推倒后牌） 定義：對于某些與正整數n有關的命題

3、常常采用下面的方法來證明它的正確性：1.先證明當n取第一個值n0 (n0 N*，例如n0 =1) 時命題成立 (歸納奠基） ； 2.然后假設當n=k(kN*，kn0)時命題成立， 證明當n=k+1時命題也成立(歸納遞推）。 這種證明方法就叫做_。數學歸納法2、數學歸納法的概念驗證n=n0時命題成立假設n=k(kn0)時命題成立,證明n=k+1時命題也成立.歸納奠基歸納遞推命題對從n0開始所有的正整數n都成立3.數學歸納法的應用：（1）恒等式（2）不等式（3）三角函數方面（4）整除性（5）幾何方面 （6）計算、猜想、證明22222222221 2 31,62 3 512,63 4 7123,64

4、 5 91234,6. 情境1.觀察下列各等式，你發現了什么？歸納問題情境22222(1) (21)1234.6nnnn思考：你由不完全歸納法所發現的結論正確嗎？若不正確，請舉一個反例;若正確，如何證明呢？222222(1)(1) 12(1) 11234(1)6kkkkk目標：證明 當n=1時，左邊1 右邊,等式顯然成立。例 證明：數學運用遞推基礎遞推依據22222*(1)(21)1234().6nnnnnN22222(1) (21)12346kkkk22222221234(1)(1)(21)(1)6(1)(1)12(1)16kkkkkkkkk假設當n=k時等式成立，即那么,當n=k+1時，有

5、這就是說，當n=k+1時,等式也成立。根據和，可知對任何nN*等式都成立。dnaan)1(1 如果 是等差數列，已知首項為 ，公差為 ，那么na1ad對一切 都成立 Nn證明：（1）當n=1時，,1a 左邊左邊,011ada 右邊右邊等式是成立的（2）假設當n=k時等式成立，就是,)1(1dkaak 那么當n=k+1時，daakk 1dkaddka 1) 1() 1(11這就是說，當n=k+1時，等式也成立由（1）和（2）可知，等式對任何 都成立 Nn練習1 用數學歸納法證明：遞推基礎遞推依據11(1) 1kaakd目標：練習2 用數學歸納法證明 2*1 3 5(21)().nn n N 證明

6、（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立21 3 5(21) 2(1) 1 (1)kkk 目標：這就是說，當n=k+1時，等式也成立由（1）和（2），可知等式對任何正整數n都成立（2）假設當n=k時，等式成立，即21 3 5(21).kk 遞推基礎遞推依據2221 3 5(21) 2(1) 1(2(1) 121(1)kkkkkkk 那么當n=k+1時，用數學歸納法證明與正整數有關命題的步驟是：（1）證明當 取第一個值 （如 或2等）時結論正確； 10 nn0n （2）假設時 結論正確，證明 時結論也正確 )N(0nkkkn 且且1 kn遞推基礎遞推依據“找準起點，奠基要穩”“用上假設，遞

7、推才真”“綜合（1）、（2），”不可少！注意:數學歸納法使用要點： 兩步驟,一結論。用數學歸納法證明恒等式的步驟及注意事項： 明確首取值n0并驗證真假。（必不可少） “假設n=k時命題正確”并寫出命題形式。分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式的差別。弄清左端應增加的項。明確等式左端變形目標，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項、配方等， 并 用上假設。 分析下列各題用數學歸納法證明過程中的錯誤：練習3糾錯!（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*)證明 ：假設當n=k時等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN*)那么，當n=k+1時

8、，有 2+4+6+8+2k+2（k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 ,因此，對于任何nN*等式都成立。缺乏“遞推基礎”事實上，我們可以用等差數列求和公式驗證原等式是不成立的！這就是說，當n=k+1時,命題也成立.11111(1)()()22312111=2(1)1kkkkk左邊右邊*111(2)()1 223(1)1nnNnnn沒有用上“假設”，故此法不是數學歸納法請修改為數學歸納法證明 當n=1時,左邊= , 212111) 1(1321211kkkk假設n=k(kN*)時原等式成立 ，即此時，原等式成立。 那么n=k+1時,由 知,對一切正整數n,原等式

9、均正確. 11=1+12右邊證明 當n=1時,左邊= , 21211*111(2)()1 223(1)1nnNnnn1) 1(1321211kkkk11111 22 3(1)(1) (2)111 (1) (2)(1) 1kkkkkkkkkk 這才是數學歸納法假設n=k(kN*)時原等式成立 ，即21111右邊= 此時，原等式成立。 那么n=k+1時,這就是說，當n=k+1時,命題也成立.由 知,對一切正整數n,原等式均正確. 11111=(1) ()()223111=11nnnnn 證二：左邊右邊，所以原等式成立。*111(2)()122 3(1)1nnNn nn這不是數學歸納法（3）（糾錯題

10、） 2nn2(nN*)證明 ：當n=1時，2112,不等式顯然成立。假設當n=k時等式成立，即2kk2,那么當n=k+1時，有2k+1=22k=2k+2kk2+k2k2+2k+1=(k+1)2.這就是說，當n=k+1時不等式也成立。根據（1）和（2），可知對任何nN*不等式都成立。雖然既有“遞推基礎”，又用到假設（“遞推依據”），但在證明過程中出現錯誤，故上述證法錯誤！事實上，原不等式不成立，如n=2時不等式就不成立。 因此，用數學歸納法證明命題的兩個步驟，缺一不可。第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據。缺了第一步遞推失去基礎；缺了第二步，遞推失去依據，因此無法遞推下去。思考：步驟 (1)

11、中n取的第一個值n0一定是1嗎？為什么？答：不一定舉例說明：用數學歸納法證明 n邊形 的對角線的條數是32n n30n此時n取的第一值練習鞏固 n+2n+22n+12n+1* *- -+=a +=a 1,nN1,nN1 11-a1-a1+1+a aaaaaa a.1、 用數學歸納法證明：“ ”在驗證 n=1成立時，左邊計算所得的結果是（ ） A1 B. C D. 1+a1+a2 21 1+ +a a+ +a a2 23 31 1+ +a a+ +a a + +a a2.已知: ,則 等于( ) A: B: C: D: 131.2111)( nnnnf)1( kf1)1(31)( Kkf231)

12、( Kkf11431331231)( KKKKkf11431)( KKkfCC3. 用數學歸納法證明: 122334n(n1) )2)(1(31 nnn練習鞏固 4、用數學歸納法證明： 2)1()1()1(4321121222 nnnnn5求證:當nN*時，nnnnn212111211214131211 3.用數學歸納法證明 122334n(n1) )2)(1(31 nnn練習鞏固 從n=k到n=k+1有什么變化湊假設湊結論證明:2)假設n=k時命題成立,即122334k(k+1)2)(1(31 kkk則當n=k+1時， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)

13、2)(1( kk=)2)(1( kk)131( k n=k+1時命題正確。 由(1)和(2)知，當 ，命題正確。 nn = 2111)1(31 kkk1)當n=1時，左邊=12=2,右邊= =2. 命題成立1 111223 33 3練習鞏固 4、用數學歸納法證明2222121(1)1234( 1)( 1)2nnn nn 證明: (1)當n=1時，左邊=1,右邊= =1. 命題成立 )221()1(1 n(2)假設n=k時命題正確，即 2 22 22 22 2k k- -1 12 2k k- -1 1k k( (k k+ +1 1) )1 1 - -2 2 + +3 3 - -4 4 + + +

14、( (- -1 1) )k k = =( (- -1 1) )2 2則當 n=k+1時, = + = 2)1()1(1 kkk2)1()1( kk2 22 22 22 2k k- -1 12 21 1 - -2 2 + +3 3 - -4 4 + + +( (- -1 1) )k kk2k2+(-1)(k+1)+(-1)(k+1)k k- -k k+ +2 2k k+ +2 2( (- -1 1) )( (k k+ +1 1) )( () )2 22)2)(1()1( kkk( (k k+ +1 1) )- -1 1( (k k+ +1 1) )( (k k+ +1 1) )+ +1 1= =

15、( (- -1 1) )2 2 n=k+1時命題正確。 由(1)和(2)知，當 ，命題正確。 * *n nN N提什么 好呢?注意結論的形式 練習鞏固 nnnnn212111211214131211 5求證:當nN*時，證明: )1(2111121213121 KKKKKK 121121213121 KKKKK 12111212121211111 KKkKK n=k+1時命題正確。 由(1)和(2)知，當 ，命題正確。 nn(1)當n=1時，左邊=21211 ;右邊21 左邊=右邊，n=1時，命題成立。(2)假設n=k時命題正確，即: KKKKK212111211214131211 當n=k+

16、1時， 左邊= KK211214131211 )1(211)1(21KKKKK212111 221121KK證:(1)當n=2時, 左邊= 不等式成立.111 11413,2 1 2 23 42424 (2)假設當n=k(k2)時不等式成立,即有: 11113,12224kkk 則當n=k+1時,我們有:11111(1)1(1)222122111111()12221221kkkkkkkkkkk 131113113().2421 2224 (21)(22)24kkkk 即當n=k+1時,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式對一切 都成立. *,2nN n (二)不等式證明: 例1、*11113

17、(2,).12224nnNnnn 例2：利用數學歸納法證明不等式*1321124221nnNnn(n2,nN )過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時，不等式左邊的變化是（ ）：練習(1)用數學歸納法證: D;)1(21 )( kA;221121 )( kkB;11221 )( kkC.11221121 )( kkkD2413212111nnn(2)用數學歸納法證: (n2,nN )過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時，左式所需添加的項數為（ ）：nn1214131211.項.項.項.項12kk212 k(3)整除性問題例：證明 42n+1+3n+2(nN* )能被13整除。證明：1）n

18、=1時：4 21+1+31+2=91，能被13整除。 2）假設當n=k(kN)時, 42k+1+3k+2能被13整除，當n=k+1時：42(k+1)+1+3(k+1)+2 = 4(2k+1)+2+3(k+2)+1=16(42k+1+3k+2)-133k+2 ()42k+1+3k+2及133k+2均能被13整除,()式能被13整除。 42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除，即當n=k+1時命題仍成立。由1）、2）可知，對一切nN原命題均成立。核心步驟多退少補（密訣）練習1：用數學歸納法證明： x2n-y2n能被x+y整除(n為正整數)。證明：1）n=1時： x2-y2=(x+y)(x

19、-y),能被x+y整除，命題成立。2）假設當n=k(kN)時有x2k - y2k能被x+y整除, 當n=k+1時由1）、2）可知，對一切nN， x2n-y2n都能被x+y整除。 =(x2k - y2k)x2 +y2k(x2 - y2) （） (x2k - y2k)和(x2 - y2)都能被x+y整除， （）式也能被x+y整除。即：n=k+1時命題也成立核心步驟多退少補（密訣）練習2 求證：當n取正奇數時，xn+yn能被x+y整除。證明：1）n=1時：x1+y1=x+y，能被x+y整除，命題成立。2）假設n=k(k為正奇數)時，有xk+yk能被x+y整除,當n=k+2時:xk+2+yk+2 =x

20、kx2 +yky2 = xkx2+ykx2-ykx2 +yky2=(xk+yk)x2 - yk(x2-y2)=(xk+yk)x2 - yk(x-y)(x+y), 以上兩項均能被x+y整除，xk+2+yk+2能被x+y整除，即當n=k+2時命題仍成立。 由1）、2）可知，對一切正奇數n，都有xn+yn能被x+y整除。（4）歸納猜想證明（求數列的通項公式） 歸納法證明你的猜想。的通項公式，并用數學猜想數列由求滿足項和中，數列的前在各項為正的數列12,1121a. 132, 1nnnnnnaaaaaassn（5）數學歸納法證明幾何問題. 例：平面內有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點,

21、證明這n條直線把平面分成f(n)=(n2+n+2)/2個部分.1:n邊形有f(n)條對角線,則凸n+1邊形的對角線 -的條數f(n+1)=f(n)+_.練習 2.1.2 .1. 2kfDkkfCkfkBkfAkkfk對角面個數是棱柱的個對角面，則棱柱有若（6）用數學歸納法證明探究性問題.24131332111. 1并證明你的結論的最大值，都成立，求自然數對一切自然數若不等式anannnn 點撥:對這種類型的題目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系數,然后用數學歸納法證明它對一切正整數n都成立.2.是否存在常數a、b,使得等式: 對一切正整數n都成立,并證明你的結論.2 22 22 22 21

22、12 2n na an n + + n n+ + + + += =1 1 3 33 3 5 5( (2 2n n - -1 1) )( (2 2n n + +1 1) )b bn n + + 2 2解:令n=1,2,并整理得.41,231013bababa以下用數學歸納法證明:).(24) 12)(12(532311*2222Nnnnnnnn(2)假設當n=k時結論正確,即:2 22 22 22 21 12 2k kk k+ + k k+ + + + += =. .1 1 3 33 3 5 5( (2 2k k - - 1 1) )( (2 2k k + + 1 1) )4 4k k + +

23、2 2則當n=k+1時,2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 21 12 2k k( (k k + + 1 1) )+ + + + + +1 1 3 33 3 5 5( (2 2k k 1 1) )( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )k k + + k k( (k k + + 1 1) )k k( (k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )+ + 2 2( (k k + + 1 1) )= =+ += =4 4k k + + 2 2( (2 2k k + + 1

24、1) )( (2 2k k + + 3 3) )2 2( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )( (k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3k k + + 2 2k k + + 2 2) )( (k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 1 1) )( (k k + + 2 2) )= = =2 2( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )2 2( (2 2k k + + 1 1) )( (2 2k k + + 3 3) )k k + + 3 3k k + + 2 2( (k k

25、+ + 1 1) ) + +( (k k + + 1 1) )= = =4 4k k + + 6 64 4( (k k + +. .1 1) )+ + 2 2故當n=k+1時,結論也正確.根據(1)、(2)知,對一切正整數n,結論正確.(1)當n=1時,由上面解法知結論正確. *1211113.12311nnnanNnnaaaq nan 已知，是否存在關于的整式，使得等式，對于大于 的一切自然數 都成立，并證明你的結論。例:比較 2n 與 n2 (nN*)的大小注：先猜想，再證明解：當n=1時，2n=2,n2=1, 2nn2 當n=2時，2n=4,n2=4, 2n=n2 當n=3時，2n=8,

26、n2=9, 2nn2 當n=6時，2n=64,n2=36, 2nn2猜想當n5時，2nn2(證明略)nN22nn1n 1221nk22kk1nk（2）假設 時不等式成立,即 那么,當 時,有 1222222 22221(1)kkkkkkkkk 即當 時不等式也成立. 1nk根據(1)(2),可知對任何 ,不等式都成立. nN(2)數學歸納法證題的步驟：兩個步驟，一個結論； (3)數學歸納法優點：即克服了完全歸納法的繁雜的缺 點，又克服了不完全歸納法結論不可靠的不足。(4)數學歸納法的基本思想：運用“有限”的手段來 解決“無限”的問題(1)數學歸納法是一種證明與正整數有關的數學命題 的重要方法回

27、顧反思1、問題情境三 如何解決不完全歸納法存在的問題呢？ 如何保證骨牌一一倒下？需要幾個步驟才能做到？（1）處理第一個問題；（相當于推倒第一塊骨牌）（2）驗證前一問題與后一問題有遞推關系；（相當于前牌推倒后牌） dnaan)1(1 如果 是等差數列，已知首項為 ，公差為 ，那么na1ad對一切 都成立 Nn證明：（1）當n=1時，,1a 左邊左邊,011ada 右邊右邊等式是成立的（2）假設當n=k時等式成立，就是,)1(1dkaak 那么當n=k+1時，daakk 1dkaddka 1) 1() 1(11這就是說，當n=k+1時，等式也成立由（1）和（2）可知，等式對任何 都成立 Nn練習1 用數學歸納法證明：遞推基礎遞推依據11(1) 1kaakd目標：練習2 用數學歸納法證明 2*1 3 5(21)().nn n N 證明（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立21 3 5(21) 2(1) 1 (1)kkk 目標：這就是說，當n=k+1時，等式也成立由（1）和（2），可知等式對