1、數項級數求和方法的探究級數，重要的數學工具。一方面，它對于數學和其他學科及技術研究與發展 方面都起到了非常重要的作用并發揮了其重要影響。另一方面，級數還和我們的 日常生活息息相關，我們要合理的掌握利用級數，也要去發掘更為廣泛的應用領 域，為日后的研究打下堅實的基礎。目前在國內并沒有系統全面的研究級數求和的方法，級數求和首先要考慮級 數的收斂性，并且有著比較繁多的方法和很強的技巧性。木文在借鑒國內外大量 資料的基礎上，選取了一些常用的數項級數求和的方法，如等差求和，等比求和， 錯位相減求和，原級數化為函數項級數、積分函數求和等，并且每種方法都選取 了典型題目加以分析，盡量使理論與應用相結合，化繁

2、為簡。本文當中也特別介 紹了如裂項法求和，夾逼法求和，幕級數求和等方法，并舉出例子，在實例中說 明方法，用實例體會這些方法在求和時的應用。木文對數項級數的有關概念，收斂的定義做出了簡要的說明。級數的斂散性 是決定級數求和的先決條件，但是本文的重點在于討論級數求和的方法，所以對 級數斂散性的討論略過不談，并且本文中所提到的有關級數都是收斂的。abstractseries, the important mathematical tools. on the one hand, it is for the mathematics and other science and technology res

3、earch and development has played a very important role and exert important influence. on the other hand, the series also is closely linked with our daily life, we should reasonably grasp the use of series, also want to explore more widely used in the field, a solid foundation for the future research

4、.at present in domestic and no systematic research methods series comprehensive summation, summation of series should first consider the convergence of series, and have a comparison method and skills are very strong. in this paper, on the basis of numerous data home and abroad, some selected numeric

5、al series common summation method, such as the arithmetic sum, geometric sum, dislocation subtraction sum, positive numbers into the function series, integral function and so on, and each method selects a typical topic analysis as far as possible, so that the combination of theory and application, s

6、implified.this paper also particularly introduces such as crack a summation, clamping force summation, and the method of power series, and examples, explain the method in the example, with the example of the application of these methods in the sum ofin this paper, the related concepts of series, con

7、vergence definition and theorem gives proof, and give some typical examples to explain. the convergence of series is prerequisite to the summation, but the focus of this paper is to discuss the method of summation of series, the series convergence discussion over does not talk, and the series is men

8、tioned in this article are convergent.key words: series convergence a number of series summation methods and skills seeking and split method summing a series of powers摘要iabstractii第一章緒論11. 1課題的研究背景及意義11.2 課題的發展概況及現狀11. 3 全文研究內容及章節安排2第二章數項級數求和的常用方法32. 1數項級數的定義及收斂32.2等差級數求和32.3首尾相加求和32.4等比級數求和42.5錯位和減

9、求和42. 6蘊含型級數相消法求和42.7有理化法求和52.8原級數轉化為子序列求和52.9數項級數化為函數項級數求和62. 10數項級數化為積分函數求和62. 11裂項法求和62. 12夾逼法求和7第三章關于數項級數求和的幾種特殊方法93. 1方程式法求和9空三角型數項級數化為復數系級數求和93.3幕級數求和103. 3. 1利用幕級數的性質求級數和103.3.2利用微分方程的轉化求級數和113.4利用傅里葉系數求和12第四章小結14致謝15參考文獻16原創性聲明17論文使用授權聲明 17第一章緒論1.1課題的研究背景及意義級數對于數學學科和其他學科及技術研究與發展方面都起到了非常重要的 作

10、用并發揮了其重要影響。另一方面，級數還和我們的h常生活息息相關，我 們要合理的掌握利用級數，也要去發掘更為廣泛的應用領域，為h后的研究打 下堅實的基礎。首先，其原因是很多函數既可以用數項級數表示，又可以通過數項級數來研究函 數逼近的問題，利用其他多項式來逼近一般的函數。用級數的形式還可以表示很多有 用的非初等函數。其次，解微分方程。再次，可以應用于實數的近似計算，所以數項級數無論在分析數學問題上述是在 實際的應用中，都是我們研究函數問題的重要工具，此時數項級數求和的問題就顯得 非常重要了，這也成為了實際應用中急需解決的課題。1.2課題的發展概況及現狀17世紀的上半葉，自然科學在西方資木主義牛產

11、力的刺激下快速發展壯大， 并且有了突破性的進展。而這個過程中所遇到的數學上的難題，使人們將目光的焦點 放在了微積分的基木問題上。這個時期里，開普勒、卡瓦列里、笛卡爾、費馬、巴羅、 沃利斯等箸名的數學大師都致力于先關問題的研究，取得了具有代表性的發展。尤其 是牛頓和萊布尼茨所認識到的微分和積分之間的互逆關系，對微積分的真正創立做出 了偉大的貢獻。到了 18世紀，微積分的研究和發展和無窮級數的研究緊密交織在一 起，數學家們乂陸續得到了各種初等函數的級數展開，并將它們運用到了微積分的研 究當中。在這期間，雅各布，伯努利撰寫了一系列關于無窮級數的文章，從而成為了 這一領域里的權威。而在18世紀先后出現

12、了萊布尼茲判別法，達朗貝爾級數絕對收 斂判別法等判斷級數收斂的法則。到了 19世紀，柯西對無窮級數進行了更加嚴格化 的處理，明確定義了技術的收斂性，并研究了級數收斂的判別條件。數學作為最古老的學科之一，一直以來都有著眾多的研究者。而關于級數的求和, 也吸引了許多專家學者對它的研究，他們將題目和解法分類具體化，分為定義法，解 微分方程法，裂項法，函數轉化法，逐項微分積分法等等。級數求和的方法有很多, 并且有一定的技巧性，縱觀國內目前的相關教材和書籍大多數都是對一些比較特殊的 數項級數進行求和，而一般的數項級數求和的方法問題則甚少提及，因此我們在這方 面有很大的研究空間。1.3全文研究內容及章節安

13、排第一章首先介紹了課題的研究背景及意義，然后簡要介紹了課題的發展概況和 研究現狀。第二章 木章介紹了幾種常用的數項級數求和的方法并舉出典型例題加以說明。第三章 本章介紹了兒種特殊的數項級數求和的方法以及在求和方面的兒點技巧, 并舉例說明。第四章對研究課題進行了小結，提出對今后工作的展望。第二章數項級數求和的常用方法2.1數項級數的定義及收斂設有無窮實數列弘,弘2,，冷，則稱亍冷=% +比2 u,i 是以 “為*/:=!般項(或通項)的數項級數，簡記為£冷7?=1o v/7g n+,sfi稱為數項級數£竝的前nn=l項部分和。若部分和數列sti的極限存在，lim= s則稱級數

14、£血收斂，并稱 ?j=1s為級數的和，記為工冷二s。若部分和數列s”的極限不存在，則稱級數為冷發 w=ln=散。2. 2等差級數求和等差級數是最簡單的級數類型，主要是通過比較前后各項得到級數的公差，然后 代入公式即可求和。例：$ =旳+巴嚴=呦嚴),其中q為首項，為公差。證 明：s=a +a2 +.+q“ ,s=q” +.+。2 +。+得：2s = (q + q“)+ ($ +。“.|) + +(q” +e)因為等差級數q +d“ = . = q“+d|所以*如如2. 3首尾相加求利這一類型的級數主要是將級數的各項前后倒置后與原級數經過基本四則運算, 由于首尾各項的運算的結果相同，就

15、可以轉化為簡單級數求和。例:求 £ + 3c： + 5c； +. + (2n + l)c；：.解:s = £ + 3c + 5c； +. + (2n + l)c： , s (2/? + l)c； + .5c; + 3c： + c：；,兩式相加得：2s = (2n + 2)(c： + .c； + c + £) = (n +1) 2w+,即:£ + 3c： + 5c： +. + (2z? + l)c： = (n + 1)2"2. 4等比級數求和等比級數也是較為簡單的級數類型，主耍通過比較前后各項得到級數的公比，然 后代入公式即可求和。例：當(7=1

16、, s = na；當qhl, s=,其中q為首項，q為公比.證明：當易得5 = nax,當qhl, s=a +aq +.+axqhx，=qi g+q q 2 +. +q g",-得(1 q)s a axqn.2. 5錯位相減求和這個方法通常應用于等差級數與等比級數的混合型，主要方法是乘以等比級數 公比q ,再與原級數四則運算后轉化為簡單的等差或等比級數求和。例：計算工爭解:1 3 52n-s i h- + +2 22 23,-得:c (總2r 1 總2& 1 t=2+工-工 = 1 +k=2 乙k=2k2n-r2比=3r2n-llim5 =3.2. 6蘊含型級數相消法求和ii

17、i這一類型的級數各項之間木身就有緊密的聯系，通過仔細觀察可以得知前后多項 展開之后可以相互之間部分項相消，從而轉化為簡單級數求和。例：計算 £(v? 一 2ji +1 + ji + 2) r=l解：將各項展開可得：s = (1 - 2/2 +- 2a/3 + a/4 j + + (j 兄-2 2 j it +1 + v/2 j +(j m -1 - 2a/h + j” + 1) +- 2 >/ n + 1 + 2)=1 -y/2.-j71+1+ v71 + 2 = 1 >/2 h/,丁兄+1+j+2所以lim5 = 1-v2 .ht82. 7有理化法求和對于一些通項含有分

18、式根式的級數，我們可以模仿數學中經常使用的“有理化” 方法進行處理，使級數的通項得以化簡，進而求出級數的和。.例：計算£.,；=1 丁斤（斤 + 1）（5/ +>/ + 1）解：有題目可以看出原級數含有較多的根式，因此可以運用有理化的方法進行處理，即通項吹e（2e對其分母有理化得：1分母有理化+ l喬 11jn+ 1）（喬 + j + l）jn（n + v）y/n jn + 1則原級數可以采用木文中的2.6"蘊含型級數相消法”，則可以快速求得級 數和的極限為1.2. 8原級數轉化為子序列求和若下列條件成立：（1）當n t8時級數的通項q”t0（2）級數各項沒有破壞次序

19、的情況而得新序列工億收斂于原級數.71=1伽計算l+*+中）+出+ （肘）+黑+ （歸）+.的軍：*.* limci =0 f應用歐拉公工弋1 + i = c + ln/2 + a ,flc"f2 3 n其中c為歐拉常數，j t 0(/1 t oo) s = 1 +丄 +-12 33/t2 n=ln3n-inn + e3n -en,iim5 = in 3 f1t82. 9數項級數化為函數項級數求和這種方法主要是將原來的數項級數轉化為相類似的函數項級數，然后通過對函數 項級數求和得出原級數的和。8 1例：求級數和気35.51)8 1解：建立函數項級數s=y 兀沖由函數斂散性知識可得其力

20、=11 3 5( 2n1)收斂域為(-oo,+oo),將函數項級數逐項求導可得：oos （兀）=1 +工”=1丄無22135（2曠3）oo1 + xy 兀2_1135.（2曠1）=1 + xs（x）,由此可知s(x)滿足微分方程s（x）-xs（x） = 1 ,且易知 5（0） = 0 ,解此常微分方程得：丄“ _1,21 -） 1,25（x） = e2 £ e 2 dt ,令x = l則可以求出原級數和：s = e2£e2 dt.2. 10數項級數化為積分函數求和這種方法通過把原級數化簡，變換成積分極限的形式，從而求出原級數的和。 其中，關鍵是要變換構造積分式子。8 1例：

21、計算£，其中( too).a=)* + k5>.r 呂 1呂11分子分母同時除以"構造分割、仰羊：i己 £= lim > :<三1 k n建立級數與積分的橋梁k- " 1 dr=1 1 i"n2. 11裂項法求利這種方法主要針對于級數是分數形式，而且這個分數的分母是多項乘積的形式, 并口級數的各項之間相差的整數是相同的，通過裂項之后，級數的各項就分離出來, 而分離后的新級數相當于求解另外一個級數，以此類推，原級數的和就可以很容易 的求出了。裂項一般形式： =-(), 此處加>斤(x + /?z)(x+n) n-m x +

22、 m x + n例：計算 £=+.+.1-2-32-3-47? (7? + 1) (/7 + 2)解:記 a =, a = "7?-(/? + 1)-(h + 2)”2 n(n+)(川 + 1)( + 2)” 1針對£ 同理采用裂項法 k= r 伙+1)記仇=i = -72(h + 1) n 77 + 1則 ew：+i）八 1、 j 1、 j 1、 i 1、 j 1、z 11、 裂項后后面項可以消去前面項部分、這就足裂項法的好處!（二）+（廠尹（3盲）+（廠尹（喬計川丁荷）>1n111, limy= liml = 1,7? + 1 s = k 伙+1)28

23、刃 + 1n11n1所丿?：->«» 著 k(k +1)伙 + 2) 右嫂 £ l伙+ 1) +仗+ 1)伙+ 2丿1心+ 1)1a伙+ 1)1、12 22. 12夾逼法求和我們曾在極限的求解屮學習過夾逼法德應用，級數的求和也可以仿照這個方法, 用兩個相近級數逼近原級數，然后這兩個逼近的級數和就是所求的原級數的和。g1例：設加為一給定的正整數，求 £ 丿=“1沖初2 -n解:$ m+nm+ni加一 iim+niv = vh v/79/ /991/99心"初盯一 bn=l府一 t n=l+m府一 ”丄丄+丄+丄+丄+丄+ y (丄+亠 2m

24、 m- m + 1 m-2 m + 21 2m-1 “無.】m-n m + n)丄(i+丄+.+!i丄一一一一-) 2m 22m + n 2 n m 2m1 1 11f +n + 2 加n + l n + 22m"崩且n*時,lim- = 0,n* 7v+1且 lim 2"=(),n* n+2moo即eh=l"初m1 一 n234m2第三章關于數項級數求和的幾種特殊方法3. 1方程式法求和這種類型的級數通過建立級數和的方程式，再通過解方程求出原級數的和。其屮, 最關鍵的是建立起準確的方程式。例：計算 qcos0 + cj2 cos20 +. + q cosno，其

25、中 |g| < 1 .仰乍: 記 s=q cos 0 + q1 cos 20 +. + qn cos no - iv cos k0"1兩邊同時乘以2qcos0得2gcos& 工 cos&cos kcos(r+l) &+cos(kl) 0 k=1即：2gcos0尸 (qn+l cos(h+1 ) 0 + s qcos0) + (q2 + q2s qn2 cosnff)解此方程得:cos no 一 q"" cos(h +1)& + q cos o-cfa1 + q- - 2q cos 0lim s q cos e - q，l +

26、g? - 2qcos&3. 2三角型數項級數化為復數系級數求和這類級數是通過將原級數轉化為復數域上的級數，再通過求復數系級數進而求 出原級數的和。例：設 s= q cos & + / cos 2& +. + q cos no ,求 $ .解：由于s=qk cosko ,令 z = qd° =g(cos& + isin&)為復數, k=其中£ = 0,1,2z*=qu°=y(cos朋+ isin朋)，其中 k = ,2,得:_ z"+l n=v = 1+z + z2 +. + z" = l + g(cos

27、& + isin&) + g2(cos2& + isin20)+1 一 z boq3(cos 3 & + jsin 3 &)+/ (cos 刃& + isin no) = l + q cos 0 + q2 cos 2& + q cos 3& +g" cos & + i(q sin 8 + q? sin2& +sin no)而另-方而三_ 1-q卄' (cos(+1)& + i sin(/7+1)&) _11-q(cos & + i sin &)1 -2q cos 0

28、 + cf 1 - q cos 0 -cos(n + 1)0 + qn+2 cos(n +1)0 cos 0 + q,+2 sin( +1)0 sin & +iqsin 0 一 qn+2 cos(n +1)處in 0一 q""' sin(n +1)& + q,l+2 sin(/? + l)tcos & 將實部取出再與原級數和對應可得：1 + 5 =7 (1 一 q cos 0 一 qn+ cos(n +1)& + q,l+2 cos no)即：1-2 cos & +7(1 一qcos0一q"*' cos(z?

29、 +1)0 + qn cosno一 1 + 2qcos0-q2) 12qcos& + q當 n t oolims =“t8q cos 0 - q?1 + q，-2qcos&3. 3幕級數求和3. 3.1利用幕級數的性質求級數和我們可以根據幕級數的相關性質，對一個幕級數經過逐項的微分或積分，從而轉 化為等比級數，通過對等比級數的求和后再進行必要的微分或積分就可求出幕級數的 和。用這種方法求級數的和時，只需要將級數構造成幕級數的形式就可以求原級數的 和。例1:求x + 3兀' + 4兀° +(| x vl)的和。解：可令f(x)=兀+2兀彳+3# + 4兀

30、6; +,已知它的收斂域為(-1,1).而原函數在這個收斂域內是可以逐項積分的，所以可得：加皿=非+討+討+.=(1)兀2 + ()牙3 +()兀4 + 2 34(x 4 x" + 兀彳 + 兀4 +.)_ (兀兀2 + .)234x=f ln(l x) 1 x其中x <1 ,故：x(1 一尢)2x < 1 (-1 <%<!)8y1f(x) = x 處"二 i+ ln(l - x)jn=l1 一 x8 .例2：求+ 的和。?=|oo-解：因為2>(/7 + 2)*t的收斂區間為(-1,1),故：/1=11 22 3 3 4_兀 +-r +-x

31、+ 2 34比2>5 + 2)嚴t 力=工 j腳5 + 2)嚴t 力5 + 2)x"=工(/? +1)* =* , jzl ( 1 v x v 1),丫2又因為總工5 + 1)嚴力=工總 + 1)廣力=*+1 =，(-1<x<1),i - x8 ( 所以 2>s + 2)*tn=2x-x2<(l-x)2x+1-x3-x(1一兀尸3. 3. 2利用微分方程的轉化求級數和對于有些級數，我們可以通過求解微分方程的方法求出原級數的和，但是運用這 種方法時，最主要的是要掌握好關于微分方程的相關知識，并r要有較好的解方程的 能力。例:oo 丫2“+1解：首先通過初步

32、計算可以得出此級數的收斂區間是(yo, + oo)oo 丫2+135令瞼)孚0711亍+孑+xh,4!00 xn兀2兩邊求導則s'(勸二z = l + «=o(2m)!2!%2兀3 所以 s(x) + sx) = 1 + 兀 + + + 2!3!即可得s(x)+ sx) = ex是一階線性微分方程.通解：s (x) = *夕 + cex,乂因為s（0） = 0,所以c =oo r2w+l所以六3.4利用傅里葉系數求和如果三角級數也+ £（陽cosnx + bn sin處）于-;r, tc上一致收斂于/（兀），則任2 w=i取 xe -7t,龍,均 /(%) = +

33、x (/7 cos nx + bn sin nx)成立，并且此時有 27?=1an =f(x)cos nxdx (n = 0,1,2,- - ), btj =f(x) sin nxdx (n = 1,2,- - ),我們就稱陽,7u兀bft是函數/（x）的傅里葉系數，稱三角級數也+cos處+乞sinnx）是函數/（x）的271=1傅里葉級數，它的和函數為/（x），一兀 < x < 7ts（勸二 /（兀 + 0） + /（兀0）丄一. ,x 二 土兀2例:求占曠解：首先要先寫出f（x） = x2的傅里葉級數的相關項,71x dxan -丄化x'cosmzh =丄 x71 兀

34、i(7 sin nx兀1ai 皿 sin alt ,4一一©2 兀dx = (-)nr兀1仃obn = cnx2 sin nxdx = 0 (n = 1,2,)， 兀i（）n所以 f =兀2 +4_ cos nx （一兀 5 x 5 兀）. 3n1因為/（對在x = 0處連續，即/（0） = 0,所以0顯疋+4工卑亠2-4工斗.3 礦 3n所以工(1嚴12利用傅里葉系數求級數和必須先構造一個函數/(%),且/(兀)的傅里葉級數中含 有與通項冷相似的部分.第四章小結以上介紹的等差法，等比法，錯位相減法，裂項法，方程式求解法，轉化法，利 用幕級數、傅里葉系數法等等只是在級數求和的眾多方法中的一些，其中既有最普通 常用的方法，也有需要較強的技巧性的方法。本文嘗試在這些常用方法及幾種特殊方 法的基礎上設立專門針對級數求和的相關板塊，而在級數求和時我們首先要注意要的 是判斷該級數是否收斂，因為只有在級數收斂時才能求它的和。當然，知識的世界是 永遠沒有盡頭的，在數項級數求和的方法方面，我們還有許多未知的東西沒有發現, 而級數在一些其他領域的應用方面也需要我們繼續發掘，并將它應用到生活和其他學 科中去，以實現它的價值。在人類文明、科技創新不斷進步的今天，我們在對數項級 數求和方法的探究上也在不斷進步，未來無限可能，展望明天，關于數項級數求和方 法的探究也將有更加廣闊的進步空間，我們