1、二項(xiàng)式定理例題講解分 類 計(jì) 數(shù) 原 理 分 步 計(jì) 數(shù) 原理做一件事，完成它有 n 類不同的辦法。第一類辦 做一件事， 完成它需要分成 n個(gè)步驟。第一步中有 m1種方法， 法中有 m1種方法，第二類辦法中有 m2 種方第二步中有 m2 種方法 ，第 n 步中有 mn 種方法，則完成 法 ，第 n 類辦法中有 mn 種方法， 則完成這件這件事共有： N=m1 m2 mn 種方法。 事共有： N=m1+m2+mn 種方法。注意：處理實(shí)際問題時(shí)，要善于區(qū)分是用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理，這兩個(gè)原理的標(biāo)志是“分類 ”還是 “分步驟 ”。排列從 n 個(gè)不同的元素中取 m(m n) 個(gè)元素，按照一定

2、的順序排成一排，叫做從 n 個(gè)不同的元素中取 m 個(gè)元素的排列。組合 從 n 個(gè)不同的元素中，任取 m(m n) 個(gè)元素并成一組，叫做從 n 個(gè)不同的元素中取 m 個(gè)元素的組合。排列數(shù) 組合數(shù)從 n 個(gè)不同的元素中取 m(m n) 個(gè)元素的所有排列 從 n 個(gè)不同的元素中取 m(m n) 個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫 的個(gè)數(shù)，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的組合數(shù)，記為 Cnm 排列數(shù)，記為 Pnm選排列數(shù)全排列數(shù)二項(xiàng)式定理(1) 項(xiàng)數(shù)： n+1 項(xiàng)二項(xiàng)展開式的性質(zhì)(2) 指數(shù)：各項(xiàng)中的 a的指數(shù)由 n起依次減少 1，直至 0 為止；b的指出從

3、0起依次增加 1， 直至 n 為止。而每項(xiàng)中 a與 b 的指數(shù)之和均等于 n 。(3) 二項(xiàng)式系數(shù)：各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式的系數(shù)之和例 1試求：2（1）（x3 22 ）5 的展開式中 x5 的系數(shù)；x21（2）（2x21 ）6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；x（3）（x1）9的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；（4）在 （ 3x 3 2）100 的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù) 解：（1）Tr1C5r（x3）5 r（ 22）r （ 2）r C5r x15 5rx依題意 155r5，解得 r 2故（2）2C5r40 為所求 x5的系數(shù) （2）Tr1C6r（2x2）6 r（ 1）r （1）r

4、3;26 r· C6r x12 3rx依題意 12 3r 0，解得 r 4故 （ 1）4 · 22 C62 60為所求的常數(shù)項(xiàng)（3）Tr1 （ 1）r C9r x9 r C94 C95 126 ，而 （1）41， （1）5 -1 T5 126x5是所求系數(shù)最大的項(xiàng)50 r r（4）Tr1C1r00（ 3x）100 r（3 2）r C1r00 350 2 23x100 r, rr要使 x 的系數(shù)為有理數(shù)，指數(shù) 50 r 與 r 都必須是整數(shù)，23因此 r 應(yīng)是 6 的倍數(shù)，即 r6k（kZ ），2又 06k100，解得 0k 16 （kZ） x的系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有 17 項(xiàng)

5、評(píng)述 求二項(xiàng)展開式中具有某特定性質(zhì)的項(xiàng)， 關(guān)鍵是確定 r 的值或取值范圍 應(yīng)當(dāng)注意的是二項(xiàng)式系數(shù)與二 項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)不是同一概念，要加以區(qū)分例 2 試求：（ 1） （x 2）10（x21）的展開式中 x10 的系數(shù)；（2）（x1）（x1）2 （x1）3（x1）4 （x1）5的展開式中 x2的系數(shù)；1（ 3） x 2 的展開式中的常數(shù)項(xiàng) .x解：（1） （x2）10x10 20x9180x8 （x2）10（x21）的展開式中 x10 的系數(shù)是 11801792345（2） （x 1）（x1）2（x1）3（x1）4（x1）5 （x 1）1 （x 1）5 （x 1） （x 1）61 （x 1）

6、 x所求展開式中 x2 的系數(shù)就是 （x1）6的展開式中 x3的系數(shù) C63 -20 所求展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 -C63 20評(píng)述 這是一組將一個(gè)二項(xiàng)式擴(kuò)展為若干個(gè)二項(xiàng)式相乘或相加，或擴(kuò)展為簡(jiǎn)單的三項(xiàng)展開式，求解的關(guān)鍵 在于轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式的問題，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意分析題目中式子的結(jié)構(gòu)特征例 3（ 1）已知 （1 x） n的展開式中， x3的系數(shù)是 x的系數(shù)的 7 倍，求 n 的值；（2）已知 （ax1）7（a0）的展開式中， x3的系數(shù)是 x2的系數(shù)與 x4的系數(shù)的等差中項(xiàng)，求 a 的值；（3）已知 （2x x1gx ）8 的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于1120，求 x 的值解：（1）依題意

7、 Cn3 7C1n ，即 n（n 1）（n 2） 7n n n 6由于 n N，整理得 n2 3n40 0，解得 n 8(2) 依題意 C75a2 C73a4 2C74a3由于 a 0，整理得5a2 10a3 0，解得 a 1± 103)依題意 T5 C84(2x)4(xlgx)4 1120，整理得 x4（1lgx） 1，兩邊取對(duì)數(shù)，得2lg x lg x 0，解得 lgx0 或 lgx 1 x 1 或 x10 評(píng)述 （ab）n 的展開式及其通項(xiàng)公式是a，b，n，r，Tr1 五個(gè)量的統(tǒng)一體，已知與未知相對(duì)的，運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法，應(yīng)會(huì)求其中居于不同位置，具有不同意義的未知數(shù)例 4

8、（ 1）若 （2x 3 ）4a0 a1xa2x2a3x3a4x4則 （a0 a2 a4）2 （a1 a3）2 的值等于；（2）12C110 4C120210 C1100 解（ 1）令 x1，得 a0a1a2a3a4（23 ） ，令 x-1，得 a0-a1a2-a3a4 （ 3 2）4， 由此可得 （a0a2a4）2 （a1 a3）2 （a0a1a2a3 a4）（ a0 a1a2a3a4） （ 3 2）（ 3 2）4110（2）在（1x）10C1r0xr 中，r0令 x2，得 1 2C110 4C120210 C1100 310 59049（a b）nCnr a n r b r 為恒等式 r 1

9、01在 x 3 10 的展開式中，x6 的系數(shù)為23A 27C160B27 C140已知 a b 0,b 4a ，等于A4B項(xiàng)式定理練習(xí)題C 9C104D 9C140a b n 的展開式按 a 的降冪排列，其中第 n 項(xiàng)與第C10D11n+1項(xiàng)相等，那么正整數(shù) n已知（ an的展開式的第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的系數(shù)的比為112 ，則 n 是A10B 115310被 8 除的余數(shù)是C12D13A1B2C3D7評(píng)述 這是一組求二項(xiàng)式系數(shù)組成的式子的值的問題，其理論依據(jù)是5(1.05)6 的計(jì)算結(jié)果精確到A1.23B0.01 的近似值是C 1.331.24D1.346二項(xiàng)式 2 x 41 n4x(n N)的展

10、開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則此展開式有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是7A111設(shè) (3x3 +x2 )n 展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為A1289BB1在 (1 x x2)6的展開式中 x5 的系數(shù)為A4B51011C3( Dt ，其二項(xiàng)式系數(shù)之和為 h，CC(3 1x 5 1x)n 展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和等于A330B462CDDt+h=272，則展開式的 x2 項(xiàng)的系數(shù)是1024，則所有項(xiàng)的系數(shù)中最大的值是680D79045( x 1)4(x 1)5的展開式中，4x4 的系數(shù)為A 40B10C40D45二項(xiàng)式 (1+sinx)n 的展開式中，末尾兩項(xiàng)的系數(shù)之和為 7 ，且系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為5，則 x

11、 在 0，2 內(nèi)的2值為5或665 或5 36A 或632C 或3312在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展開式中 ,含 x4項(xiàng)的系數(shù)是等差數(shù)列 an=3n5 的BDA第 2 項(xiàng)B第 11 項(xiàng)C第 20 項(xiàng)D第 24 項(xiàng)二、填空題：本大題滿分 16分，每小題 4 分，各題只要求直接寫出結(jié)果 .113(x2)9展開式中 x9 的系數(shù)是.2x414若 2x3a0a1xa4x4 ，則a0a2a4 2a1a3 2的值為 .15若 (x3 x 2) n的展開式中只有第 6 項(xiàng)的系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是16對(duì)于二項(xiàng)式 (1-x)1999 ，有下列四個(gè)命題：展開式中1000 999 ；T10

12、00 = C1999x ； 展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是 1； 展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第 1000 項(xiàng)和第 1001 項(xiàng)； 當(dāng) x=2000時(shí)， （1-x）1999除以 2000 的余數(shù)是 1其中正確命題的序號(hào)是 （把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）三、解答題：本大題滿分 74 分.1n17（ 12分）若 （6 x 6 ）n 展開式中第二、三、四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列 6x（） 求 n 的值；（）此展開式中是否有常數(shù)項(xiàng)，為什么？118（ 12分）已知 （1 2x ）n的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37，求展式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系4數(shù)19（ 12分）是否存在等差數(shù)列 an ，使a1C0n

13、a2C1n a3C2nan 1Cnn n 2n對(duì)任意 n N* 都成立？若存在，求出數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由20（12 分）某地現(xiàn)有耕地 100000 畝，規(guī)劃 10 年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加 22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高 10%。 如果人口年增加率為 1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1 畝）？21. （12 分）設(shè) f（x）=（1+x）m+（1+x）n（m 、n N ），若其展開式中，關(guān)于 x 的一次項(xiàng)系數(shù)為 11，試問： m、n 取何 值時(shí)， f（x）的展開式中含 x2 項(xiàng)的系數(shù)取最小值，并求出這個(gè)最小值.22（ 14分）規(guī)定 Cxm x（x 1） （x m