1、 第1課時進門測判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同(×)(2)在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事()(3)在分步乘法計數原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成()(4)如果完成一件事情有n個不同步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i1,2,3，n)，那么完成這件事共有m1m2m3mn種方法()(5)在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的()作業檢查無第2課時階段訓練題型一分類加法計數原理的

2、應用例1高三一班有學生50人，其中男生30人，女生20人；高三二班有學生60人，其中男生30人，女生30人；高三三班有學生55人，其中男生35人，女生20人(1)從高三一班或二班或三班中選一名學生任學生會主席，有多少種不同的選法？(2)從高三一班、二班男生中或從高三三班女生中選一名學生任學生會體育部長，有多少種不同的選法？解(1)完成這件事有三類方法：第一類，從高三一班任選一名學生共有50種選法；第二類，從高三二班任選一名學生共有60種選法；第三類，從高三三班任選一名學生共有55種選法根據分類加法計數原理，任選一名學生任學生會主席共有506055165(種)不同的選法(2)完成這件事有三類方法

3、：第一類，從高三一班男生中任選一名共有30種選法；第二類，從高三二班男生中任選一名共有30種選法；第三類，從高三三班女生中任選一名共有20種選法根據分類加法計數原理，共有30302080(種)不同的選法思維升華分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，重點在于抓住題目中的關鍵詞或關鍵元素、關鍵位置首先根據題目特點恰當選擇一個分類標準；其次分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類定義“規范01數列”an如下：an共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k2m，a1，a2，ak中0的個數不少于1的個數若m4，則不同的“規范01數列”共有()a18個 b16個 c14個 d12個答案

4、c解析第一位為0，最后一位為1，中間3個0,3個1,3個1在一起時為000111,001110；只有2個1相鄰時，共a個，其中110100,110010,110001,101100不符合題意；三個1都不在一起時有c個，共28414(個)題型二分步乘法計數原理的應用例2(1)如圖，小明從街道的e處出發，先到f處與小紅會合，再一起到位于g處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為()a24 b18 c12 d9(2)有六名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有_種不同的報名方法答案(1)b(2)120解析(1)從e點到f點的最短路徑有6種，從f

5、點到g點的最短路徑有3種，所以從e點到g點的最短路徑為6×318(種)，故選b.(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法，根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法共有6×5×4120(種)引申探究1本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人至多參加一項”改為“每人恰好參加一項，每項人數不限”，則有多少種不同的報名方法？解每人都可以從這三個比賽項目中選報一項，各有3種不同的報名方法，根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法共有36729(種)2本例(2)中若將條件“每項限報一人，且每人

6、至多參加一項”改為“每項限報一人，但每人參加的項目不限”，則有多少種不同的報名方法？解每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽，根據分步乘法計數原理，可得不同的報名方法共有63216(種)思維升華(1)利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成(1)已知集合m1，2,3，n4,5,6，7，從m，n這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標、縱坐標，則這樣的坐標在直角坐

7、標系中可表示第一、第二象限內不同的點的個數是()a12 b8 c6 d4(2)五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數為_五名學生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有_種答案(1)c(2)4554解析(1)分兩步：第一步先確定橫坐標，有3種情況，第二步再確定縱坐標，有2種情況，因此第一、二象限內不同點的個數是3×26個，故選c.(2)五名學生參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐個學生落實，每個學生有4種報名方法，共有45種不同的報名方法五名學生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性題

8、型三兩個計數原理的綜合應用例3(1)如圖，矩形的對角線把矩形分成a，b，c，d四部分，現用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有_種不同的涂色方法(2)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是_答案(1)260(2)36解析(1)區域a有5處涂色方法；區域b有4種涂色方法；區域c的涂色方法可分2類：若c與a涂同色，區域d有4種涂色方法；若c與a涂不同色，此時區域c有3種涂色方法，區域d也有3種涂色方法所以共有5×4×45

9、15;4×3×3260(種)涂色方法(2)第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側面均成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×1224(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個所以正方體中“正交線面對”共有241236(個)思維升華利用兩個計數原理解決應用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類(3)弄清分步、分類的標準是什么(4)利用兩個計數原理求解如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區域涂一種顏色，相鄰的區域不能涂相同的顏色

10、，則不同的涂色種數有_答案96解析按區域1與3是否同色分類：(1)區域1與3同色：先涂區域1與3有4種方法，再涂區域2,4,5(還有3種顏色)有a種方法區域1與3涂同色，共有4a24(種)方法(2)區域1與3不同色：先涂區域1與3有a種方法，第二步涂區域2有2種涂色方法，第三步涂區域4只有一種方法，第四步涂區域5有3種方法這時共有a×2×1×372(種)方法故由分類加法計數原理，不同的涂色種數為247296.第3課時階段重難點梳理分類加法計數原理與分步乘法計數原理 原理異同點分類加法計數原理分步乘法計數原理定義完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方

11、法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有nmn種不同的方法完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有nm×n種不同的方法區別各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事各個步驟中的方法互相依存，只有各個步驟都完成才能做完這件事重點題型訓練典例(1)把3封信投到4個信箱，所有可能的投法共有()a24種 b4種 c43種 d34種(2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時間里，火車有4次，輪船有3次，問此人的走法可有_種錯解展示解析(1)因為每個信箱有三種投信方法，共4個信箱，所以共有3&#

12、215;3×3×334(種)投法(2)乘火車有4種方法，坐輪船有3種方法，共有3×412(種)方法答案(1)d(2)12現場糾錯解析(1)第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法只要把這3封信投完，就做完了這件事情，由分步乘法計數原理可得共有43種方法(2)因為某人從甲地到乙地，乘火車的走法有4種，坐輪船的走法有3種，每一種方法都能從甲地到乙地，根據分類加法計數原理，可得此人的走法共有437(種)答案(1)c(2)7糾錯心得(1)應用計數原理解題首先要搞清是分類還是分步(2)把握完成一件事情的標準，如典例(1)沒

13、有考慮每封信只能投在一個信箱中，導致錯誤1用0,1，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為()a243 b252 c261 d279答案b解析由分步乘法計數原理知，用0,1，9十個數字組成三位數(可用重復數字)的個數為9×10×10900，組成沒有重復數字的三位數的個數為9×9×8648，則組成有重復數字的三位數的個數為900648252.故選b.2滿足a，b1,0,1,2，且關于x的方程ax22xb0有實數解的有序數對(a，b)的個數為()a14 b13 c12 d10答案b解析當a0時，關于x的方程為2xb0，此時有序數對(0，1)，(0,0

14、)，(0,1)，(0,2)均滿足要求；當a0時，44ab0，ab1，此時滿足要求的有序數對為(1，1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)綜上，滿足要求的有序數對共有13個，故選b.3從0,2中選一個數字，從1,3,5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為()a24 b18 c12 d6答案b解析分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，共有3×2×212(個)奇數；第2類，偶奇奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，共有3×2×

15、16(個)奇數根據分類加法計數原理，知共有12618(個)奇數45位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，則不同的報名方法有_種答案32解析每位同學都有2種報名方法，因此，可分五步安排5名同學報名，由分步乘法計數原理，知總的報名方法共2×2×2×2×232(種)作業布置1有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數學，在數學檢測時要求每位教師不能在本班監考，則不同的監考方法有()a8種 b9種c10種 d11種答案b解析設四位監考教師分別為a，b，c，d，所教班分別為a，b，c，d，假設a監考b，則余下三人監考剩下的三個班，共有3種不同

16、方法，同理a監考c，d時，也分別有3種不同方法，由分類加法計數原理，共有3339(種)不同的監考方法2小明有4枚完全相同的硬幣，每個硬幣都分正反兩面他想把4個硬幣擺成一摞，且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對，則不同的擺法有()a4種 b5種 c6種 d9種答案b解析記反面為1，正面為2，則正反依次相對有12121212,21212121兩種；有兩枚反面相對有21121212,21211212,21212112三種，共5種擺法，故選b.3將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，則不同的安排方案共有()a12種 b10種c9種 d

17、8種答案a解析第一步，選派一名教師到甲地，另一名到乙地，共有c2(種)選派方法；第二步，選派兩名學生到甲地，另外兩名到乙地，有c6(種)選派方法由分步乘法計數原理，不同的選派方案共有2×612(種)4用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中比40 000大的偶數共有()a144個 b120個 c96個 d72個答案b解析由題意知，首位數字只能是4,5，若萬位是5，則有3×a72(個)；若萬位是4，則有2×a48(個)，故比40 000大的偶數共有7248120(個)故選b.5將一個四面體abcd的六條棱上涂上紅、黃、白三種顏色，要求共端點的棱不能

18、涂相同顏色，則不同的涂色方案有()a1種 b3種c6種 d9種答案c解析因為只有三種顏色，又要涂六條棱，所以應該將四面體的對棱涂成相同的顏色故有3×2×16(種)涂色方案6將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有()a12種 b18種c24種 d36種答案a解析先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有a種不同排法再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2種不同的排法，第二列第二、三行的字母只有一種排法因此共有a·2·112(種)不同的排列方法7將數字1,2,3,4填入標號為1,2,3,

19、4的四個方格，每格填一個數，則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有_種答案9解析編號為1的方格內填數字2，共有3種不同填法；編號為1的方格內填數字3，共有3種不同填法；編號為1的方格內填數字4，共有3種不同填法于是由分類加法計數原理，得共有3339(種)不同的填法8如圖所示，在a，b間有四個焊接點，若焊接點脫落，則可能導致電路不通，今發現a，b之間線路不通，則焊接點脫落的不同情況有_種答案13解析四個焊點共有24種情況，其中使線路通的情況有：1,4都通，2和3至少有一個通時線路才通，共3種可能故不通的情況有24313(種)可能9從1,2,3,4,7,9六個數中，任取兩個數作為對數的底數和真

20、數，則所有不同對數值的個數為_答案17解析當所取兩個數中含有1時，1只能作真數，對數值為0，當所取兩個數不含有1時，可得到a20(個)對數，但log23log49，log32log94，log24log39，log42log93，綜上可知，共有201417(個)不同的對數值10回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22,121,3 443,94 249等顯然2位回文數有9個：11,22,33，99.3位回文數有90個：101,111,121，191,202，999.則(1)4位回文數有_個；(2)2n1(nn*)位回文數有_個答案(1)90(2)9×10n解析(1)4位回文

21、數相當于填4個方格，首尾相同，且不為0，共9種填法，中間兩位一樣，有10種填法，共計9×1090(種)填法，即4位回文數有90個(2)根據回文數的定義，此問題也可以轉化成填方格結合分步乘法計數原理，知有9×10n種填法11有一項活動需在3名老師，6名男同學和8名女同學中選人參加(1)若只需一人參加，有多少種不同選法？(2)若需一名老師，一名學生參加，有多少種不同選法？(3)若需老師，男同學，女同學各一人參加，有多少種不同選法？解(1)只需一人參加，可按老師，男同學，女同學分三類各自有3,6,8種方法，總方法數為36817. (2)分兩步，先選教師共3種選法，再選學生共6814(種)選法，由分步乘法計數原理知，總方法數為3×1442. (3)教師，男同學，女同學各一人可分三步，每步方法依次為3,6,8種由分步乘法計數原理知總方法數為3×6×8144(種)12如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同