1、2.1.2 演繹推理1. 理解演繹推理的意義.( 重點 ) 2. 掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.( 難點 ) 3. 了解合情推理和演繹推理之間的區別和聯系.( 易混點 ) 基礎初探 教材整理演繹推理閱讀教材 p32p33例 1 以上內容，完成下列問題. 1. 演繹推理(1) 含義：由概念的定義或一些真命題，依照一定的邏輯規則得到正確結論的過程，叫做演繹推理 . (2) 特點：當前提為真時，結論必然為真. 2. 三段論一般模式常用格式大前提已知的一般原理m是p小前提所研究的特殊情況s是m結論根據一般原理，對特殊情況做出的判斷s是p判斷 (正確的打“”，錯誤的打“”)(1)

2、 演繹推理一般模式是“三段論”形式.( ) (2) 演繹推理的結論是一定正確的.( ) (3) 演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理.( ) 【解析】(1) 正確 . 演繹推理一般模式是“三段論”形式，即大前提、小前提和結論. (2) 錯誤 . 在演繹推理中， 只有“大前提”“小前提”及推理形式都正確的情況下，其結論才是正確的 . (3) 錯誤 . 演繹推理是由一般到特殊的推理. 【答案】(1) (2) (3) 質疑手記 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問 1：解惑：疑問 2：解惑：疑問 3：解惑： 小組合作型 把演繹推理寫成三段論的形式將下列演繹推理寫成三段論的形式

3、. (1) 一切奇數都不能被2 整除， 75 不能被 2 整除，所以75 是奇數 . (2) 三角形的內角和為180， rtabc的內角和為180. (3) 菱形的對角線互相平分. (4) 通項公式為an3n2(n2)的數列 an為等差數列 . 【精彩點撥】三段論推理是演繹推理的主要模式，推理形式為“如果b?c，a?b，則a?c. ”其中，b?c為大前提，提供了已知的一般性原理；a?b為小前提，提供了一個特殊情況；a?c為大前提和小前提聯合產生的邏輯結果. 【自主解答】(1) 一切奇數都不能被2 整除 .( 大前提 ) 75 不能被 2 整除 .( 小前提 ) 75 是奇數 .( 結論 ) (

4、2) 三角形的內角和為180 .( 大前提 ) rtabc是三角形 .( 小前提 ) rtabc的內角和為180.( 結論 ) (3) 平行四邊形的對角線互相平分.( 大前提 ) 菱形是平行四邊形.( 小前提 ) 菱形的對角線互相平分.( 結論 ) (4) 數列 an 中，如果當n2時，anan1為常數，則 an為等差數列 .( 大前提 ) 通項公式an 3n2，n2 時，anan1 3n2 3(n1)2 3(常數 ).( 小前提 ) 通項公式為an3n2(n2)的數列 an為等差數列 .( 結論 ) 1. 三段論推理的根據，從集合的觀點來講，若集合m的所有元素都具有性質p，s是m的子集，那么

5、s中所有元素都具有性質p. 2. 演繹推理最常用的模式是三段論，在大前提和小前提正確，推理形式也正確時，其結論一定是正確的. 再練一題 1.(1) 三段論：“只有船準時起航，才能準時到達目的港，這艘船是準時到達目的港的，這艘船是準時起航的”中的“小前提”是( ) a. b. c.d. (2) 將推斷“若兩個角是對頂角，則這兩個角相等，所以若1和2 是對頂角，則1和2 相等”改寫三段論的形式. 【解析】(1) 大前提為，小前提為，結論為.【答案】d (2) 兩個角是對頂角，則這兩個角相等，大前提1 和2 是對頂角，小前提1 和2 相等 . 結論演繹推理的應用證明f(x) x3x在 r上為增函數，

6、并指出證明過程中所運用的“三段論”.【精彩點撥】可利用函數單調性定義證明. 【自主解答】在 r上任取x1，x2，且x10. 因為f(x) x3x，所以f(x2) f(x1) (x32x2) (x31x1) (x32x31) (x2x1) (x2x1)(x22x2x1x211) (x2x1) x2x12234x211，因為x2x12234x2110，所以f(x2) f(x1)0，即f(x2)f(x1) ，所以f(x) x3x在 r上是增函數 . 在證明過程中所用到的“三段論”：大前提是“增函數的定義”，小前提是“題中的f(x) 經過正確的推理滿足增函數的定義”，結論是“f(x) 是增函數”.1.

7、 應用三段論解決問題時，應當首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略. 2. 數學問題的解決與證明都蘊含著演繹推理，即一連串的三段論，關鍵是找到每一步推理的依據大前提、小前提，注意前一個推理的結論會作為下一個三段論的前提. 再練一題 2. 如圖 2-1-10 所示，d，e，f分別是bc，ca，ab邊上的點，bfda，deba，求證：deaf. 寫出“三段論”形式的演繹推理. 圖 2-1-10【證明】同位角相等，兩直線平行，( 大前提 ) bfd和a是同位角，且bfda，( 小前提 ) 所以dfae.( 結論 ) 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，( 大前

8、提 ) deba且dfea，( 小前提 ) 所以四邊形afde為平行四邊形.( 結論 ) 平行四邊形的對邊相等，( 大前提 ) de和af為平行四邊形的對邊，( 小前提 ) 所以deaf.( 結論 ) 探究共研型 合情推理與演繹推理的綜合應用探究 1 我們已經學過了等比數列，你有沒有想到是否也有等積數列呢？類比“等比數列”，請你給出“等積數列”的定義. 【提示】如果一個數列從第2項起， 每一項與它前一項的乘積是同一個常數，那么這個數列叫做等積數列，其中，這個常數叫做公積. 探究 2 若an是等積數列，且首項a12，公積為6，試寫出 an的通項公式及前n項和公式 . 【提示】由于 an 是等積數

9、列，且首項a12，公積為6，所以a23，a32，a4 3，a52，a63，即 an的所有奇數項都等于2，所有偶數項都等于3，因此 an的通項公式為an2，n為奇數，3，n為偶數 .其前n項和公式sn5n2，n為偶數，5（n1）225n12，n為奇數 .探究 3 甲、乙、丙三位同學被問到是否去過a，b，c三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過b城市；乙說：我沒去過c城市；丙說：我們三人去過同一城市. 由此可判斷乙去過的城市為a，b，c三個城市中的哪一個？【提示】由題意可推斷：甲沒去過b城市， 但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過a，c城市，而乙“沒去過c城市”，說明乙

10、去過城市a，由此可知，乙去過的城市為a. 如圖 2-1-11所示，三棱錐a-bcd的三條側棱ab，ac，ad兩兩互相垂直，o為點a在底面bcd上的射影 . 圖 2-1-11(1) 求證：o為bcd的垂心；(2) 類比平面幾何的勾股定理，猜想此三棱錐側面與底面間的一個關系，并給出證明. 【精彩點撥】(1) 利用線面垂直與線線垂直的轉化證明o為bcd的重心 . (2) 先利用類比推理猜想出一個結論，再用演繹推理給出證明. 【自主解答】(1) 證明：abad，acad，ad平面abc，adbc，又ao平面bcd，aobc，adaoa，bc平面aod，bcdo，同理可證cdbo，o為bcd的垂心 .

11、(2) 猜想：s2abcs2acds2abds2bcd. 證明如下：連接do并延長交bc于e，連接ae，bo，co，由(1) 知ad平面abc，ae? 平面abc，adae，又aoed，ae2eoed，12bcae212bceo12bced，即s2abcsbocs bcd. 同理可證：s2acdscodsbcd，s2abdsbodsbcd. s2abcs2acdsabdsbcd (sbocscods bod) s bcdsbcds2bcd. 合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結論不一定真. 但合情推理常常幫助我們猜測和發現新的規律，為我們提供證明的思路和方法，而演繹推理得到的結論一定正確

12、(前提和推理形式都正確的前提下). 再練一題 3. 已知命題：“若數列an 是等比數列，且an0，則數列bnna1a2an(nn)也是等比數列” . 類比這一性質，你能得到關于等差數列的一個什么性質？并證明你的結論. 【解】類比等比數列的性質，可以得到等差數列的一個性質是：若數列 an 是等差數列，則數列bna1a2ann也是等差數列 . 證明如下：設等差數列 an的公差為d，則bna1a2annna1n（n1）d2na1d2(n1)，所以數列 bn是以a1為首項，d2為公差的等差數列. 構建體系 1. 演繹推理中的“一般性原理”包括( ) 已有的事實；定義、定理、公理等；個人積累的經驗. a

13、.b.c.d.【解析】演繹推理中的“一般性原理”包括“已有的事實”“定義、定理、公理等”.【答案】a 2. 下面幾種推理過程是演繹推理的是( ) a.兩條直線平行，同旁內角互補，如果a與b是兩條平行直線的同旁內角，則ab180b.某校高三 (1) 班有 55 人，(2) 班有 54 人，(3) 班有 52 人，由此得出高三所有班級中的人數都超過50 人c.由平面三角形的性質，推測空間四面體的性質d.在數列 an中，a1 1，an12an 11an 1(n2)，通過計算a2，a3，a4猜想出an的通項公式【解析】a是演繹推理， b，d是歸納推理， c是類比推理 . 【答案】a 3. 用三段論證明

14、命題：“任何實數的平方大于0，因為a是實數，所以a20” ，你認為這個推理 ( ) 【導學號： 37820013】a.大前提錯誤b.小前提錯誤c.推理形式錯誤d.是正確的【解析】這個三段論推理的大前提是“任何實數的平方大于0”，小前提是“a是實數”，結論是“a20”. 顯然結論錯誤，原因是大前提錯誤. 【答案】a 4. 函數y2x5 的圖象是一條直線，用三段論表示為：大前提： _ ；小前提： _ ；結論： _ ；【答案】一次函數的圖象是一條直線函數y2x5 是一次函數函數y2x5 的圖象是一條直線5. 用三段論的形式寫出下列演繹推理. (1) 矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對角線

15、相等；(2)ycos x(xr) 是周期函數 . 【解】(1) 因為矩形的對角線相等，大前提而正方形是矩形，小前提所以正方形的對角線相等. 結論(3) 因為三角函數是周期函數，大前提而ycos x(xr) 是三角函數，小前提所以ycos x(xr) 是周期函數 . 結論我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學業分層測評( 四) ( 建議用時： 45 分鐘 ) 學業達標 一、選擇題1. (2016保定高二檢測)下面幾種推理中是演繹推理的為( ) a.由金、銀、銅、鐵可導電，猜想：金屬都可導電b.猜想數列112，123，134，的通項公式為an1n（n1）(nn) c.

16、半徑為r的圓的面積sr2，則單位圓的面積sd.由平面直角坐標系中圓的方程為(xa)2(yb)2r2，推測空間直角坐標系中球的方程為 (xa)2 (yb)2 (zc)2r2【解析】a，b為歸納推理，d為類比推理， c為演繹推理 . 【答案】c 2. 已知abc中，a30，b 60，求證：ab. 證明：a30，b60，ab，ab，畫線部分是演繹推理的( ) a.大前提b.小前提c.結論d.三段論【解析】結合三段論的特征可知，該證明過程省略了大前提“在同一個三角形中大角對大邊”，因此畫線部分是演繹推理的小前提. 【答案】b 3. “因為對數函數ylogax是增函數 ( 大前提 ) ，而ylog13x

17、是對數函數 ( 小前提 ) ，所以ylog13x是增函數 ( 結論). ”上面推理錯誤的是( ) a.大前提錯導致結論錯b.小前提錯導致結論錯c.推理形式錯導致結論錯d.大前提和小前提都錯導致結論錯【解析】大前提ylogax是增函數錯誤，當0a1 時，函數ylogax是減函數 . 【答案】a 4. 在abc中，e，f分別為ab，ac的中點，則有efbc，這個問題的大前提為( ) 【導學號： 37820014】a.三角形的中位線平行于第三邊b.三角形的中位線等于第三邊的一半c.ef為中位線d.efcb【解析】三段論中的大前提是指一個已知的一般性結論，本題中指： 三角形的中位線平行于第三邊，故選a

18、. 【答案】a 5. 定義運算“ ?”為：a?baba2b2，若 1?m3，則m的取值范圍是 ( ) a.( 2，1) b.( 1，2) c.( 2， 1) d.(1 ，2) 【解析】依題意， 1?m3，即m1m23，整理得m2m20，解得 2mbc，cd是ab邊上的高，求證：acdbcd”.圖 2-1-12證明：在abc中，因為cdab，acbc，所以adbd，于是acdbcd. 則在上面證明的過程中錯誤的是_( 填序號 ). 【解析】由adbd，得到acdbcd的推理的大前提應是“在同一三角形中，大邊對大角”，小前提是“adbd”，而ad與bd不在同一三角形中，故錯誤. 【答案】三、解答題

19、9. 用三段論證明通項公式為ancqn(c，q為常數，且cq0)的數列 an是等比數列 . 【證明】設an1，an是數列中任意相鄰兩項，則從第二項起，后項與前項的比是同一個常數的數列叫等比數列，( 大前提 ) 因為an1ancqn1cqnq(常數 ) ，( 小前提 ) 所以 an是等比數列 .( 結論 ) 10. 已知a0 且函數f(x) 2xaa2x是 r上的偶函數，求a的值 . 【解】由于f(x) 是偶函數，所以f( x) f(x)對xr恒成立，即2xaa2x2xaa2x，所以1a2xa2x2xaa2x，整理得a1a(2x2x) 0，必有a1a 0. 又因為a0，所以a1. 能力提升 1.

20、 (2016海淀區模擬) 下面是一段“三段論”推理過程：若函數f(x) 在(a，b)內可導且單調遞增， 則在 (a，b)內，f(x)0 恒成立 . 因為f(x) x3在 ( 1，1) 內可導且單調遞增，所以在 ( 1，1) 內，f(x) 3x20 恒成立 . 以上推理中 ( ) a.大前提錯誤b.小前提錯誤c.結論正確d.推理形式錯誤【解析】f(x) 在(a，b)內可導且單調遞增，則在(a，b) 內，f(x) 0 恒成立，故大前提錯誤，選a. 【答案】a 2. 設是 r內的一個運算，a是 r的非空子集 . 若對于任意a，ba，有aba，則稱a對運算封閉. 下列數集對加法、減法、乘法和除法( 除數不等于零) 四則運算都封閉的是(