1、淺談行列式計算的幾種技巧 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)06-1班 姓名：麥水清 指導(dǎo)老師：李春香 摘要:任何一個n階行列式都可以由它的定義去計算其值。但由定義可知，n 階行列式的展開式有n!項，計算量很大，一般情況卜不用此法，但如果行列式 中有許多零元素，可考慮此法。其實，計算行列式并無固定的方法，同一個行列 式可以有多種不同的方法進行計算.因此，除了掌握好行列式的基本性質(zhì)外，針 對行列式的結(jié)構(gòu)特點，選取恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ拍茌^快地解出其值。木文用（1）化 三角形法，（2）降階法，（3）升階（加邊）法，（4）分項（拆開）找遞推公式， （5）利用公式det （ab） =det （a）det （b）計算行列式的值

2、,（6）利用公式det （i/t+/lb）=det（i/h+ba）計算行列式的值，（7）利用方陣特征值與行列式的關(guān) 系七種方法來計算行列式，計算其值。 關(guān)鍵詞：行列式、元素、降升階、遞推公式 引言： 關(guān)于行列式計算的問題，本文用（1）化三角形法，（2）降階法，（3）升階 （加 邊） 法，（4）分項 （拆開） 找遞推公式,（5）利用公式det （ab） =det （a） det （b）計 算行列式的值,（6）利用公式det （打干人）二det仃w+ba）計算行列式的值, （7）利用方陣特征值與行列式的關(guān)系七種方法來計算行列式。 降階法、升階法、分項遞推法、公式法等其它方法來變換行列式，再通過我

3、們熟悉的上三角形或下三角形計算其值。 下面介紹行列式計算的一些技巧 （1）化三角形法 化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接嬎愕?一種方法。 這是計算行列式的基本方法重要方法之一。 因為利用行列式的定義容 易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計算。 例1:計算行列式 1 2 3 通過觀察，從第1列開始，每一列與它一列屮有葉1個數(shù)是差1的，根據(jù)行 列式的性質(zhì)，先從第n-1列開始乘以一1加到第n列, nt列，一直到第一列乘以一1加到第2列。 解： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1-h (i = 2,加 1 0 0

4、0 -n 3 1 1 1-/1 1 2 0 0 -n 0 件=4 n -n 1 1 1 n- -n 0 0 0 1 - n 0 0 0 0 0 0 -n 1 0 0 -n 2 0 0 0 0 -n 0 -n 1 n(n +1) n 2 0 -n 0 0 n-2 0 0 0 -n 0 0 0 n- -yi 0 0 (i = 2,/?) 1 - 斤 + _ q n n n-2 77-1 第n-2列乘以一1加到第 (-曠(-1) n 2 （2）降階法 某行（列）的k倍加到另一行（列）上去。 看行和（列和），如行和相等，則均可加到某列上去，然后提出一數(shù)。 (一 1)( 一 2) 7 a、利用行（列）初

5、等變換。1）交換兩行 2）某行（列）乘以k倍; b、 c、 逐行相減（加） d、 找遞推公式，注意對稱性。 這里的第一個n-l階行列式與”有相同的形式，把它記作第二個口-1階 行列式等于（t） j 所以廣 這個式子對于任何nq 2）都成立，因此有 a”二x a”+an=x（xa zi_2 +a心）+ j =x2 a _2 +a心x+a” 二x +a 2 x j + +a n x+a ” 但 a| 二 x + a=x+a |,所以 a “二x +axt+a zi 把行列式的計算歸結(jié)為形式相同而階數(shù)較低的行列式的計算，是一個常用的方 法。我們再用這個方法來計算一個常要用到的行列式。 dn 二 a2

6、，l 解：由最后一行開始，每一行減去它的相鄰的前一行乘以o,得 x -1 0 0 0 x -1 0 an = 0 0 x 0 0 0 0 x a i 心a2 解：按第一列展開， 得 x -1 0 0 0 0 x -1 0 0 am = x 0 0 0 x -1 an- an-2 %3 cl o x + a -1 0 0 0 x 1 0 0 （t）% 0 x 0 0 0 0 x 例3： 計算一個n階范德蒙德 (vandermonde)彳亍列式 a a2 an a22 e、laplace 展開。 例2：利用降階法計算n階行列式 e、laplace 展開。 例2：利用降階法計算n階行列式 0 0 0

7、 若在一個n階行列式中，第i行（或第j列）的元素除叫外都是零，那么這個 行列式等于叫與它的代數(shù)余子式鶴的乘積，所以 色q q an a 色(色q)色他q)an(an &（色一q） &（色一q）q嚴廠匕 提出每一列的公因子后，得 最后的因子是一個葉1階的范德蒙德行列式，我們用代表它: dn=(5 一 5)i jl 4i j (6)利用公式 det (lw+ ab)二 det (i wi + ba) 引理：設(shè)a為 nxm 型矩陣，b為 mxn 型矩陣，i”，i”,分別表示n階，m階單位 矩陣，則有 det (in +ab)=det(iw=fba)；且?guī)坠?時，有 det in+ab

8、) = 2 det(zi/n+ba) 例9：計算如下行列式的值 q +b s an q a+h an dn = (h an q an +h 04 3 % 3打 3d 3 a2 36f22 3a 3 a3 3如2 3冬 3 a4 3tz4 1 1 1 d a2 a. 2 2 a a2 3 3 % cl 2 3 b2 b； 1 b、 bf b3 b； b； b4 b： 1 x b； bj 2 3 2 3 。4 n +b a2 5 an 5 +b % an 解:令矩陣a二 a a2 a3 +b dr (1 5 an an 為例。 .btw的n個特征值為b,b,bo a“的n個特征值為 %,0, 0,

9、，0o /=1 系知：d”二二b“（勺+b） /=1 注肌的特征值也可由特征值的定義得到。 故的特征值為13, 3, 3, 3,由矩陣特征值與對應(yīng)行列式的關(guān)系知: cln 3 二嘰+人 an) % ci2 cl | d 2 d a2 1 2 3 4、 15 3 4 12 3 4 仏二 12 6 4 二 314 + 12 3 4 1 2 3 7丿 12 3 4, =3i4+a .314的4個特征值為3, 3, 3, 3. a2 故m”的特征值為b+ %,b,. 由矩陣特征值與對應(yīng)行列式的關(guān) 例11：求行列式d4二 的值。 a。的4個特征值為10, 0, 0, 0. d4=|p4|=33 (10+3)=351 綜上所述，針對行列式結(jié)構(gòu)特點而采用與之相適應(yīng)的計算技巧，從而總結(jié)出 了多種類型題目所適用的計算方法，因此，對于計算行列式的方法，我們首先要熟練掌握并懂得如何選擇、 運用， 不管是哪一種行列式的計算， 選取恰當(dāng)?shù)姆椒? 才能較快地解出其值。 參考文獻; 4、李永斥硏究生入學(xué)考試線性代數(shù)北京大學(xué)