1、（2011 年）第 1 頁（共 14 頁） （2011 年）2011 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）理科數(shù)學(xué)第卷（共 60 分）一、選擇題：本大題共l0 小題每小題5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是滿足題目要求的1設(shè)集合m =x|260 xx，n =x|1 x3,則 mn = a1,2）b1,2 c2,3 d2,3 2復(fù)數(shù) z=22ii（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限為a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3若點（ a,9）在函數(shù)3xy的圖象上，則tan=6a的值為a0 b33c1 d34不等式|5|3|10 xx的解集是a-5，7 b-4， 6 c

2、, 57,d, 46,5對于函數(shù)( ),yf xxr, “|( )|yf x的圖象關(guān)于y 軸對稱 ” 是“y=( )f x是奇函數(shù) ” 的a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充要條件d既不充分也不必要6若函數(shù)( )sinf xx( 0) 在區(qū)間0,3上單調(diào)遞增，在區(qū)間,32上單調(diào)遞減，則=a3 b2 c32d237某產(chǎn)品的廣告費用x 與銷售額y 的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表廣告費用x（萬元）4 2 3 5 銷售額 y（萬元）49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程?ybxa中的?b為 94，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6 萬元時銷售額為a63 6 萬元b655 萬元c677 萬元d720 萬元8 已知雙曲

3、線22221(0b0)xyaab ， 的兩條漸近線均和圓c:22650 xyx相切 ,且雙曲（2011 年）第 2 頁（共 14 頁） （2011 年）線的右焦點為圓c的圓心 ,則該雙曲線的方程為a22154xyb22145xyc22136xyd22163xy9函數(shù)2sin2xyx的圖象大致是10已知( )f x是r上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)02x時 ,3( )f xxx,則函數(shù)( )yf x的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點的個數(shù)為a6 b7 c8 d9 11右圖是長和寬分別相等的兩個矩形給定下列三個命題：存在三棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如下圖；存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖

4、； 存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖其中真命題的個數(shù)是a3 b2 c1 d0 12設(shè)1a，2a，3a，4a是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若1312a aa a（ r） ，1 41 2aaaa（ r） ，且112,則稱3a，4a調(diào)和分割1a，2a,已知平面上的點c，d調(diào)和分割點a，b則下面說法正確的是ac可能是線段ab 的中點bd 可能是線段ab 的中點cc，d 可能同時在線段ab 上dc，d 不可能同時在線段ab的延長線上第 ii 卷（共 90 分）二、填空題：本大題共4 小題，每小題4 分，共 16 分13執(zhí)行右圖所示的程序框圖，輸入l=2，m=3，n=5，則輸出的y 的值是14若

5、62()axx展開式的常數(shù)項為60，則常數(shù)a的值為. （2011 年）第 3 頁（共 14 頁） （2011 年）15設(shè)函數(shù)( )(0)2xfxxx,觀察 : 1( )( ),2xfxf xx21( )( ),34xfxffxx32( )( ),78xfxffxx43( )( ),1516xfxffxx根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)nn且2n時，1( )( )nnfxffx. 16已知函數(shù)fx（ ）=log(0a1).axxb a ，且當(dāng)2a3 b4 時，函數(shù)fx（ ）的零點*0( ,1),n=xn nnn則. 三、解答題：本大題共6 小題，共74 分17 （本小題滿分12 分）在abc中，

6、內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c已知cosa-2cos c2c-a=cosbb（i）求sinsinca的值；（ii）若 cosb=14，b=2，abc的面積 s 。18 （本小題滿分12 分）紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員a、b、c 進行圍棋比賽，甲對a，乙對 b，丙對 c 各一盤，已知甲勝a，乙勝 b，丙勝 c的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立。（ ）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；（ ）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望e. （2011 年）第 4 頁（共 14 頁） （2011 年）19 （本小題滿分12 分）在如圖所示的幾何體中，四邊形abcd為

7、平行四邊形， acb=90，平面，ef ， . = . （ ）若是線段的中點，求證：平面 ; （ ）若= ,求二面角 - -的大小20 （本小題滿分12 分）等比數(shù)列na中，123,a a a分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且123,a aa中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3 2 10 第二行6 4 14 第三行9 8 18 （）求數(shù)列na的通項公式；（）若數(shù)列nb滿足：( 1)lnnnnbaa，求數(shù)列nb的前n項和ns（2011 年）第 5 頁（共 14 頁） （2011 年）21 （本小題滿分12 分）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容

8、器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為803立方米，且2lr假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費用為3 千元，半球形部分每平方米建造費用為(3)c c千元，設(shè)該容器的建造費用為y千元（）寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；（）求該容器的建造費用最小時的r22 （本小題滿分14 分）已知動直線l與橢圓 c: 22132xy交于 p11,x y、q22,xy兩不同點，且 opq的面積opqs=62,其中 o 為坐標(biāo)原點 . （ ）證明2212xx和2212yy均為定值 ; （ ）設(shè)線段pq的中點為m，求| |ompq的最大值；（ ）橢圓

9、 c上是否存在點d,e,g，使得62odeodgoegsss?若存在，判斷 deg的形狀；若不存在，請說明理由. （2011 年）第 6 頁（共 14 頁） （2011 年）參考答案一、選擇題112 adddbcbacbad 二、填空題1368 144 15(21)2nnxx162 三、解答題17解：（i）由正弦定理，設(shè),sinsinsinabckabc則22 sinsin2sinsin,sinsincakckacabkbb所以cos2cos2sinsin.cossinaccabb即(cos2cos)sin(2sinsin)cosacbcab，化簡可得sin()2sin().abbc又abc，

10、所以sin2sinca因此sin2.sinca（ii）由sin2sinca得2 .ca由余弦定理22222212coscos,2,4144.4bacacbbbaa及得4=a解得 a=1。因此 c=2 又因為1cos,.4bgb且所以15sin.4b因此111515sin1 2.2244sacb（2011 年）第 7 頁（共 14 頁） （2011 年）18解： （i）設(shè)甲勝a的事件為d，乙勝 b的事件為e，丙勝 c的事件為f，則,d e f分別表示甲不勝a、乙不勝b，丙不勝c的事件。因為()0.6,()0.5,()0.5,p dp ep f由對立事件的概率公式知()0.4, ( )0.5, (

11、)0.5,p dp ep f紅隊至少兩人獲勝的事件有：,.def def def def由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為()()()()0.6 0.5 0.50.6 0.5 0.50.4 0.5 0.50.6 0.5 0.50.55.pp defp defp defp def（ii）由題意知可能的取值為0，1，2，3。又由（ i）知,def def def是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此(0)()0.40.5 0.50.1,pp def(1)()()()pp defp defp def0.40.50.50.40.50.50.60.50

12、.50.35(3)()0.60.50.50.15.pp def由對立事件的概率公式得(2)1(0)(1)(3)0.4,pppp所以的分布列為：0 1 2 3 p 01 035 04 0 15 因此00.11 0.3520.43 0.151.6.e（2011 年）第 8 頁（共 14 頁） （2011 年）19 （i）證法一：因為 ef/ab，fg/bc，eg/ac，90acb，所以90 ,egfabc.efg由于 ab=2ef ，因此， bc=2fc ，連接 af，由于 fg/bc，1,2fgbc在abcd中， m 是線段 ad 的中點，則 am/bc ，且1,2ambc因此 fg/am 且

13、fg=am，所以四邊形afgm 為平行四邊形，因此 gm/fa 。又fa平面 abfe ，gm平面 abfe ，所以 gm/ 平面 ab。證法二：因為 ef/ab，fg/bc，eg/ac，90acb，所以90 ,egfabc.efg由于 ab=2ef ，因此， bc=2fc ，取 bc的中點 n，連接 gn，因此四邊形bngf為平行四邊形，所以 gn/fb，在abcd中， m 是線段 ad 的中點，連接mn，則 mn/ab ，因為,mngnn所以平面gmn/ 平面 abfe 。又gm平面 gmn，所以 gm/ 平面 abfe 。（ii）解法一：因為90 ,acb所以cad=90，又ea平面 a

14、bcd，所以 ac， ad，ae兩兩垂直，分別以 ac，ad，ae所在直線為x 軸、 y 軸和 z 軸，建立如圖所法的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)22,acbcae則由題意得a （0，0，0， ） ，b （ 2，-2，0） ，c （2，0，0， ） ，e（0， 0，1） ，所以(2, 2,0),(0,2,0),abbc（2011 年）第 9 頁（共 14 頁） （2011 年）又1,2efab所以(1, 1,1),( 1,1,1).fbf設(shè)平面 bfc的法向量為111(,),mx y z則0,0,m bcm bf所以1110,yxz取1111,zx得所以(1,0,1),m設(shè)平面 abf的法向量為22

15、2(,)nxyz，則0,0,n abn bf所以22222,1,1,0,xyyxz取得則(1,1,0)n，所以1cos,.| |2m nm nmn因此二面角abfc 的大小為60 .解法二：由題意知，平面abfe平面 abcd ，取 ab 的中點 h，連接 ch，因為 ac=bc ，所以chab，則ch平面 abfe ，過 h 向 bf引垂線交bf于 r，連接 cr ，則.crbf所以hrc為二面角a bfc的平面角。由題意，不妨設(shè)ac=bc=2ae=2 。在直角梯形abfe中，連接fh，則fhab，又2 2,ab所以1,2,hfaebh因此在rt bhf中，6.3hr（2011 年）第 10

16、 頁（共 14 頁） （2011 年）由于12,2chab所以在rt chr中，2tan3,63hrc因此二面角abfc 的大小為60 .20解： （i）當(dāng)13a時，不合題意；當(dāng)12a時，當(dāng)且僅當(dāng)236,18aa時，符合題意；當(dāng)110a時，不合題意。因此1232,6,18,aaa所以公式q=3，故12 3.nna（ii）因為( 1) lnnnnnbaa11112 3( 1) (2 3)2 3( 1) ln 2(1)ln 32 3( 1) (ln 2ln 3)( 1)ln 3,nnnnnnnnnn所以21222(1 33) 1 1 1( 1) (ln 2ln3) 125( 1)ln3,nnnns

17、n所以當(dāng) n 為偶數(shù)時，132ln 3132nnns3ln 31;2nn當(dāng) n 為奇數(shù)時，1312(ln 2ln 3)()ln 3132nnnsn13ln 3ln 21.2nn綜上所述，3ln 31,212nnnnnsn為偶數(shù)3 -ln3-ln2-1,n為奇數(shù)（2011 年）第 11 頁（共 14 頁） （2011 年）21解： （i）設(shè)容器的容積為v，由題意知23480,33vr lrv又故322248044 203()333vrlrrrrr由于2lr因此02.r所以建造費用2224 202342()34,3yrlr crrr cr因此21604 (2),02.ycrrr（ii）由（ i）得

18、3221608 (2)208 (2)(),02.2cycrrrrrc由于3,20,cc所以當(dāng)3320200,.22rrcc時令320,2mc則0m所以2228 (2)()().cyrm rrmmr（1）當(dāng)9022mc即時，當(dāng)r=m時,y=0;當(dāng)r(0,m) 時,y0.所以rm是函數(shù) y 的極小值點，也是最小值點。（2）當(dāng)2m即932c時，當(dāng)(0,2),0,ry時函數(shù)單調(diào)遞減，所以 r=2 是函數(shù) y 的最小值點，綜上所述，當(dāng)932c時，建造費用最小時2;r當(dāng)92c時，建造費用最小時320.2rc22 （i）解：（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時，p，q 兩點關(guān)于x 軸對稱，所以2121,.xx yy

19、（2011 年）第 12 頁（共 14 頁） （2011 年）因為11(,)p x y在橢圓上，因此2211132xy又因為6,2opqs所以116| |.2xy由、得116|,| 1.2xy此時222212123,2,xxyy（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為,ykxm由題意知m0，將其代入22132xy，得222(23)63(2)0kxkmxm，其中22223612(23)(2)0,k mkm即2232km（ * ）又212122263(2),2323kmmxxx xkk所以22222121222 6 32|1()41,23kmpqkxxx xkk因為點 o 到直線l的距離為2|

20、1,mdk所以1|2opqspqd2222212 6 32|12231kmmkkk2226 |3223mkmk（2011 年）第 13 頁（共 14 頁） （2011 年）又6,2opqs整理得22322,km且符合（ * ）式，此時222221212122263(2)()2()23,2323kmmxxxxx xkk222222121212222(3)(3)4()2.333yyxxxx綜上所述，222212123;2,xxyy結(jié)論成立。（ii）解法一：（1）當(dāng)直線l的斜率存在時，由（ i）知116| |,| 2 | 2,2omxpqy因此6| |26.2ompq（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，由（i）知123,22xxkm222121222222121222222222222