1、第六節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)一、問題的提出二、主要定理三、典型例題四、小結(jié)與思考2一、問題的提出一、問題的提出問題問題: :(1) 解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)? (2) 若有高階導(dǎo)數(shù)若有高階導(dǎo)數(shù), 其定義和求法是否與實(shí)變函其定義和求法是否與實(shí)變函數(shù)相同數(shù)相同?回答回答: :(1) 解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù). (2) 高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示過積分來表示, 這與實(shí)變函數(shù)完全不同這與實(shí)變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?3二、主要定理二、主要定理定理定理. , )( ), 2 ,

2、 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的內(nèi)部全含于而且它的內(nèi)部全含于線線任何一條正向簡單閉曲任何一條正向簡單閉曲的的內(nèi)圍繞內(nèi)圍繞的解析區(qū)域的解析區(qū)域?yàn)樵诤瘮?shù)為在函數(shù)其中其中導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為階階它的它的的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)解析函數(shù)解析函數(shù) 證證 , 0內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)為為設(shè)設(shè)Dz , 1 的情況的情況先證先證 n4根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,zzfzzfzfz )()(lim)(0000從柯西積分公式得從柯西積分公式得,d)(21)(00 Czzzzfizf,d)(21)(00 Czzzzzfizzfzzfzzf )(

3、)(00,d)(d)(2100 CCzzzzfzzzzzfzi5 Czzzzzzzfid)()(2100 CCzzzzzzzzfizzzzfid)()()(21d)()(2102020I CzzzzzzzzfId)()()(21020 Cszzzzzzfzd)(21020 , )( 上解析上解析在在因?yàn)橐驗(yàn)镃zf,上連續(xù)上連續(xù)所以在所以在 C6 , )( 上有界上有界在在故故Czf,)( , 0 MzfM 使得使得于是于是D 0zC , 0上各點(diǎn)的最短距離上各點(diǎn)的最短距離到曲線到曲線為從為從設(shè)設(shè)Czdd , 適當(dāng)?shù)匦∵m當(dāng)?shù)匦〔⑷〔⑷ , 21 dz 滿足滿足 , 0dzz 則則 , 110d

4、zz 00zzzzzz ,2d ,210dzzz ,3dMLzI 7,3dMLzI . 的長度的長度為為這里這里CL , 0 z如果如果, 0 I那末那末zzfzzfzfz )()(lim)(0000,d)()(2120 Czzzzfi再利用以上方法求極限再利用以上方法求極限zzfzzfz )()(lim000.d)()(2! 2)( 300 Czzzzfizf可得可得8至此我們證明了一個解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解至此我們證明了一個解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)析函數(shù).依次類推依次類推, 利用數(shù)學(xué)歸納法可證利用數(shù)學(xué)歸納法可證.d)()(2!)(100)( Cnnzzzzfinzf證畢證畢高階導(dǎo)數(shù)公式

5、的作用高階導(dǎo)數(shù)公式的作用: 不在于通過積分來求導(dǎo)不在于通過積分來求導(dǎo), , 而在于通過求導(dǎo)而在于通過求導(dǎo)來求積分來求積分. .9三、典型例題三、典型例題例例1 1解解 CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225為正向圓周為正向圓周其中其中計算下列積分計算下列積分 , 1 )1(cos )1(5處不解析處不解析內(nèi)內(nèi)在在函數(shù)函數(shù) zCzz , cos 內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根據(jù)公式根據(jù)公式10 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i , )1( )2(22處

6、不解析處不解析內(nèi)的內(nèi)的在在函數(shù)函數(shù)izCzez 1C2Cxyo iCi , 1CiC為中心作一個正向圓周為中心作一個正向圓周內(nèi)以內(nèi)以在在 , 2Ci為中心作一個正向圓周為中心作一個正向圓周以以 , , )1( 2122圍成的區(qū)域內(nèi)解析圍成的區(qū)域內(nèi)解析在由在由則函數(shù)則函數(shù)CCCzez 111C2Cxyo iCi 根據(jù)復(fù)合閉路定理根據(jù)復(fù)合閉路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1( iei121C2Cxyo iCi 2d)1( 22Czzze同理可得同理可得

7、,2)1( iei Czzzed)1( 22于是于是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i13例例3 3解解) (.d 1為整數(shù)為整數(shù)求積分求積分nzzeznz , 0)1( n , 1 上解析上解析在在 zzenz由柯西古薩基本定理得由柯西古薩基本定理得 1; 0dznzzze, 1)2( n由柯西積分公式得由柯西積分公式得 1dznzzze0)(2 zzei;2 i 14, 1)3( n Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根據(jù)公式根據(jù)公式 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(

8、2 ni15例例4 4解解. 31)2(; 23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其中其中求積分求積分 , 0 2 )2(1 32 zzzz和和有兩個奇點(diǎn)有兩個奇點(diǎn)函數(shù)函數(shù), 23)1( z 2, z僅包含奇點(diǎn)僅包含奇點(diǎn),1)( 3zzf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231! 12 zzi;83 i 1631)2( z , 0 2 內(nèi)內(nèi)都含在都含在和和兩個奇點(diǎn)兩個奇點(diǎn)Czz 2, 0 21和和分別包含分別包含和和作簡單閉曲線作簡單閉曲線CC , 21互不包含且互不相交互不包含且互不相交和和CC根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式, C

9、zzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz17 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021! 12)2(1 ! 22 zzzizi8383ii . 0 18例例5 5. )( , 0d)( , )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在證明證明都有都有內(nèi)任何一條簡單閉曲線內(nèi)任何一條簡單閉曲線且對于且對于內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在單連通域在單連通域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)BzfzzfCBBzfC (Morera定理定理)證證 , , 0內(nèi)任意一點(diǎn)內(nèi)任意一點(diǎn)為為內(nèi)取定一點(diǎn)內(nèi)取定一點(diǎn)在在BzzB依題意可知依題意可知 , d)(00的路線無關(guān)的路線無關(guān)和和的值與連接的值與連接zzfzz , d)

10、()( 0 zzfzF 定義了一個單值函數(shù)定義了一個單值函數(shù)19參照本章第四節(jié)定理二參照本章第四節(jié)定理二, 可證明可證明),()(zfzF , )( 內(nèi)一個解析函數(shù)內(nèi)一個解析函數(shù)是是所以所以BzF因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù), . )( 為解析函數(shù)為解析函數(shù)故故zf20四、小結(jié)與思考四、小結(jié)與思考 高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式. 它表明它表明了了解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重這一異常重要的結(jié)論要的結(jié)論, 同時表明了解析函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的本同時表明了解析函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別質(zhì)區(qū)別. Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式21例例6 6證證), 2 , 1()!1(11)!1()0( ,11)( )( 1 )( nnennfzzfzfznn證明證明解析且解析且內(nèi)內(nèi)如果如果, 10d)(2!)0( 1)( rzzzfinfrznn因?yàn)橐驗(yàn)?rznnzzzfnfd)(2!)0( 1)(所以所以 rznzzznd)1(12!1,)1(!nrrn ,1 nnr取取不等式即證不等式即證.22思考題思考題 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式說明解析函數(shù)的導(dǎo)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式說明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何不同數(shù)與實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何不同?23思考題答案思考