1、圖3gfbcadle動態問題所謂“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目 .解決這類問題的關鍵是動中求靜,靈活運用有關數學知識解決問題. 關鍵 :動中求靜 . 數學思想：分類思想數形結合思想轉化思想一、單動點問題小菜一碟：如圖2，正方形abcd 的邊長為4，點 m 在邊 dc 上，且 dm=1 ， n 為對角線ac 上任意一點，則dn+mn的最小值為例（ 10 年房山二模壓軸）25. （1）如圖 1，已知矩形abcd 中，點 e 是 bc 上的一動點，過點e作 efbd 于點 f， egac 于點 g，ch bd 于點 h，試證明 ch=ef

2、+eg; (2) 若點 e 在的延長線上，如圖 2，過點 e 作 efbd 于點 f，egac 的延長線于點g，chbd于點 h， 則 ef、 eg、 h 三者之間具有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；(3) 如圖 3， bd 是正方形 abcd 的對角線 ,l 在 bd 上， 且 bl=bc, 連結 cl， 點 e是 cl 上任一點 , efbd于點 f，eg bc 于點 g，猜想 ef、eg、 bd 之間具有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；(4) 觀察圖 1、圖 2、圖 3的特性，請你根據這一特性構造一個圖形，使它仍然具有ef、eg、 h 這樣的線段，并滿足（1）或（ 2）的結論，寫出相

3、關題設的條件和結論. 圖2圖1gfhdhgfdabbacece1.(2009 臨沂 25)數學課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形abcd 是正方形，點e 是邊 bc 的中點90aefo，且 ef 交正方形外角dcg的平行線cf 于點 f，求證： ae=ef 經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取ab 的中點m ，連接me ，則am=ec ，易證ameecf，所以aeef在此基礎上，同學們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點e 是邊 bc 的中點”改為“點e 是邊 bc 上（除 b，c 外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“ae=ef ”仍然成立，你認為小穎的觀點正確

4、嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；（2） 小華提出： 如圖 3， 點 e 是 bc 的延長線上（除 c 點外）的任意一點， 其他條件不變， 結論 “ae=ef ”仍然成立你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由解： （1）正確證明：在ab上取一點m，使amec，連接mebmbe45bme ，135ame cfq是外角平分線，45dcf ，135ecf ameecf90aebbaeq ，90aebcef ，baecefamebcf（asa ） aeef（2）正確證明：在ba的延長線上取一點n使ance，連接nebnbe45npce q四邊形abcd

5、是正方形，adbedaebeanaecefaneecf（asa） aeef2.（2009 年江西中考題25）如圖 1，在等腰梯形abcd 中，ad/bc，e 是 ab 的中點，過點e 作 ef/bc交 cd 于點 f，ab4，bc6， b 60（ 1）求點 e 到 bc 的距離；（ 2）點 p 為線段 ef 上的一個動點，過點p 作 pmef 交 bc 于 m，過 m 作 mn/ab 交折線 adc于 n，連結 pn，設 epx當點 n 在線段 ad 上時（如圖2） ， pmn 的形狀是否發生改變？若不變，求出pmn 的周長；若改變，請說明理由；當點n 在線段 dc 上時（如圖3） ，是否存在

6、點p，使 pmn 為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足條件的x 的值；若不存在，請說明理由圖 1 圖 2 圖 3 a d f c g e b 圖 1 a d f c g e b 圖 3 a d f c g e b 圖 2 a d f c g e b m a d f c g e b n 思路點撥1先解讀這個題目的背景圖，等腰梯形abcd 的中位線ef4，這是x 的變化范圍平行線間的距離處處相等，ad 與 ef、ef 與 bc 間的距離相等2當點 n 在線段 ad 上時， pmn 中 pm 和 mn 的長保持不變是顯然的，求證 pn 的長是關鍵 圖形中包含了許多的對邊平行且相等，理順線條的關系很重

7、要3分三種情況討論等腰三角形pmn，三種情況各具特殊性，靈活運用幾何性質解題滿分解答（ 1）如圖 4，過點 e 作 egbc 于 g在 rtbeg 中，221abbe， b60，所以160cosbebg，360sinbeeg所以點 e 到 bc 的距離為3（ 2）因為 ad/ef/bc，e 是 ab 的中點，所以f 是 dc 的中點因此 ef 是梯形 abcd 的中位線， ef4如圖 4，當點 n 在線段 ad 上時， pmn 的形狀不是否發生改變過點 n 作 nhef 于 h，設 ph 與 nm 交于點 q在矩形 egmp 中， ep gmx，pmeg3在平行四邊形bmqe 中， bmeq1

8、 x所以 bgpq1因為 pm 與 nh 平行且相等，所以ph 與 nm 互相平分， ph2pq2在 rtpnh 中， nh3，ph 2，所以 pn7在平行四邊形abmn 中， mnab4因此 pmn 的周長為37 4圖 4 圖 5 當點 n 在線段 dc 上時， cmn 恒為等邊三角形如圖 5，當 pmpn 時， pmc 與 pnc 關于直線pc 對稱，點p 在 dcb 的平分線上在 rtpcm 中， pm3， pcm30，所以mc3此時 m、p 分別為 bc、ef 的中點， x2如圖 6，當 mpmn 時， mpmnmc3，x gm gcmc53如圖 7，當 npnm 時， nmp npm

9、 30，所以 pnm 120又因為 fnm 120，所以p 與 f 重合此時 x4綜上所述，當x2 或 4 或 53時， pmn 為等腰三角形圖 6 圖 7 圖 8 考點伸展第（ 2）題求等腰三角形pmn 可以這樣解：如圖 8，以 b 為原點，直線bc 為 x 軸建立坐標系，設點m 的坐標為（ m，0） ，那么點p 的坐標為（m，3） ，mnmc6m，點 n 的坐標為（26m，2)6(3m） 由兩點間的距離公式，得21922mmpn當 pmpn 時，92192mm，解得3m或6m此時2x當 mpmn 時，36m，解得36m，此時35x當 np nm 時，22)6(219mmm，解得5m，此時4

10、x二、雙動點問題例：如圖 1，梯形 abcd 中， ad bc， b=90， ab=14cm,ad=18cm,bc=21cm,點 p從 a 開始沿 ad 邊以 1cm/秒的速度移動，點q 從 c 開始沿 cb 向點 b 以 2 cm/秒的速度移動，如果p，q 分別從 a，c 同時出發，設移動時間為t 秒。當 t= 時，四邊形是平行四邊形；6 當 t= 時，四邊形是等腰梯形. 8 1、 （ 2012 貴州遵義12 分）如圖， abc 是邊長為6 的等邊三角形，p是 ac邊上一動點，由a向 c運動（與 a 、c不重合）， q是 cb延長線上一點，與點p同時以相同的速度由b向 cb延長線方向運動（q

11、不與 b重合） ，過 p作 pe ab于 e，連接 pq交 ab于 d（1）當 bqd=30 時，求ap的長；（2）當運動過程中線段ed的長是否發生變化？如果不變，求出線段ed的長；如果變化請說明理由2、如圖，已知abc中，10abac厘米，8bc厘米，點d為ab的中點(1）如果點 p 在線段 bc 上以 3cm/s 的速度由b 點向 c 點運動， 同時， 點 q 在線段 ca 上由 c 點向 a 點運動若點 q 的運動速度與點p的運動速度相等，經過1 秒后，bpd與cqp是否全等，請說明理由；若點 q 的運動速度與點p的運動速度不相等， 當點 q 的運動速度為多少時， 能夠使bpd與cqp全

12、等？（2） 若點 q 以中的運動速度從點c 出發，點 p以原來的運動速度從點b 同時出發，都逆時針沿abc三邊運動，求經過多長時間點p與點 q 第一次在abc的哪條邊上相遇？解： （1）1t秒， 3 13bpcq厘米，10ab厘米，點d為ab的中點，5bd厘米又8pcbcbpbc，厘米，835pc厘米，pcbd又abac， bc， bpdcqppqvv， bpcq， 又bpdcqp，bc，則45bppccqbd，點p，點q運動的時間433bpt秒，515443qcqvt厘米 /秒。a q c d b p （2）設經過x秒后點p與點q第一次相遇，由題意，得1532 104xx，解得803x秒點p

13、共運動了803803厘米8022824，點p、點q在ab邊上相遇，經過803秒點p與點q第一次在邊ab上相遇三、線動問題例：如圖，在rtabc中，9060acbb ，2bc點o是ac的中點，過點o的直線l從與ac重合的位置開始，繞點o作逆時針旋轉， 交ab邊于點d過點c作ceab交直線l于點e，設直線l的旋轉角為（1）當度時，四邊形edbc是等腰梯形，此時ad的長為；當度時，四邊形edbc是直角梯形，此時ad的長為；（2）當90時，判斷四邊形edbc是否為菱形，并說明理由解： （1） 30，1； 60，1.5；（2）當 =900時，四邊形edbc 是菱形 . =acb=900， bc/ed.

14、ce/ab, 四邊形 edbc 是平行四邊形在 rtabc 中， acb=900， b=600,bc=2, a=300.ab=4,ac=23. ao=12ac=3.在 rtaod 中， a=300， ad=2. bd=2. bd=bc. 又四邊形edbc 是平行四邊形，四邊形edbc 是菱形4、在 abc 中， acb=90，ac=bc ，直線 mn 經過點 c，且 ad mn 于 d，bemn 于 e. (1)當直線 mn 繞點 c 旋轉到圖1 的位置時，求證：adc ceb； de=ad be；(2)當直線 mn 繞點 c 旋轉到圖2 的位置時，求證：de=ad-be ；o e c b d a l o c b a （備用圖）c b a e d 圖 1n m a b c d e m n 圖 2a c b e d n m 圖 3(3)當直線 mn 繞點 c 旋轉到圖3 的位置時，試問de、ad 、 be 具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明. 解： （1） acd= acb=90 cad+ acd=90 bce+acd=90 cad= bce ac=bc adc ceb adc ceb