1、2019屆遼寧省葫蘆島市普通高中高三第二次模擬考試數學（理）試題一、單選題1已知集合，集合.若，則實數m的取值集合為（ ）abcd【答案】c【解析】將選項中的元素逐一驗證，排除錯誤選項，由此得出正確選項.【詳解】若，則，符合，排除b,d兩個選項.若，則，符合，排除a選項.故本小題選c.【點睛】本小題主要考查子集的概念，考查選擇題的解法排除法，屬于基礎題.2設i是虛數單位，若復數，則復數z的模為（ ）a1bcd【答案】d【解析】根據復數模的計算公式，計算出的模.【詳解】依題意，故選d.【點睛】本小題主要考查復數模的概念及運算，屬于基礎題.3設命題，則為（ ）a，b，c，d，【答案】d【解析】根據

2、全稱命題的否定是特稱命題的知識直接選出正確選項.【詳解】原命題是全稱命題，其否定為特稱命題，b,d選項是特稱命題，注意到要否定結論，故d選項符合.所以本小題選d.【點睛】本小題主要考查全稱命題的否定是特稱命題，屬于基礎題.4近年來.隨著計劃生育政策效果的逐步顯現以及老齡化的加劇，我國經濟發展的“人口紅利”在逐漸消退，在當前形勢下，很多二線城市開始了“搶人大戰”，自2018年起，像西安、南京等二線城市人才引進與落戶等政策放寬力度空前，至2019年發布各種人才引進與落戶等政策的城市已經有16個。某二線城市與2018年初制定人才引進與落戶新政（即放寬政策，以下簡稱新政）：碩士研究生及以上可直接落戶并

3、享有當地政府依法給與的住房補貼，本科學歷畢業生可以直接落戶，專科學歷畢業生在當地工作兩年以上可以落戶。高中及以下學歷人員在當地工作10年以上可以落戶。新政執行一年，2018年全年新增落戶人口較2017年全年增加了一倍，為了深入了解新增落戶人口結構及變化情況，相關部門統計了該市新政執行前一年（即2017年）與新政執行一年（即2018年）新增落戶人口學歷構成比例，得到如下餅圖： 則下面結論中錯誤的是（ ）a新政實施后，新增落戶人員中本科生已經超過半數b新政實施后，高中及以下學歷人員新增落戶人口減少c新政對碩士研究生及以上的新增落戶人口數量暫時未產生影響d新政對專科生在該市落實起到了積極的影響【答案

4、】b【解析】通過分析兩個餅圖中各個學歷人數的變化情況，得出正確選項.【詳解】設人數為，則年人數為，根據兩個餅圖可知：年份高中及以下專科本科碩士及以上20172018由表格可知，高中及以下的人增加了，故b選項判斷錯誤.故本小題選b.5九連環是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個圓環相連成串，以解開為勝。據明代楊慎丹鉛總錄記載：“兩環互相貫為一，得其關捩，解之為二，又合面為一”。在某種玩法中，用表示解下個圓環所需的移動最少次數，滿足，且，則解下4個環所需的最少移動次數為（ ）a7b10c12d22【答案】a【解析】根據遞推關系式，逐步求得的值.【詳解】依題意.故選a.【點睛】本小題主要考查

5、中國古代數學文化，考查遞推數列求某一項的值，屬于基礎題.6某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積（ ）abcd【答案】d【解析】根據三視圖判斷出幾何體為兩個半圓柱構成，進而計算出表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為兩個半圓柱構成，其表面積為，故選d.【點睛】本小題主要考查根據三視圖識別幾何體，考查幾何體表面積的計算，屬于基礎題.7當點到直線的距離最大時，m的值為（ ）a3b0cd1【答案】c【解析】求得直線所過的定點，當和直線垂直時，距離取得最大值，根據斜率乘積等于列方程，由此求得的值.【詳解】直線可化為，故直線過定點，當和直線垂直時，距離取得最大值，故，故選c.【點睛】本小題主要考

6、查含有參數的直線過定點的問題，考查點到直線距離的最值問題，屬于基礎題.8某次測量發現一組數據具有較強的相關性，并計算得，其中數據因書寫不清楚，只記得，是上的一個值，則該數據對應的殘差（殘差=真實值-預測值）的絕對位不大于0.5的概率為（ ）abcd【答案】c【解析】求得估計值，用真實值減去估計值求得殘差，根據已知殘差的絕對位不大于列不等式，解不等式求得的取值范圍，根據幾何概型概率計算公式計算出所求概率.【詳解】依題意可知，估計值為，殘差為，依題意得，解得，根據幾何概型概率計算公式可得所求概率為，故選c.【點睛】本小題主要考查殘差的概念及計算，考查幾何概型的計算，屬于基礎題.9函數的圖像大致是（

7、 ）abcd【答案】a【解析】根據奇偶性和函數的特殊點，對選項進行排除，由此得出正確選項.【詳解】令，則，故函數為奇函數，圖像關于軸對稱，排除c選項.由，解得且.，排除d選項.，故可排除b選項.所以本小題選a.【點睛】本小題主要考查函數圖像的識別，主要通過函數的奇偶性和函數圖像上的特殊點進行排除，屬于基礎題.10在中，角的對邊分別為，若為銳角三角形，且滿足，則等式成立的是（ ）abcd【答案】b【解析】利用同角三角函數的基本關系式、二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡已知條件，再用正弦定理進行轉化，由此得出正確選項.【詳解】依題意得,，即，由正弦定理得，故選b.【點睛】本小題主要考查同角三角函數的

8、基本關系式、二倍角公式和兩角和的正弦公式，考查三角形內角和定理以及正弦定理邊角互化，屬于基礎題.11已知拋物線的焦點為f，過點f分別作兩條直線，直線與拋物線c交于兩點，直線與拋物線c交于點，若與直線的斜率的乘積為，則的最小值為（ ）a14b16c18d20【答案】b【解析】設出直線的斜率，得到的斜率，寫出直線的方程，聯立直線方程和拋物線方程，根據弦長公式求得的值，進而求得最小值.【詳解】拋物線的焦點坐標為，依題意可知斜率存在且不為零，設直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，有，有，故，同理可求得.故，當且僅當時，等號成立，故最小值為，故選b.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查直線

9、和拋物線相交所得弦長公式，考查利用基本不等式求最小值，屬于中檔題.12已知函數(e為自然對數的底數)，.若存在實數，使得，且，則實數a的最大值為（ ）abcd1【答案】a【解析】根據求得的值.將轉化為，根據和的圖像在有交點，求得實數的最大值.【詳解】由化簡得，由于只有一個交點，所以，故.的定義域為，由，得.由化簡得.分別畫出函數和的圖像如下圖所示，由圖可知，的最大值即直線斜率的最大值為，故選a.【點睛】本小題主要考查含有指數式的方程的解法，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查數形結合的數學思想方法，考查函數零點問題，綜合性較強，屬于中檔題.二、填空題13某籃球運動員罰籃命中率為0.75，在一次罰

10、籃訓練中連續投籃50次，x表示投進的次數，則_.【答案】【解析】根據二項分布方差計算公式計算出結果.【詳解】由于滿足二項分布，故.【點睛】本小題主要考查二項分布的識別，考查二項分布方差計算公式，屬于基礎題.14(n為正整數)的展開式中各項的二項式系數之和為128，則其展開式中含x項的系數是_.【答案】【解析】根據二項式系數之和求得，根據二項式展開式的通項公式求得含項的系數.【詳解】依題意可知，解得，展開式的通項公式為，當時，故含項的系數為.【點睛】本小題主要考查二項式系數和，考查二項式展開式的通項公式以及二項式展開式中指定項的系數的求法，屬于基礎題.15均為單位向量，且它們的夾角為，設滿足，則

11、的最小值為_.【答案】【解析】根據的幾何意義判斷在一個半徑為的圓上，根據判斷的終點在過的終點且平行于的直線上.根據圓和直線的位置關系，以及的幾何意義，求得的最小值.【詳解】由于，即，即與兩個向量終點的距離為，即的終點在以的終點為圓心，半徑為的圓上.由于，根據向量加法的平行四邊形法則可知，的終點在過的終點且平行于的直線上.畫出圖像如下圖所示.由于均為單位向量，且它們的夾角為，故圓心到直線的距離，表示兩個向量終點的距離，所以最短距離也即的最小值為.【點睛】本小題主要考查平面向量減法模的幾何意義，考查平面向量加法運算的平行四邊形法則，考查考查數形結合的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，綜合

12、性較強，屬于中檔題.三、解答題16如圖所示，正方體的棱長為1，為線段，上的動點，過點的平面截該正方體的截面記為s，則下列命題正確的是_當且時，s為等腰梯形；當分別為，的中點時，幾何體的體積為；當m為中點且時，s與的交點為r，滿足；當m為中點且時，s為五邊形；當且時，s的面積.【答案】【解析】對五個命題逐一畫出圖像，進行分析，判斷出其中的真命題，由此得出正確命題的序號.【詳解】對于，畫出圖像如下圖所示，過作，交于，截面為，由于，所以，故，所以，即截面為等腰梯形.故正確.對于，以為空間坐標原點，分別為軸，建立空間直線坐標系，則,則,.設平面的法向量為，則，令，則，故.則點到平面的距離為.而，故，故

13、命題正確.對于，延長交的延長線于，連接交于，由于，所以，故.由于，所以,故，故判斷錯誤.對于，當時，截面為三角形，故判斷錯誤.對于，延長,交的延長線于，連接,交于，則截面為四邊形.由于,所以，面積比等于相似比的平方，即，故.在三角形中，,邊上的高為,故,所以.綜上所述，本小題正確的命題有.【點睛】本小題主要考查正方體的截面有關命題的真假性判斷，考查錐體體積算，考查三角形面積的計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，綜合性較強，屬于中檔題.17已知數列是公比為的正項等比數列，是公差為負數的等差數列，滿足，.（1）求數列的公比與數列的通項公式；(2)求數列的前10項和【答案】（1）（2）【解析】（1

14、）利用等差數列的性質，求得，然后利用列方程求得的值，進而求得.利用基本元的思想化簡，求得的值.（2）先找到的分界點，先對正項部分求和，然后利用等差數列前項和公式，求得負項的絕對值的和，由此求得的值.【詳解】(1)由已知,，得又得：或2（舍），于是，又是公比為的等比數列，故所以，（舍）或 綜上，.（2）設的前n項和為;令，得 于是，易知，時， 所以，【點睛】本小題主要考查等差數列的性質，考查等差數列前項和公式，考查含有絕對值的數列求和的方法，屬于中檔題.18伴隨著科技的迅速發展，國民對“5g”一詞越來越熟悉，“5g”全稱是第五代移動電話行動通信標準，也稱第五代移動通信技術。2017年12月10日

15、，工信部正式對外公布，已向中國電倌、中國移動、中國聯通發放了5g系統中低頻率使用許可。2019年2月18日上海虹橋火車站正式啟動5g網絡建設。為了了解某市市民對“5g”的關注情況，通過問卷調查等方式研究市民對該市300萬人口進行統計分析，數據分析結果顯示：約60%的市民“掌握一定5g知識（即問卷調查分數在80分以上）”將這部分市民稱為“5g愛好者”。某機構在“5g愛好者”中隨機抽取了年齡在15-45歲之間的100人按照年齡分布(如圖所示)，其分組區間為：，.(1)求頻率直方圖中的a的值；(2)估計全市居民中35歲以上的“5g愛好者”的人數；(3)若該市政府制定政策：按照年齡從小到大，選拔45%

16、的“5g愛好者”進行5g的專業知識深度培養，將當選者稱成按照上述政策及頻率分布直方圖，估計該市“5g達人”的年齡上限.【答案】（1）（2）(萬人)（3）估計該市“5g達人”的年齡上限為28歲【解析】（1）根據頻率之和為列方程，解方程求得的值.（2）先求得全市“5g愛好者”的人數，通過頻率分布直方圖頻率分布直方圖計算出歲以上“5g愛好者”的頻率，用人數乘以頻率得到所求.（3）前兩組頻率和為，前三組頻率和為，故年齡上限在，利用小長方形的面積和為列方程，解方程求得這個年齡上限.【詳解】(1)依題意：所以， (2)根據題意全市“5g愛好者” (萬人)由樣本頻率直方圖分布可知，35歲以上“5g愛好者”的

17、頻率為,據此可估計全市35歲以上“5g愛好者”的人數 (萬人) (3)樣本頻率分布直方圖中前兩組的頻率之和為前3組頻率之和為所以，年齡在25-30之間，不妨設年齡上限為,由, 得.所以，估計該市“5g達人”的年齡上限為28歲.【點睛】本小題主要考查頻率分布直方圖得知識，考查頻率分布直方圖某組高的計算，考查頻率的計算，屬于基礎題.19如圖，在多面體中，平面平面.四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，是邊長為1的等邊三角形，m為線段中點，.(1)求證：； (2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)線段上是否存在點n，使得直線平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）（3）線段

18、bd上存在點n,使得直線平面afn，且，詳見解析.【解析】（1）根據面面垂直的性質定理證得平面，由此證得.（2）取中點，中點，連接，證得兩兩垂直.分別以為軸建立空間直角坐標系，通過計算直線的方向向量和平面的法向量計算出線面角的正弦值.（3）通過向量共線設出點坐標，求得的坐標，根據列方程，解方程求得的值，由此證得存在點符合題意.【詳解】(1)證明：因為為正方形，所以又因為平面平面，且平面平面，所以平面所以 (2)取ad中點o,ef中點k，連接ob，ok.于是在abd中，在正方adef中，又平面平面，故平面，進而，即兩兩垂直 分別以為x軸，y軸,z軸建立空間直角坐標系（如圖）于是，,所以設平面的一

19、個法向量為，則 即 令，則，則設直線與平面所成角為， (3) 要使直線平面，只需，設,則,，所以,又 ，由得解得所以線段bd上存在點n,使得直線平面afn，且【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查利用空間向量法求線面角的正弦值，考查利用空間向量法求解存在性問題，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20在平面直角坐標系中，橢圓的上頂點為a，左、右焦點分別為，直線的斜率為，點在橢圓e上，其中p是橢圓上一動點，q點坐標為.(1)求橢圓e的標準方程；(2)作直線l與x軸垂直，交橢圓于兩點（兩點均不與p點重合)，直線，與x軸分別交于點.求的最小值及取得最小值時點p的坐標.【答案】（1）（2）

20、的最小值為，此時點p的坐標為或【解析】（1）根據直線的斜率求得，將點坐標代入托運方程，解出的值，進而求得的值以及橢圓方程.（2）設出三個點的坐標，由直線的方程求得點坐標以及,由直線的方程求得點坐標以及.利用基本不等式求得的最小值.根據基本不等式等號成立的條件以及絕對值的性質，求出點的坐標.【詳解】(1)由直線的斜率為可知直線的傾斜角為. 在中，,于是,橢圓,將代入得所以，橢圓e的標準方程 (2)設點.于是，直線,令,所以 直線，令，所以 又.代入上式并化簡即， 當(即)時取得最小值，（）時，化簡得根據題意：，若亦與題意不符，所以，此時或（）時，化簡得將代入并化簡得：根據題意：，若，而所以 不成

21、立，即不成立綜上，或，點p的坐標為或【點睛】本小題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線斜率的概念，考查直線和橢圓的位置關系，考查直線方程以及利用基本不等式求最小值的方法，運算量較大，屬于難題.21已知函數.(1)討論的單調性；(2)令，當，時，證明：.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）先求得函數的定義域，然后對函數求導，對分成兩種情況，討論函數的單調區間.（2）用分析法，將所要證明的不等式轉化為，利用構造函數的方法結合導數，證得，以及，由此證得成立，進而證得題目所給不等式成立.【詳解】(1)的定義域，當時，則在上單調遞減； 當時，令,可得；令可得；則在上單調遞增，在上單調遞減。 (2)當時，要證明成立，即證：令,令所以，在單調遞增；在遞減.又由已知,可知在上為減函數故，即 令,當