1、銳樂(lè)思教育Really Simple專(zhuān)題八三角恒等變換及輔助角公式一、基本內(nèi)容串講1. 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下：sin(a±0) = sinacos0 土 cosasin0 ;cos(cr ± ft) = cos a cos p+sin a sin p ;tan(a±0)=陀土“"1 + tan cr tan 卩對(duì)其變形：tana +tan =tan(a + 3) (1- tdnatanB),有時(shí)應(yīng)用該公式比較方便。2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：sin 2a = sin a cos a.cos 2a = cos2 a 一 sin2

2、 a = 2 cos2 a -1 = 1 一 2 sin' a 小2 tan atan 2a =；.l-tair a要熟悉余弦“倍角”與“二次”的關(guān)系(升角一降次，降角一升次).特別注意公式的三 角表達(dá)形式，且要善于變形，cos2a耳竿sinf J斗2a這兩個(gè)形式常2 2用。3. 輔助角公式：對(duì)于般形式asina + cosa0、b不全為零)，如何將表達(dá)式化簡(jiǎn)為只含有正弦的三角比形式？“ sin a + bcos a =sin a +cos a)4c? +b，+b，=yja2 h2 sin(a + J3)I cos /?=,、其中輔助角0由3嚇確定，即輔助角0 (通常心6)sin 0

3、= .y/a2 +Z?2的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)皿我們稱(chēng)上述公式為 輔助角公式，其中角尸為輔助角。4. 簡(jiǎn)單的三角恒等變換(1) 變換對(duì)象：角、名稱(chēng)和形式，三角變換只變其形，不變其質(zhì)。(2) 變換目標(biāo)：利用公式簡(jiǎn)化三角函數(shù)式，達(dá)到化簡(jiǎn)、計(jì)算或證明的目的。(3) 變換依據(jù)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。(4) 變換思路：明確變換目標(biāo)，選擇變換公式，設(shè)計(jì)變換途徑。5. 常見(jiàn)題目類(lèi)型及解題技巧(最后師生共同總結(jié))二、考點(diǎn)闡述考點(diǎn)1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式。1、sin 20cos40" + cos20° sin 40° 的值等于()42、若i

4、an& = 3, tan0 =-，則tan(a-0)等于()3考點(diǎn)2二倍角的正弦、余弦、正切公式3、cos cos 的值等于()55a4、已知0且cos/ =那么sin 2/等于()25丄)22宜)72考點(diǎn)3運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換5、已知 tan(a + 0) = -,tan(-蘭)=一、J#!| tan(a + )的值等于(54446、已知 sin a + sin 0 二丄,cosa + cos0 =丄,貝lj cos(a 0)值等于 1237、函數(shù) f(x) = cos2(x-) + sin2(% +-1 是(C )(A)周期為2龍的奇函數(shù)(B)周期為2龍的偶函數(shù)(C)

5、周期為;r的奇函數(shù)(D)周期為龍的偶函數(shù)三、解題方法分析1. 熟悉三角函數(shù)公式，從公式的內(nèi)在聯(lián)系上尋找切入點(diǎn)【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)中出現(xiàn)的公式較多，要從角名稱(chēng)、結(jié)構(gòu)上弄清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，做到真正的理抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，善于聯(lián)想，靈活運(yùn)用。例1設(shè)a二丄cos6°-匣sin6°,= 兀山門(mén) 春二切-，則有(a<c<b )22l + tan213a2 cos 25°cos2 a =1 + cos2a2sin2 a =1 -cos2a2tan a +tan B =tan( a + p ) (1- tan a tan B )1csm a cos a = sin l

6、a 9 cos ci = 2l±2sinacosa = (sin a 土 cosa)，sin2a°°宀2tan«小=> cos° a-sm" a = cos2a , ； = tan2a ,2sina1-taiVa,1 + cos2a = 2cos2 a ,1 -cos2a = 2siii2 a >等。另外，三角函數(shù)式asinx+bcosx是基本三角函數(shù)式之一，引進(jìn)輔助角，將它化為Ja +b sin(x + 4>)即 asinx+bcosx二 Ja +b sin(x +(|)(其中 tan(p = )是常用轉(zhuǎn)化手段。特

7、別是與特殊角有關(guān)的sin土cosx> 土sinx土 75 cosx,要熟練掌握其變形結(jié)論。2. 明確三角恒等變換的目的，從數(shù)學(xué)思想方法上尋找突破口(1) 運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換'【方法點(diǎn)撥】教材中兩角和與差的正、余弦公式以及 二倍角公式的推導(dǎo)都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，應(yīng)用 該思想能有效解決三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值、證明中角、 名稱(chēng)、形式的變換問(wèn)題。例 2.己知產(chǎn)苧，c°s(a-d)=善，sin(a + 0)=-*,求 sin2 a 的(本題屬于“理解”層次，解答的關(guān)鍵在于分析角的 特點(diǎn)，2 a= ( a 0) + ( a + Q)例 3.化簡(jiǎn)：2sin50&#

8、176; +sinlO° (1+V3 tanlO° ) Jsif 80。【點(diǎn)評(píng)】：本題屬于"理解”層次，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用"化切為弦”的方法，再利用兩角和與差的 三角函數(shù)關(guān)系式整理化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)時(shí)要求使三角函數(shù)式 成為最簡(jiǎn):項(xiàng)數(shù)盡量少,名稱(chēng)盡量少，次數(shù)盡量底, 分母盡量不含三角函數(shù)#根號(hào)內(nèi)盡量不含三角函數(shù), 能求值的盡量求出值來(lái)。(2) 運(yùn)用函數(shù)方程思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)也是函數(shù)中的一種，其變換的 實(shí)質(zhì)仍是函數(shù)的變換。因此，有時(shí)在三角恒等變換中, 可以把某個(gè)三角函數(shù)式看作未知數(shù),利用條件或公式 列出關(guān)于未知數(shù)的方程求解。的值。例 4：已

9、知 sin (。+ “)二，sin(oT)二，求磯“ 03 4tan。0 tan(a + 0)tan(cr + 0) 一 tan a 一 tan 0 _ tan(<z + 0) 一 tan(<z + 0)(1 一 tan a tan 0) _ tana _I /tan2 P tan(a + 0)tan2 a tan(c? + 0)tail 0【點(diǎn)評(píng)】：本題屬于"理解"層次，考查學(xué)生對(duì)所學(xué) 過(guò)的內(nèi)容能進(jìn)行理性分析,善于利用題 中的條件運(yùn)用方程思想達(dá)到求值的目的。(3) 運(yùn)用換元思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換【方法點(diǎn)撥】換元的目的就是為了化繁為簡(jiǎn)，促使未知向已知轉(zhuǎn)化，可以利

10、用特定的關(guān)系, 把某個(gè)式子用新元表示,實(shí)行變量替換,從而順利求解,解題時(shí)要特別注意新元的范圍。例 5：若 sin a + sin J3 =.求coscr + cos0 的取值范圍。 2【解析】：令cos a + cos p = t,貝!| (sin a + sin py + (cos a + cos/7)2 = /2 + ,2* 13即 2 + 2cos(a-0)=尸 +- => 2cos(a-0)=廠(chǎng)一二 22一2“一亠2,»丄"皐，一血"亟,即-亟Scosa + cos處巫2 2 2 2 2 2 2【點(diǎn)評(píng):本題屬于"理解"層次,解題的

11、關(guān)鍵是將要求的式子C嚨+通0看作一個(gè)整體f通過(guò)代數(shù)、三角變換等手段求岀取值范圍。3. 關(guān)注三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合，從知識(shí)聯(lián)系上尋找結(jié)合點(diǎn)【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的聯(lián)系比較廣泛f主要體現(xiàn)在與函數(shù)、平面向量、解析幾何等知識(shí)的聯(lián)系與綜合，特別是與平面向量的綜合，要適當(dāng)注意知識(shí)間的聯(lián)系與整合。例 6：已知：向量4 =(省,一1) , b = (sin2x, cos2x),函數(shù) f(x) = a-b若加=0且0<x<” 求x的值； x =醫(yī)或菩(2)求函數(shù)_/G)取得最大值時(shí)，向量7與厶的夾角.【點(diǎn)評(píng)】：本題屬于“理解”中綜合應(yīng)用層次，主要考査應(yīng)用平面向量、三角函數(shù)知識(shí) 的分析和計(jì)算能力

12、.四、課堂練習(xí)1. sinl65°= ()A丄B.#C.屁 dD.22442. sinl4°cosl6° +sin76°cos74°的值是()A通b. 12 2c. d2jr473.己知xe(-,0), cosx = -,則tan2x= () A- 252424T4. 化簡(jiǎn) 2sin ( - x) sin (-+x)> 其結(jié)果是(4 4D sin2xA. sin2xB cos2x5- s噸一辰噸的值是6.A. 0B. a/2V2D.2sin12tan 75°A. 2y/3c.-2y/3D.7.若 COS = 225sin*-*,

13、則角0的終邊一定落在直線(xiàn)）上。A.7x+24y = 0B 7x-24y = 0C. 24.r + 7y = 0 D.24.r-7y = 0cos(a + 0)cos0 + sin(a + 0)sin 0 =9.1 - tan 15c1 + tanl5c10.tan 20 + tan 40 + >/3 tan 20 tan 40 的值是* 斤 cos2 61 “求證：=才山2趴cot-tan-2 212-已知血加斗求tan。的值.13.0 < x < ,sin( -x)=,求一C°s2a的值。4413八、cos(+ x)414.若 A w(0,/r), fisin A +